（全国统考）2022版高考数学大一轮复习 第5章 平面向量 第2讲 平面向量的数量积及应用（1）备考试题（文含解析）.docx

1、第五章 平面向量 第二讲 平面向量的数量积及应用 练好题考点自测 1.下列说法正确的个数为()(1)向量在另一个向量方向上的投影是数量,而不是向量.(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.(3)由 ab=0 可得 a=0 或 b=0.(4)(ab)c=a(bc).(5)两个向量的夹角的范围是0,.A.2 B.3 C.4 D.5 2.易错题已知两个非零向量 a 与 b 的夹角为,则“ab0”是“为锐角”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.2019 全国卷,3,5 分已知 =(2,3),=(3,t),|=1

2、,则 =()A.-3 B.-2 C.2 D.3 4.2020 全国卷,6,5 分已知向量 a,b 满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则 cos=()A.-B.-C.D.5.2020 山东,7,5 分已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点,则 的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)6.2017 全国卷,4,5 分文设非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则()A.ab B.|a|=|b|C.ab D.|a|b|7.2020 全国卷,14,5 分文设向量 a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若 ab,则 m=.8.

3、2021 合肥市调研检测已知 a=(1,1),b=(2,-1),则向量 b 在 a 方向上的投影等于 .9.2017 全国卷,13,5 分已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.拓展变式 1.(1)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在 方向上的投影是()A.-3 B.-C.3 D.(2)2021 大同市调研测试在直角三角形 ABC 中,直角边 AB=3,AC=4,则 =()A.-25 B.25 C.7 D.-7(3)2017 天津,14,5 分文在ABC 中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 ,=(R),且

4、=-4,则 的值为 .2.(1)2021 安徽省四校联考已知向量 a=(-1,m),2a+b=(2,3+2m),且(a+b)(a-b),则实数 m 的值为 .(2)2020 全国卷,14,5 分设 a,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.(3)2019 全国卷,13,5 分已知 a,b 为单位向量,且 ab=0,若 c=2a b,则 cos=.3.2020成都市高三模拟ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.若向量m=(a,-cos A),n=(cos C,b-c),且mn=0,则角 A 的大小为()A.B.C.D.4.新课标全国,5 分已知 M(x0,y0)是双曲线

5、 C:y2=1 上的一点,F1,F2是 C 的两个焦点.若 0,可得到 0,),不能得到(0,);而由(0,),可以得到 ab0.故选 B.【易错点拨】(1)当 ab0 时,cos 0,则 是锐角或=0(此时 cos=1);(2)当 ab0 时,cos 0,则 是钝角或=180(此时 cos=-1).3.C 因为 =(1,t-3),所以|=(-)=1,解得 t=3,所以 =(1,0),所以 =21+30=2,故选 C.4.D 由题意,得 a(a+b)=a2+ab=25-6=19,|a+b|=-=7,所以cos=(),故选 D.5.A =|cosPAB=2|cosPAB,又|cosPAB 表示

6、在 方向上的投影,所以结合图形可知,当 P 与 C 重合时投影最大,当 P 与 F 重合时投影最小.又 =2 2cos 30=6,=22cos 120=-2,故当点 P 在正六边形 ABCDEF 内部运动时,(-2,6),故选 A.6.A 依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,所以 4ab=0,即 ab,选 A.7.5 因为 ab,所以 ab=m+1-(2m-4)=0,所以 m=5.8.由题意,得 b 在 a 方向上的投影为 (-).9.2 易知|a+2b|=2.1.(1)A 依题意,得 =(-2,-1),=(5,5),所以 =-15,|=,因此向量 在 方向上的投影是 -=-3,故选 A.

7、(2)A 解法一 在直角三角形 ABC 中,因为 AB=3,AC=4,所以 BC=5,于是 ()+0=-25,故选 A.解法二 以 A 为坐标原点,AB,AC 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立如图 D 5-2-1 所示平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(0,4),=(3,0),=(0,-4),=(-3,4),所以 =3(-3)+04+(-3)0+4(-4)+03+(-4)0=-25,故选 A.图 D 5-2-1(3)解法一 ()=.又 =32 =3,所以 =()(+)=|2+()|2=-3+3()+4=-5=-4,则=.解法二 以点 A 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,建立

8、平面直角坐标系,不妨假设点 C 在第一象限,则A(0,0),B(3,0),C(1,).由 =2 ,得 D(,),由 =,得 E(-3,),则 =(,)(-3,)=(-3)+=-5=-4,则=.2.(1)2 解法一 由题意,得 b=(2,3+2m)-2(-1,m)=(4,3),因为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,即 =5,解得 m=2.解法二 因为 a+b=2a+b-a=(2,3+2m)-(-1,m)=(3,3+m),a-b=3a-(2a+b)=3(-1,m)-(2,3+2m)=(-5,m-3),(a+b)(a-b),所以(

9、a+b)(a-b)=3(-5)+(3+m)(m-3)=m2-24=0,解得 m=2.(2)解法一 a,b 为单位向量,且|a+b=1,(a+b)2=1,1+1+2ab=1,ab=,a-b|2=a2+b2-2ab=1+1-2()=3,a-b|=.解法二 如图 D 5-2-2,设 =a,=b,利用平行四边形法则得 =a+b,a|=|b|=|a+b=1,OAC 为正三角形,|=|a-b=2 a|=.图 D 5-2-2 (3)设 a=(1,0),b=(0,1),则 c=(2,),所以 cos=.3.B 解法一 由 mn=0,得 acosC-(b-c)cos A=0,由正弦定理,得 sin AcosC-

10、(sin B-sin C)cos A=0,即 sin AcosC+cosAsinC=sin BcosA,所以 sin(A+C)=sin BcosA,所以 sin(-B)=sin BcosA,即 sin B=sin BcosA.因为 0B,所以 sin B0,所以 cos A=,所以 A=,故选 B.解法二 由 mn=0,得 acosC-(b-c)cos A=0,由余弦定理,得 a -bcos A+c -=0,即2b=2 bcos A,因为 b0,所以 cos A=,所以 A=,故选 B.4.A 由题意知 a2=2,b2=1,所以 c2=3,不妨设 F1(,0),F2(,0),所以 =(x0,-y0),=(x0,-y0),所以 3+=3 10,所以 y0 ,故选 A.5.(1)B 因为 A,B,C 均在单位圆上,AC 为直径,故 =2 =(-4,0),|=|2 2|+|,又|+1=3,所以|4+3=7,故|的最大值为 7,选 B.(2)依题意得 ADBC,BAD=120,由 =|cosBAD=|=,得|=1,因此=.取 MN 的中点 E,连接 DE,则 =2 ,()2-()2=.注意到线段 MN 在线段 BC 上运动时,DE 的最小值等于点 D 到直线 BC 的距离,即 ABsinB=,因此 的最小值为()2 ,即 的最小值为 .