（同步优化设计）2021年高中数学 第六章 概率 1.2 乘法公式与事件的独立性课后篇巩固提升（含解析）北师大版选择性必修第一册.docx

1、1 第六章概率 1 随机事件的条件概率1.2 乘法公式与事件的独立性 课后篇巩固提升合格考达标练1.第一个袋中有黑、白球各 2 只,第二个袋中有黑、白球各 3 只.先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球,则第一、二次均取到白球的概率为()A B C D 答案 B解析记 Ai表示“第 i 次取得白球”,i=1,2,则 P(A1)=,P(A2|A1)=,由乘法公式求得,P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=2.一件产品要经过 2 道独立的加工程序,第一道工序的次品率为 a,第二道工序的次品率为 b,则产品的正品率为()A.1-a-bB.1-abC.(1-a)(1-b)D

2、.1-(1-a)(1-b)答案 C解析设 A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,则P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).3.下列事件中,A,B 是相互独立事件的是()A.一枚硬币掷两次,A 表示“第一次为正面”,B 表示“第二次为反面”B.袋中有 2 白,2 黑的小球,不放回地摸两球,A 表示“第一次摸到白球”,B 表示“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子,A 表示“出现点数为奇数”,B 表示“出现点数为偶数”D.A 表示“人能活到 20 岁”,B 表示“人能活到 50 岁”答案 A解析把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,

3、故 A 项是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然 A 事件与 B 事件不相互独立;对于 C,A,B 应为对立事件,不相互独立;D 是条件概率,事件 B 受事件 A 的影响.故选 A.4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是()A B C D 答案 C2 解析依题意得 P(A)=,P(B)=,事件 A,B 中至少有一件发生的概率等于 1-P()=1-P()P()=1-5.甲、乙两人各写一张贺年卡,随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()A B C D 答案 A解

4、析由题意,因为甲或乙的贺年卡送给其中一个人的概率都是 ,故分两种情况:甲、乙将贺年卡送给丙的概率为 ;甲、乙将贺年卡送给丁的概率为 ,则甲、乙将贺年卡送给同一个人的概率为 6.若 0P(A)1,且 P(B|A)=P(B).若 P()=0.6,P(B|)=0.2,则 P(AB)等于()A.0.12B.0.8C.0.32D.0.08答案 D解析由 P(B|A)=P(B)可知事件 A,B 相互独立,P(B|)=P(B)=0.2.又 P()=0.6,P(A)=0.4,P(AB)=P(A)P(B)=0.40.2=0.08.7.在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是 A 型,在乙盒内的 240 个螺

5、母中有 180 个是 A 型.若从甲、乙两盒内各取一个,则能配成 A 型螺栓的概率为 .答案 解析“从 200 个螺杆中,任取一个是 A 型”记为事件 B.“从 240 个螺母中任取一个是 A 型”记为事件 C,则 P(B)=,P(C)=,“能配成 A 型螺栓”为事件 D.所以 P(D)=P(BC)=P(B)P(C)=8.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得 100分、100 分、200 分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于 300 分的概率

6、是 .答案 0.46解析设“同学甲答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且 A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于 300 分对应事件 A1A2A3A1 A3 A2A3发生,故所求概率为 P=P(A1A2A3A1 A3 A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1 A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.80.60.5+0.80.40.5+0.20.60.5=0.46.9.生产同一种产品,甲机床的废品率为 0.04,乙机床的废品率为 0.05

7、,从甲,乙机床生产的产品中各任取1 件,求:(1)至少有 1 件废品的概率;(2)恰有 1 件废品的概率.解“从甲机床生产的产品中取 1 件是废品”记为事件 A,“从乙机床生产的产品中取 1 件是废品”记为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.04,P(B)=0.05.(1)设“至少有 1 件废品”为事件 C,则 P(C)=1-P()=1-P()P()=1-(1-0.04)(1-0.05)=0.088.3 (2)设“恰有 1 件废品”为事件 D,则 P(D)=P(A )+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.04(1-0.05)+(1-0.04)0.05=0.086.等

8、级考提升练10.掷一枚硬币两次,设事件 A 表示“第一次出现正面”,B 表示“第二次出现反面”,则有()A.A 与 B 相互独立B.P(AB)=P(A)+P(B)C.A 与 B 互斥D.P(AB)=答案 A解析对于选项 A,由题意得事件 A 的发生与否对事件 B 的发生没有影响,所以 A 与 B 相互独立,所以A 正确.对于选项 B,C,由于事件 A 与 B 可以同时发生,所以事件 A 与 B 不互斥,故选项 B,C 不正确.对于选项 D,由于 A 与 B 相互独立,因此 P(AB)=P(A)P(B)=,所以 D 不正确.11.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发

