（同步优化设计）2021年高中数学 第六章 概率测评（含解析）北师大版选择性必修第一册.docx

1、1 第六章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.将一颗质地均匀的骰子掷两次,不能作为随机变量的是()A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现点数之和D.两次出现相同点的种数答案 D解析由于两次出现相同点的种数是定值 6,故不是随机变量.2.已知离散型随机变量 的概率分布列如下:1 3 5 P 0.5 m 0.2 则数学期望 E 等于()A.1B.0.6C.2+3mD.2.4答案 D解析由题意得 m=1-0.5-0.2=0.3,所以 E=10.5+30.3+50.

2、2=2.4,故选 D.3.某同学通过计算机测试的概率为 ,他连续测试 3 次,其中恰有 1 次通过的概率为()A B C D 答案 A解析连续测试 3 次,其中恰有 1 次通过的概率为 P=1-2=4.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=,k=1,2,3,则 D(3X+5)等于()A.6B.9C.3D.4答案 A解析 EX=1 +2 +3 =2,所以 DX=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2=,所以 D(3X+5)=9DX=9 =6.5.已知随机变量 服从正态分布 N(2,2),P(4)=0.84,则 P(0)=()A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84答案 A解析因为

3、 P(4)=0.84,=2,所以 P(4)=1-0.84=0.16.故选 A.6.若随机变量 的分布列如下表所示,则 p1=()-1 2 4 2 P p1 A.0B C D.1答案 B解析因为所有随机变量对应概率的和为 1,所以,+p1=1,解得 p1=,故选 B.7.一批型号相同的产品,有 2 件次品,5 件正品,每次抽一件测试,将 2 件次品全部区分出后停止,假定抽后不放回,则第 5 次测试后停止的概率是()A B C D 答案 B解析 P=8.设 0a1.随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当 a 在(0,1)内增大时,()A.DX 增大B.DX 减小C.DX 先增大后减小D

4、.DX 先减小后增大答案 D解析由分布列得 EX=,则 DX=-02 +-a2 +-12 a-2+,所以当 a 在(0,1)内增大时,DX 先减小后增大.二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.9.下列说法正确的是()A.若 XN(0,9),则其正态曲线的对称轴是 y 轴B.正态分布 N(,2)的图象位于 x 轴上方C.所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D.函数 f(x)=-(xR)的图象是一条两头低、中间高,关于 y 轴对称的曲线答案 ABD解析并不是所有的随机现

5、象都服从或近似服从正态分布,还有其他分布.10.口袋中有 n 个白球,3 个红球,依次从口袋中任取一球,若取到红球,则继续取球,且取出的红球不放回;若取到白球,则停止取球.记取球的次数为 X,若 P(X=2)=,则下列结论正确的是()A.n=7B.P(X=3)=3 C.EX=D.DX=答案 ABC解析由 P(X=2)=,得 ,即 ,整理得 90n=7(n+2)(n+3),解得 n=7 n=舍去.所以 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以EX=1 +2 +3 +4 ,DX=1-2 +2-2 +3-2 +4-2 11.设随机变量 服从正态分布

6、N(0,1),则下列结论正确的是()A.P(|a)=P(-a)(a0)B.P(|a)=2P(0)C.P(|a)=1-2P(0)D.P(|a)(a0)答案 BD解析因为 P(|a)=P(-aa),所以 A 不正确;因为 P(|a)=P(-aa)=P(a)-P(-a)=P(a)=P(a)-(1-P(a)=2P(a)-1,所以 B 正确,C 不正确;因为 P(|a)=1,所以 P(|a)(a0),所以 D 正确.12.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为 和 ,甲、乙两人各射击一次,下列说法正确的是()A.目标恰好被命中一次的概率为 B.目标恰好被命中两次的概率为 C.目标被命中的概率为 D.目

7、标被命中的概率为 1-答案 BD解析设“甲射击一次命中目标”为事件 A,“乙射击一次命中目标”为事件 B,显然,A,B 相互独立,则目标恰好被命中一次的概率为 P(A B)=P(A)+P(B)=,故 A 不正确;目标恰好被命中两次的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=,故 B 正确;目标被命中的概率为 P(A BAB)=P(A)+P(B)+P(AB)=或 1-P()=1-P()P()=1-,故 C 不正确,D 正确.三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件 A 表示“两个点数互不相同”,B 表示“出现一个 5 点”,则P(B|A)

8、=.答案 解析出现点数互不相同的共有 n(A)=65=30 种,出现一个 5 点共有 n(AB)=52=10 种,所以P(B|A)=4 14.已知有一匀速转动的圆盘,其中心有一个固定的小目标 M,甲、乙两人站在距离圆盘边缘 2 m 处的地方向圆盘中心抛掷小圆环,他们抛掷的小圆环能套上小目标 M 的概率分别为 与 ,现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次,则小目标 M 被套上的概率为 .答案 解析小目标 M 被套上包括甲抛掷的小圆环套上、乙抛掷的小圆环没有套上;乙抛掷的小圆环套上、甲抛掷的小圆环没有套上;甲、乙抛掷的小圆环都套上,所以小目标 M 被套上的概率为 1-+1-15.(2019

