2020-2021学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数真题分类专练一课一练（含解析）新人教A版必修第一册.docx

1、新20版练B1数学人教A版第四章真题分类专练题组1指数函数的图像与性质1.(浙江学考)对任意的正实数a及m,nQ,下列运算正确的是()。A.(am)n=am+nB.(am)n=amnC.(am)n=am-nD.(am)n=amn答案：D解析：(am)n=amn,故选D。2.(浙江学考)设函数f(x)=2ex,g(x)=e3x,其中e为自数对数的底数,则()。A.对于任意实数x恒有f(x)g(x)B.存在正实数x使得f(x)g(x)C.对于任意实数x恒有f(x)g(x)D.存在正实数x使得f(x)0时,g(x)f(x)1,即f(x)g(x);当x0时,g(x)f(x)g(x)。故选D。3.(20

2、17山东高考)若函数exf(x)(e=2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是()。A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx答案：A解析：对于选项A,f(x)=2-x=12x,则exf(x)=ex12x=e2x,因为e21,所以exf(x)在R上单调递增,所以f(x)=2-x具有M性质。而分析B,C,D易知B,C,D中f(x)均不具有M性质。故选A。4.(湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()。A.p

3、+q2B.(p+1)(q+1)-12C.pqD.(p+1)(q+1)-1答案：D解析：设年平均增长率为x,原生产总值为a,则(1+p)(1+q)a=a(1+x)2,解得x=(1+p)(1+q)-1,故选D。5.(浙江高考)已知a,b0,且a1,b1。若logab1,则()。A.(a-1)(b-1)0C.(b-1)(b-a)0答案：D解析：根据题意,logab1logab-logaa0logaba00a1,0ba1,ba1,即0a1,0b1,ba。当0a1,0ba时,0ba1,所以b-10,b-a1,ba时,ba1,所以b-10,b-a0。所以(b-1)(b-a)0。故选D。6.(2019贵州二

4、模)若a=212,b=313,c=515,则a,b,c的大小关系为()。A.abcB.bacC.cabD.bc0,b6a6,ba。a10-c10=32-250,a10c10,ac。综上可得bac。故选C。7.(2019全国高考)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当x0时,f(x)=()。A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1答案：D解析：依题意得,当x0,且a1)在-1,2上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x在0,+)上是增函数,则a=。答案：14解析：函数g(x)在0,+)上为增函数,则1-4m0,即m1,则函数f(x)在-1,

5、2上的最小值为1a=m,最大值为a2=4,解得a=2,m=12,与m14矛盾;当0a0,所以x1。11.(黑龙江学考)已知函数f(x)=lnx,若实数abce,则f(a)a,f(b)b,f(c)c的大小关系为()。A.f(a)af(b)bf(c)cB.f(a)af(c)cf(b)bC.f(c)cf(a)af(b)bD.f(c)cf(b)bf(a)a答案：D解析：由对数函数y=lnx的特征知选D。12.(2018全国高考)下列函数中,其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是()。A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)答案：B解析：方法一

6、:设所求函数图像上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=lnx的图像上,所以y=ln(2-x)。故选B。方法二:由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=lnx的图像上也在所求函数的图像上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D,选B。13.(2018天津高考)已知a=log2e,b=ln2,c=log1213,则a,b,c的大小关系为()。A.abcB.bacC.cbaD.cab答案：D解析：方法一:因为a=log2e1,b=ln2(0,1),c=log1213=log23log2e1,所以cab,故选

7、D。方法二:log1213=log23,如图,在同一坐标系中作出函数y=log2x,y=lnx的图像,由图知cab,故选D。14.(2017全国高考)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()。A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)答案：D解析：由x2-2x-80,得x4。因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-,-2)(4,+)。注意到函数y=x2-2x-8在(4,+)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+),选D。15.(全国高考)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,则使得f(

8、x)f(2x-1)成立的x的取值范围是()。A.13,1B.-,131,+C.-13,13D.-,-1313,+答案：A解析：函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数,又当x(0,+)时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,f(x)是单调递增的,故f(x)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x-1|,解得13x0,b0,ab=8,则当a的值为时,log2alog2(2b)取得最大值。答案：4解析：由于a0,b0,ab=8,所以a=8b,所以log2alog2(2b)=log28blog2(2b)=(3-log2b)(1+log2

