专题强化训练二 一元二次不等式方程和恒成立问题归纳-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、专题强化训练二：一元二次不等式方程和恒成立问题归纳【题型归纳】题型一：由一元二次方程的解确定参数1已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）Aa0BCD的解集是2若不等式的解集为，则不等式的解集是（）AB或CD3若不等式的解集是，则的解集为（）ABCD题型二：一元二次方程根的分布问题4关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（）ABCD5已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（）ABCD6已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、从小到大的排列是()ABCD题型三：解含有参数的一元二次不等式7关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的

2、取值范围是（）A B C D 8若使不等式成立的任意一个x，都满足不等式成立，则实数m取值范围是（）ABCD9已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，则实数a的取值范围为（）ABCD题型四：一元二次不等式在实数集的恒成立问题10若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为()ABCD 或11对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD12若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（）ABCD题型五：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题13若不等式对一切都成立，则a的最小值为（）A0BCD14若对任意的恒成立，则m的取值范围是（）ABCD15若不等式对于一切恒成立，则实数a的取

3、值范围是（）ABCD题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题16若使得不等式成立，则实数a的取值范围是（）ABCD17关于的不等式在1，6内有解，则的取值范围为（）ABCD18若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）ABCD题型七：含参和恒成立问题的综合19（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.20已知关于x的不等式的解集为（-1，2）.(1)当时，求的最小值；(2)当时，函数的图象恒在直线y=2x+m的上方，求实数m的取值范围.【专题突破】一、单选题21已知抛物线上部分点的横坐标纵坐标的对应值如下表： 抛物线的开口向下；抛物线的对称轴为直

4、线；方程的根为；当时，的取值范围是或以上结论中，其中正确的个数为（）A个B个C个D个22“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（）ABCD23已知，则“成立”是“成立”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要24命题“”为假命题，则实数的取值范围是（）A或BCD25若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（）AB或CD或26已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（）ABCD27已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A BCD28已知，恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD29若不等式的解集是，则不等式的解集是（）ABCD30若下列3个关于x

5、的方程，中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是（）ABCD二、多选题31已知不等式，下列说法正确的是（）A若，则不等式的解集为B若，则不等式的解集为C若，则不等式的解集为或D若，则不等式的解集为32已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（）ABC的解集为D的解集为或33已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（）.AB若不等式的解集为，则C若不等式的解集为，则D若不等式的解集为，且，则34已知，关于x的不等式的解集可能是（）ABCD35下列命题为真命题的是（）A若，则B若，则C若关于的不等式的解集为，则D若，则“”是“”的必要不充分条件三、填空题36命题“，x2+2xm0“

6、为真命题，则实数m的最大值为_37已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最大值为_.38命题“，都有不等式”是真命题，则实数k的取值范围是_39已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是_.40已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_；41已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_四、解答题(共0分)42已知函数.(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；(2)当时，解不等式.43已知集合，命题p：“不等式对一切实数x都成立(1)若命题p是真命题，求实数k的

7、取值范围；(2)当命题p是真命题时，记实数k的取值范围对应集合为集合B，若，求实数m的取值范围44已知是一元二次方程的两个实数根(1)若均为正根，求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不能存在，请说明理由45设函数(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)若，且，使成立，求实数的取值范围参考答案：1D【分析】由已知，是方程的两个根且，由此确定的关系，并由此判断A，B，C，再化简不等式求其解.【详解】因为不等式的解集为或，所以且，是方程的两个根，所以，所以，因为，所以A错，因为，所以，所以C错，因为，所以，B错，因为，所以可化为，所以，方程的解为或，所以不等式

8、的解集是，故选：D.2A【分析】由题知，进而将不等式转化为，再解不等式即可.【详解】解：由，整理得 又不等式的解集为，所以，且，即将两边同除以得：将代入得：，解得故选：A3A【分析】利用根于系数的关系先求出，再解不等式即可.【详解】不等式的解集是则根据对应方程的韦达定理得到：，解得，则的解集为故选：A4D【分析】讨论a，确定，则可将化为，令，结合二次函数知识可得，即可求得答案.【详解】当时，即为，不符合题意；故，即为，令，由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，故时，即，解得，故，故选：D5C【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可.【详解】令由

9、题可知：则，即故选：C6A【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、之间的关系.【详解】由题可得：，.由，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.7C【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.【详解】由得 ，若，则不等式无解若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则综上，满足条件的的取值范围是故选：C8D【分析】解出不等式的解，再根据范围的包含关系列式求解即可.【详解】由得所以当时，当时，不等式即因

