2020-2021学年高中数学 第五章 数列测评课后习题（含解析）新人教B版选择性必修第三册.docx

1、第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q=()A.32B.5C.5-12D.1+52解析由题意知an=an+1+an+2=anq+anq2,即q2+q-1=0,解得q=5-12(负值舍去),故选C.答案C2.等比数列an中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于()A.8B.-8C.8D.以上选项都不对解析a2+a6=34,a2a6=64,a42=64,且a20,a60,a4=a2q20(q为公比),a

2、4=8.答案A3.(2020全国卷)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块解析由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为an.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S

3、2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为an为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+272629=3402.故选C.答案C4.已知等差数列an中,a10,前n项和是Sn,且S14=S8,则当Sn取得最大值时,n为()A.8B.9C.10D.11解析S14=S8,a9+a10+a11+a12+a13+a14=3(a11+a12)=0.a10,d0,a120,n=11.答案D5.已知数列an满足a1=1,an+1=an+2n,则a10=()A.1 024B.2 048C.1 0

4、23D.2 047解析因为an+1=an+2n,所以an+1-an=2n,因此a10=a10-a9+a9-a8+a2-a1+a1=29+28+2+1=1-2101-2=1023,选C.答案C6.设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,则a10=()A.15B.19C.21D.30解析由S3=a22,得3a2=a22,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列可得S22=S1S4,又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化简得3d2=2a2d,又d0,a2=3,d=2,a1=

5、1,an=1+2(n-1)=2n-1,a10=19.答案B7.(2020北京卷)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项解析由题意可知,等差数列的公差d=a5-a15-1=-1+95-1=2,则其通项公式为an=a1+(n-1)d=-9+(n-1)2=2n-11,注意到a1a2a3a4a50a6=1a7,且由T50可知Ti1(i7,iN)可知数列Tn不存在最小项,由于a1=-9,a2=-7,a3=-5,a4=-3,a5=-1,a6=1,故数列Tn中的正项

6、只有有限项:T2=63,T4=6315=945.故数列Tn中存在最大项,且最大项为T4.故选B.答案B8.设数列an满足an+1=-2an,a1=1,数列|an|的前n项和为Sn,则S2 021=()A.22 021-1B.22 022-2C.22 020-1D.1-22 021解析(方法一)由an+1=-2an,可得an+1an=-2,又a1=1,所以an=(-2)n-1,所以|an|=|(-2)n-1|=2n-1,所以S2021=1-220211-2=22021-1.故选A.(方法二)由an+1=-2an,可得an+1an=-2,又a1=1,所以an=(-2)n-1,所以S2021=|a1

7、|+|a2|+|a3|+|a2021|=(a1+a3+a5+a2021)-(a2+a4+a6+a2020)=1-410111-4-(-2)(1-41010)1-4=13(22022-1+222020-2)=22021-1.故选A.答案A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020宁阳第四中学高二期末)等差数列an是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,下列选择项正确的是()A.d0B.a10时,n的最小值为8解析由题意,设等差数列an的公差为d,因为a7=3a5,可得a1+6d

8、=3(a1+4d),解得a1=-3d.又由等差数列an是递增数列,可知d0,则a10,解得n7,即Sn0时,n的最小值为8,故D正确.故选ABD.答案ABD10.(2020江苏高二期末)设d,Sn分别为等差数列an的公差与前n项和,若S10=S20,则下列论断中正确的有()A.当n=15时,Sn取最大值B.当n=30时,Sn=0C.当d0时,a10+a220D.当d|a22|解析因为S10=S20,所以10a1+1092d=20a1+20192d,解得a1=-292d.对选项A,因为无法确定a1和d的正负,所以无法确定Sn是否有最大值,故A错误;对选项B,S30=30a1+30292d=30-