9、b)=-(log2b)2+2log2b+3=-(log2b-1)2+4,当b=2时,有最大值4,此时a=4。19.(重庆高考)函数f(x)=log2xlog2(2x)的最小值为。答案：-14解析：依题意得f(x)=12log2x(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=log2x+122-14-14,当且仅当log2x=-12,即x=12时等号成立,因此函数f(x)的最小值为-14。20.(2018全国高考)已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=。答案：-2解析：由f(a)=ln(1+a2-a)+1=4,得ln(1+a2-a)=3,所以f(-a)=l

10、n(1+a2+a)+1=-ln11+a2+a+1=-ln(1+a2-a)+1=-3+1=-2。21.(云南学考)函数f(x)=logax(a0,且a1)在区间2,8上的最大值为6,则a=。答案：2解析：当a1时,f(x)=logax(a0,且a1)在区间2,8上是增函数,所以f(x)max=f(8)=loga8=6,所以a=2。当0a0,且a1)在区间2,8上是减函数,所以f(x)max=f(2)=loga2=6,所以a=621(舍)。综上可知,a=2。题组3指数函数与对数函数的综合问题22.(2018天津高考)已知a=log372,b=1413,c=log1315,则a,b,c的大小关系为(

11、)。A.abcB.bacC.cbaD.cab答案：D解析：log1315=log3-15-1=log35,因为函数y=log3x为增函数,所以log35log372log33=1。因为函数y=14x为减函数,所以1413ab。故选D。23.(2017全国高考)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()。A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1,则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5。因为k1,所以lgk0,所以2x-3y=2lgklg2-3lgklg3=lgk(2lg3-3lg2)lg2lg3=lgklg98lg2lg30,故2x3y,2x-5z=2l

12、gklg2-5lgklg5=lgk(2lg5-5lg2)lg2lg5=lgklg2532lg2lg50,故2x5z。所以3y2x1。则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5。所以2x3y=23lg3lg2=lg9lg81,即2x3y;5z2x=52lg2lg5=lg25lg521,即5z2x。所以5z2x3y。故选D。方法三:(中间值法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k1,则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5。所以3y=lgklg33,2x=lgklg2,5z=lgklg55。因为33=6968=2,2=10321025=55,所以lg33lg2

13、lg550。又k1,所以lgk0,所以lg33lg2lg550,所以3y2x5z。故选D。24.(2017北京高考)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080。则下列各数中与MN最接近的是()。(参考数据:lg30.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案：D解析：因为lg3361=361lg33610.48173,所以M10173,则MN101731080=1093,故选D。25.(天津高考)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数。记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(

14、2m),则a,b,c的大小关系为()。A.abcB.acbC.cabD.cba答案：C解析：由f(x)=2|x-m|-1是偶函数得m=0,则f(x)=2|x|-1。当x0,+)时,f(x)=2x-1递增,又a=f(log0.53)=f(|log0.53|)=f(log23),c=f(0),且0log23log25,则f(0)f(log23)f(log25),即caf(2-32)f(2-23)B.flog314f(2-23)f(2-32)C.f(2-32)f(2-23)flog314D.f(2-23)f(2-32)flog314答案：C解析：因为函数y=2x在R上是增函数,所以02-322-23

15、20=1。因为函数y=log3x在(0,+)上是增函数,所以log314log313=-1。因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)。因为函数f(x)在(0,+)单调递减,且02-322-2320=1f(2-23)f(log34)=flog314。故选C。27.(2019全国高考)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()。A.abcB.acbC.cabD.bca答案：B解析：a=log20.220=1,c=0.20.30,acb,故选B。题组4求函数的零点或零点的个数28.(云南高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+3x。则函数g(x

16、)=f(x)-x+3的零点的集合为()。A.-1,3B.-3,-1,1,3C.1,3D.1,-3答案：A解析：当x0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2+3x=x-3,无解;当x2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()。A.2B.3C.4D.5答案：A解析：f(2-x)=2-|2-x|,x0,x2,x0,从而g(x)=1+|2-x|,x0,3-x2,x0。在同一坐标系下画出y=f(x),y=g(x)的图像(图像略),观察可得两函数图像有2个交点,从而知函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2。题组5确定函数零点所在的区间30.(广州学