9、生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,则事件 A 发生的概率是()A B C D 答案 D解析由 P(A)=P(B),得 P(A)P()=P(B)P(),即 P(A)1-P(B)=P(B)1-P(A),所以 P(A)=P(B).又P()=,所以 P()=P()=,所以 P(A)=12.已知 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是()A B C D 答案 C解析设“从 1 号箱取到红球”为事件 A,“从 2 号箱取到红球”为事件 B,由题意,可得

10、P(A)=,P(B|A)=,则 P(AB)=P(B|A)P(A)=,所以两次都取到红球的概率是 13.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是 ,从乙袋中摸出一个红球的概率是 ,若现从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是()A.2 个球都是红球的概率为 B.2 个球不都是红球的概率为 C.至少有 1 个红球的概率为 D.2 个球中恰有 1 个红球的概率为 答案 ACD解析设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件 A2,则 P(A1)=,P(A2)=,且 A1,A2相互独立;在选项 A 中,2 个球都是红球为事件 A1A2,其概率为 ,选项 A 正确;在选项 B中,“2

11、 个球不都是红球”是“2 个球都是红球”的对立事件,其概率为 ,选项 B 错误;在选项 C 中,2 个球中4 至少有 1 个红球的概率为 1-P()P()=1-,选项 C 正确;在选项 D 中,2 个球中恰有 1 个红球的概率为 ,选项 D 正确.14.(多选题)在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现,上、下两学期成绩均得优的学生占 5%,仅上学期得优的占 7.9%,仅下学期得优的占 8.9%,则()A.已知某学生上学期得优,则下学期也得优的概率约为 0.388B.已知某学生上学期得优,则下学期也得优的概率约为 0.139C.上、下两学期均未得优的概率约为 0.782D.上、下

12、两学期均未得优的概率约为 0.95答案 AC解析设事件 A 表示“上学期数学成绩得优”,事件 B 表示“下学期数学成绩得优”,则P(AB)=0.05,P(A)=0.079,P(B)=0.089,所以P(A)=P(AB)+P(A)=0.05+0.079=0.129,P(B)=P(AB)+P(B)=0.05+0.089=0.139,P(B|A)=0.388,P(B|)=-0.102,P()=P()P()(1-0.129)(1-0.102)0.782.15.设某批电子手表的正品率为 ,次品率为 ,现对该批电子手表进行检测,每次抽取一个电子手表,假设每次检测相互独立,则第三次首次测到次品的概率为 .答

13、案 解析第三次首次测到次品,所以第一次和第二次测到的都是正品,第三次测到的是次品,所以第三次首次测到次品的概率为 16.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费,超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ;两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .答案 解析由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 设

14、“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件 A,则 P(A)=,即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 17.从一副扑克牌(去掉大王、小王)中任抽一张,设 A 表示“抽到 K”,B 表示“抽到红牌”,C 表示“抽到 J”,那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?(1)A 与 B;(2)C 与 A.解(1)由于事件 A 为“抽到 K”,事件 B 为“抽到红牌”,则抽到红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K,即有可能抽到 K,故事件 A,B 有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更不是对立事件.以下考虑它们是否为相互独立事件:抽到 K 的概率为 P(A)=,5 抽到红牌的概率为 P(B

15、)=,则 P(A)P(B)=,事件 AB 为“既抽到 K 又抽到红牌”,即“抽到红桃 K 或方块 K”,故P(AB)=,从而有 P(A)P(B)=P(AB),因此 A 与 B 相互独立.(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张,抽到 K 就不可能抽到 J,抽到 J 就不可能抽到 K,故事件C 与事件 A 不可能同时发生,A 与 C 互斥.由于 P(A)=0,P(C)=0,而 P(AC)=0,所以 A 与 C 不是相互独立事件.又抽不到 K 不一定抽到 J,故 A 与 C 不是对立事件.新情境创新练18.甲、乙两名跳高运动员在一次 2 米跳高中成功的概率分别为 0.7,0.6,且每次试跳成功

16、与否相互之间没有影响,求:(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率;(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;(3)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.解记“甲第 i 次试跳成功”为事件 Ai,“乙第 i 次试跳成功”为事件 Bi,依题意得 P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且 Ai,Bi相互独立.(1)“甲试跳三次,第三次才成功”为事件 A3,且这三次试跳相互独立.P(A3)=P()P()P(A3)=0.30.30.7=0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C.P(C)=1-P()P()=1-0.30.4=0.88.(3)记“甲在两次试跳中成功 i 次”为事件 Mi(i=0,1,2),“乙在两次试跳中成功 i 次”为事件 Ni(i=0,1,2),事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1N0+M2N1,且 M1N0,M2N1为互斥事件,则所求的概率为P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)=0.70.30.42+0.72 0.60.4=0.067 2+0.235 2=0.302 4.甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为 0.302 4.