9、292d+1529d=0,故B正确.对选项C,a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2-292d+15d=d0,故C正确.对选项D,a10=a1+9d=-292d+182d=-112d,a22=a1+21d=-292d+422d=132d,因为d0,所以|a10|=-112d,|a22|=-132d,|a10|1,0q1,0q1,故数列为单调递减数列,总存在从某一项开始使得ak=a1qk-1(0,1),故Tk-1=a1a2ak-1有最大值,故D正确.故选ABD.答案ABD12.(2020山东实验中学高三月考)记数列an的前n项和为Sn,若存在实数H,使得对任意的nN+都有|Sn|H,则

10、称数列an为“和有界数列”.下列说法正确的是()A.若an是等差数列,且公差d=0,则an是“和有界数列”B.若an是等差数列,且an是“和有界数列”,则公差d=0C.若an是等比数列,且公比|q|1,则an是“和有界数列”D.若an是等比数列,且an是“和有界数列”,则an的公比|q|1解析对于AB选项分析如下:若an是等差数列,则Sn=na1+n(n-1)d2=d2n2+a1-d2n.对于A选项,当d=0时,Sn=na1,若a10,根据一次函数的性质可知,此时不存在符合题意的H.所以A选项错误.对于B选项,an是“和有界数列”,而Sn=d2n2+a1-d2n,若d0,根据二次函数的性质可知

11、,此时不存在符合题意的H,故d=0.所以B选项正确.对于CD选项分析如下:若an是等比数列,则Sn=a1(1-qn)1-q=-a11-qqn+a11-q.对于C选项,若|q|1,则|Sn|=a11-q-a11-qqna11-q+a11-qqn2a11-q,则an是“和有界数列”.所以C选项正确.对于D选项,若an是等比数列,且an是“和有界数列”,q的取值可能为-1,此时|Sn|a1|,所以存在实数H,使得对任意的nN+,都有|Sn|0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列anbn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)an=3

12、n-1,a1=1,a2=3,a3=9.在等差数列bn中,b1+b2+b3=15,3b2=15,则b2=5.设等差数列bn的公差为d,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2.bn0,d=-10应舍去,d=2,b1=3,bn=2n+1.故anbn=(2n+1)3n-1.(2)由(1),知Tn=31+53+732+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-,得-2Tn=31+23+232+233+23n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+3n-1)

13、-(2n+1)3n=3+23-3n1-3-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n3n.Tn=n3n.21.(本小题满分12分)(2020上海杨浦高三二模)某地出现了虫害,农业科学家引入了“虫害指数”数列In,In表示第n周的虫害的严重程度,虫害指数越大,严重程度越高,为了治理虫害,需要环境整治、杀灭害虫,然而由于人力资源有限,每周只能采取以下两个策略之一:策略A:环境整治,“虫害指数”数列满足In+1=1.02In-0.20;策略B:杀灭害虫,“虫害指数”数列满足In+1=1.08In-0.46.当某周“虫害指数”小于1时,危机解除.(1)设第一周的虫害指数I11,8,用哪一个策略将

14、使第二周的虫害严重程度更小?(2)设第一周的虫害指数I1=3,如果每周都采用最优的策略,虫害的危机最快在第几周解除?解(1)由题意可知,使用策略A时,I2=1.02I1-0.20;使用策略B时,I2=1.08I1-0.46.令1.02I1-0.20-(1.08I1-0.46)0,解得I1133,即当I11,133时,使用策略B第二周严重程度更小;当I1=133时,使用两种策略第二周严重程度一样;当I1133,8时,使用策略A第二周严重程度更小.(2)由(1)可知,最优策略为策略B,即In+1=1.08In-0.46,In+1-234=1.08In-234,所以数列In-234是以-114为首项,1.08为公比的等比数列,所以In-234=-1141.08n-1,即In=-1141.08n-1+234,令In0,且b1+b2=6b3,求q的值及数列an的通项公式;(2)若bn为等差数列,公差d0,证明:c1+c2+cn0,得bn+10,因此c1+c2+c3+cn1+1d,nN+.