17、考)函数f(x)=12x-x+2的零点所在的一个区间是()。A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案：D解析：f(2)f(3)=122123-3+2=1418-10,f(2)=3-log22=20,f(4)=32-log24=-120,g(x)=f(x)+x+a。若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()。A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)答案：C解析：函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图像,如图所示,由图可

18、知,-a1,解得a-1,故选C。33.(2017山东高考)已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2的图像与y=x+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()。A.(0,123,+)B.(0,13,+)C.(0,223,+)D.(0,23,+)答案：B解析：当0m1时,需满足1+m(m-1)2,解得0m3,故这时01时,需满足(m-1)21+m,解得m3或m0,故这时m3。综上可知,正实数m的取值范围为(0,13,+)。34.(山东高考)已知函数f(x)=|x|,xm,x2-2mx+4m,xm,其中m0。若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是。答案：

19、(3,+)解析：f(x)=|x|,xm,x2-2mx+4m,xm,当xm时,f(x)=x2-2mx-4m=(x-m)2+4m-m2,其顶点为(m,4m-m2);当xm时,函数f(x)的图像与直线x=m的交点为Q(m,m)。当m0,4m-m2m,即0m3时,函数f(x)的图像如图所示,易得直线y=b与函数f(x)的图像有一个或两个不同的交点,不符合题意;当4m-m20,即m3时,函数f(x)的图像如图所示,则存在实数b满足4m-m2bm,使得直线y=b与函数f(x)的图像有三个不同的交点,符合题意。综上,m的取值范围为(3,+)。题组7函数模型的应用35.(四川高考)某食品的保鲜时间y(单位:时

20、)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数)。若该食品在0的保鲜时间是192小时,在22的保鲜时间是24小时,则该食品在44的保鲜时间是小时。答案：24解析：依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb,所以e22k=48eb=48192=14,所以e11k=12或-12(舍去),于是该食品在33的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb=123192=24(小时)。36.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%。已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(毫克/升)与过滤时间t(时)之间的函数关系式为P=P0e

21、-kt(k,P0均为正的常数,其中P0为t=0时的污染物数量)。如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么至少还需()过滤才可以排放。A.12时B.59时C.5时D.10时答案：C解析：由题意,前5个小时排除了90%的污染物。因为P=P0e-kt,所以(1-90%)P0=P0e-5k,所以0.1=e-5k,即-5k=ln0.1,解得k=-15ln0.1。设t时后污染物含量为1%,由1%P0=P0e-kt,得0.01=e-kt,所以-kt=ln0.01,即t5ln0.1=ln0.01=2ln0.1,解得t=10。所以至少还需5时过滤才可以排放,故选C。37.(湖南高考)某企业接到生产

22、3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件)。已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件。该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数)。(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;答案：设完成A,B,C三种部件生产需要的时间分别为T1(x),T2(x),T3(x)(单位:天),由题设有T1(x)=230006x=1000x,T2(x)=2000kx,T3(x)=1500200-(1+k)x,其中x,kx,200-

23、(1+k)x均为1到200之间的正整数。(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案。答案：设完成订单任务的时间为f(x),则f(x)=maxT1(x),T2(x),T3(x),其定义域为x0x2001+k,xN*。易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数。注意到T2(x)=2kT1(x),于是当k=2时,T1(x)=T2(x),此时f(x)=maxT1(x),T3(x)=max1000x,1500200-3x,由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当1000x=1500200-3x时f(x)取得最小值,

24、解得x=4009。由于44400945,而f(44)=T1(44)=25011,f(45)=T3(45)=30013,f(44)2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k3,此时T3(x)37550-x,令T(x)=37550-x,(x)=maxT1(x),T(x),易知T(x)为增函数,则f(x)=maxT1(x),T3(x)maxT1(x),T(x)=(x)=max1000x,37550-x。由函数T1(x),T(x)的单调性知,当1000x=37550-x时(x)取得最小值,解得x=40011。由于364001125011,(37)=T(37)=3751325011,此时完成订单任务的最短时间大于25011。当k2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=maxT2(x),T3(x)=max2000x,750100-x。由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当2000x=750100-x时f(x)取得最小值,解得x=80011。类似的讨论,知此时完成订单任务的最短时间为2509,大于25011。综上所述,当k=2时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68