10、为不等式成立的任意一个x，都满足不等式成立，则或，得故选：D.9B【分析】求出不等式的解集，再根据题意分析可得【详解】不等式的解为，原不等式化为，时，不等式的解为，满足题意，时，不等式的解为，则，即，综上，故选：B10B【分析】分a0和a0两种情况讨论，a0时，根据二次函数图像性质即可求出a的范围【详解】当a0时，不等式变为20恒成立，故a0满足题意；当a0时，若恒成立，则，即，解得综上，故选：B11B【分析】当时，得到恒成立，当时，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，对任意实数，不等式恒成立，当时，不等式即为，不等式恒成立；当时，若不等式恒成立，则满足，解得，综上，实

11、数的取值范围为故选：B12A【分析】因为恒成立，则恒成立可转化为恒成立，则，即可解得的取值范围【详解】因为恒成立所以恒成立恒成立恒成立故解之得：故选：A13D【分析】根据二次函数的性质，根据对称轴的位置分类讨论可得.【详解】记，要使不等式对一切都成立，则：或或解得或或，即.故选：D14A【分析】由题知对任意的恒成立，进而求，最值即可得答案.【详解】解：因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为当，所以，即m的取值范围是故选：A15D【分析】题目转化为，确定函数在单调递减，计算最值得到答案.【详解】，则，和在单调递减，故在单调递减，.即.故选：D.16A【分析】先将参数和变量分离，转化为存在问

12、题，进而求出二次函数的最大值即可.【详解】解：使得不等式成立即使得不等式成立设，即的对称轴为，故选：A.17C【分析】由题意只需，即可，先求得在上的最大值，结合一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】依题可得在1，6内有解，只需，设，当时，所以，解得.故选：C.18A【分析】把不等式化为，求出在区间1，4内的最大值，即可得出的取值范围【详解】不等式在内有解等价于时，.当时，所以.故选：A.19（1）；（2）.【分析】（1）由不等式的解集可知对应方程的根，利用根与系数的关系求解即可；（2）根据方程有两个不同的负根，利用判别式及根与系数的关系建立不等式求解.【详解】（1）由题意可得和是方程的两个

13、实根，则解得.（2）因为，所以，由题可知，则或，由题意，方程有两个负根，即解得.综上，实数的取值范围是.20(1)1(2)【分析】由不等式的解集为，有和是方程的两根，从而可得.（1）利用均值不等式即可求解；（2）由题意，在时恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解.（1）因为关于的不等式的解集为，所以和是方程的两根，所以，解得.时，当且仅当时等号成立，所以的最小值为1.（2）因为时，函数的图象恒在函数的图象的上方，所以在时恒成立，即在时恒成立，因为函数在上单调递减，所以时，所以，所以实数的取值范围为.21A【分析】根据表格数据，先分析出对称轴，根据对称轴附近的单调性可以得出开口方向，结合表中数据

14、，可以计算出，从而求出的根，结合开口方向，可得出时的的取值范围.【详解】根据表格数据看出对应的值一样，故二次函数对称轴为，时，从表格数据看出二次函数单调递增，故二次函数的开口向上，故错误，正确，根据表中数据可得：，解得，此时，的两根是，解不等式，的取值范围是或，故，均正确. 于是有项正确.故选：A22A【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项.【详解】不等式在R上恒成立 ，即，因为，但不能推出成立，故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件，故选：A23C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法、绝对值的性质进行判断即可【详解】充分性：若，则，所以

15、；必要性：根据绝对值的性质：若，则，若，且，则有所以“成立”是“成立”的充要条件故选：C24C【分析】先得出为真命题，再分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】由题意得：为真命题，当时，满足要求，当时，要满足，解得：，综上：实数的取值范围是故选：C25C【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.【详解】由题意知，当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，即 ，解得.故选：C.26D【分析】面对含参不等式，利用分离变量法，由于是已知取值范围的，则单独分离出来，整理成函数，再根据不等式恒成立，求函数的最小值，可得答案.【详解】对任意，不等式恒成立，即

16、对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，所以对任意，所以，解得，故实数x的取值范围是故选：D27D【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.【详解】，且，当且仅当时取等号，由恒成立可得，解得：，故选：D.28D【分析】参变量分离，得到在上恒成立问题.【详解】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故选：D.29C【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出、，再解一元二次不等式即可.【详解】解：因为不等式的解集是，和是方程的两个实数根，由，解得：，故不等式即，即，即，解得：，所以所求不等式的解集是：.故选：C30A【分析】根据3个关于x的方程都没有实数根求出a