9、课标全国,理 15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 41 获胜的概率是 .答案 0.18解析前五场中有一场客场输时,甲队以 41 获胜的概率是 0.630.50.52=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以 41 获胜的概率是 0.40.620.520.6=0.072.综上所述,甲队以 41 获胜的概率是 0.108+0.072=0.18.16.5 张彩票中仅有 1 张中奖彩票,5 个人依

10、次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为 ,第三个人摸到中奖彩票的概率为 .答案 解析记“第 i 个人抽中中奖彩票”为事件 Ai,显然 P(A1)=,而 P(A2)=PA2(A1 )=P(A2A1)+P(A2 )=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=0+,P(A3)=PA3(A1A2A1 A2 )=P(A1A2A3)+P(A1 A3)+P(A2A3)+P(A3)=0+0+0+P(A3 )=P()P()P(A3|)=四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽

11、2 个,肉粽 3 个,白粽5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个.(1)求三种粽子各取到 1 个的概率;(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.解(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公式有 P(A)=(2)X 的所有可能取值为 0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=综上,X 的分布列为 X 0 1 2 P 5 故 EX=0 +1 +2 18.(12 分)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为 ,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为 ,若前两次均未打破,第三次落下时打破的概率为 ,求透镜

12、落下三次未打破的概率.解以 Ai,i=1,2,3 表示事件“透镜落下第 i 次时打破”,以 B 表示事件“透镜落下三次未打破”,因为 B=,所以 P(B)=P()=P()P()P()=1-1-1-=19.(12 分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共 10 人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选 2 人参加测试,其中恰为一男一女的概率为 ;(1)求该小组中女生的人数;(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为 ,每个男生通过的概率均为 ;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙 3 个人

13、进行测试,记这 3 人中通过测试的人数为随机变量,求 的分布列和数学期望.解(1)设该小组中有 n 个女生,根据题意,得 -,解得 n=6 或 n=4(舍去),该小组中有 6 个女生.(2)由题意,的取值为 0,1,2,3,P(=0)=,P(=1)=+2 ,P(=2)=+2 ,P(=3)=2 ,的分布列为 0 1 2 3 P E=0 +1 +2 +3 20.(12 分)(2019 天津,理 16)设甲、乙两位同学上学期间,每天 7:30 之前到校的概率均为 假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数,求

14、随机变量 X 的分布列和数学期望;(2)设 M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在 7:30 之前到校的天数比乙同学在 7:30 之前到校的天数恰好多 2”,求事件 M 发生的概率.6 解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天 7:30 之前到校的概率均为 ,故 XB3,从而 P(X=k)=k 3-k,k=0,1,2,3.所以,随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量 X 的数学期望 EX=3 =2.(2)设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为 Y,则 YB 3,且 M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由题意知事件X=3,Y=1与X=2,Y=0互

15、斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立,从而由(1)知 P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=21.(12 分)某市对高三期末考试中的数学成绩进行统计,统计结果显示,全市 10 000 名学生的数学成绩X 服从正态分布 N(120,25).在某校随机抽取了 50 名学生的数学成绩进行分析,这 50 名学生的成绩全部介于 85 分到 145 分之间,将结果按如下方式分为 6 组,第一组85,95),第二组95,105),第六组135,145,得到如图所示的频率分布直方图.(1)

16、试估计此次考试该校数学的平均成绩;(2)从这 50 名学生中成绩在 125 分及以上的学生中任意抽取 3 人,把这 3 人中在全市数学成绩排名前13 的人数记为 Y,求 Y 的分布列和期望.附:若 XN(,2),则 P(-X+)0.682 6,P(-2X+2)0.954 4,P(-3X+3)0.997 4.解(1)由题中频率分布直方图,可知成绩在125,135)内的频率为 1-(0.0110+0.02410+0.0310+0.01610+0.00810)=0.12,所以 a=0.012.所以估计此次考试该校数学的平均成绩为900.1+1000.24+1100.3+1200.16+1300.12

17、+1400.08=112(分).(2)由题意,得 P(120-351),每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第 k(k=1,2,n)题时扣掉 0.2k 分;每答对一题加 2 分,答错既不加分也不扣分;答完 n 题后参赛学生最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为 0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量 n 应为多少?参考数据:19,若 ZN(,2),则 P(-Z+)0.682 6,P(-2Z+2)0.954 4,P(-3Z+3)0.997 4,1+2+3+n=解(1)样本中成绩不低于 60 分的学生有(0.012 5+0.007 5)20

18、100=40(人),其中成绩不低于 80 分的有0.007 520100=15(人),则至少有 1 人成绩不低于 80 分的概率为 1-8 (2)由题意知样本中 100 名学生成绩的平均分为 100.1+300.2+500.3+700.25+900.15=53,所以=53,2=362,所以 19,所以 ZN(53,362),则 P(Z91)=P(Z+2)(1-0.954 4)=0.022 8,故全市参加预赛学生中成绩不低于 91 分的人数为 0.022 84 00091(人).(3)以随机变量 表示甲答对的题数,则 B(n,0.75),且 E=0.75n,记甲答完 n 题所加的分数为随机变量X,则 X=2,所以 EX=2E=1.5n.依题意为了获取答 n 题的资格,甲需要扣掉的分数为 0.2(1+2+3+n)=0.1(n2+n),设甲答完 n 题的分数为 M(n),则 M(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于 nN+,当 n=7时,M(n)取最大值 104.9,即复赛成绩的最大值为 104.9.所以若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量 n 应该是 7.