17、的取值范围，再求其补集即可.【详解】假设3个关于x的方程都没有实数根，则即所以，所以若这3个关于x的方程中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是.故选：A.31BD【分析】结合的取值范围分类讨论，可求出不等式的解集，即可得到答案【详解】不等式，整理得，即，若，则，所以不等式的解集为，故选项A错误；若，则，所以不等式的解集为，故选项B正确；若，则，所以不等式的解集为，故选项C错误；若，则，所以不等式的解集为，故选项D正确故选：BD32ABC【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案.【详解】不等式的解集为

18、，故A正确；，令，即，故B正确；由上所述，易知，由题意可得为一元二次方程，则，则，即为方程的解，则可知不等式的解集为，故C正确，D错误.故选：ABC.33ABD【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.【详解】由题意，不等式的解集是，所以，所以A正确；对于B：变形为，其解集为，所以，得，故成立，所以B正确；对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知：，所以C错误；对于D：若不等式的解集为，即的解集为，由韦达定理知：，则，解得，所以D正确.故选：D.34BCD【分析】分，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】当时，不等式等价于，解得；当时，不等式的解集是；当时，不

19、等式等价于，解得或；当时，不等式的解集为；当时，不等式等价于，解得或故选:BCD35BC【分析】A令判断即可；B作差法比较大小；C由一元二次不等式解集及根与系数关系求参数a、b即可；D令判断必要性是否成立.【详解】A：时，错误；B：，而，则，故，所以，即，正确；C：由题设，可得，故，正确；D：当时，而不成立，必要性不成立，错误.故选：BC36【分析】二次函数恒大于等于零，只需要，列出不等式，解出来即可求出其最大值.【详解】由题可知，解得，所以实数m的最大值为.故答案为：.37#0.25【分析】由的解集为可得，从而得出的关系，求的最大值转化成求的最小值，再结合基本不等式即可得出答案.【详解】因为

20、一元二次不等式的解集为所以因为由所以（当且仅当时取等号）所以的最大值为故答案为：38，【分析】根据题意可得不等式在上恒成立，分与两种情况讨论，求出的取值范围即可【详解】，是真命题不等式在上恒成立，当时，不等式为恒成立，当时，则，解得，综上，即的取值范围为，故答案为：，39【分析】根据一元二次方程的根与二次函数的图象的关系判断【详解】如图是函数的图象（图中隐去了轴），为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，.故答案为：.40【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围.【详解】可变形为，因为，所以，其中，当时，开口朝下，

21、不合题意；当时，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去；当时，开口朝上，因为，所以不等式解集为，此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，则必有，所以，结合，所以，所以，综上：故答案为：.41【分析】通过分类讨论可求得命题甲为真命题时的取值范围；根据一元二次方程根的特征，求得命题乙为真命题时的取值范围，进而得到甲、乙至少有一个为真命题时，实数的取值范围【详解】由命题甲：关于的不等式的解集为，当时，不等式恒成立；当时，则满足，解得，综上可得由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根，则满足，整理得，所以，解得所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或，可得，即实数的取值

22、范围为故答案为：42(1)(2)答案见解析【分析】（1）对二次项系数分类讨论，与，当时， ，求解不等式组即可得解；（2）分，和三种情况解不等式.（1），即时，解集不是空集，舍去，时，即时，即，解得，的取值范围是；（2）化简得：，时，即时，解集为，时，即时，解集为或，时，即时，解集为，解集为.综上，时，解集为或；时，解集为；时，解集为43(1)(2)【分析】（1）分、三种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.（1）解：因为命题p：“不等式一切实数都成立”是真命题，当时，成立；当时，不成立；当时，所以综上所述，（2）解：因为，

23、所以，由（1）可得，因为，当，即时，满足，当，即时，若，则，不等式组无解，综上所述，.44(1)(2)不存在；理由见解析【分析】（1）根据二次方程判别式大于等于0，且两根之和与之积均大于0列式求解即可；（2）根据（1）中韦达定理，化简代入韦达定理求解，再判断是否满足判别式关系即可.（1）由题意，一元二次方程有两个正根故，即，且，解得：（2）由题意，当，即时，有解得：，与矛盾.故不存在实数k，使得成立45(1)(2)【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.（1）由题意可知：方程的两根是，1所以解得（2）由得，成立，即使恒成立，又因为，代入上式可得恒成立当时，显然上式不恒成立；当时，要使恒成立所以，解得综上可知的取值范围是