2021-2022学年新教材高中数学 第二章 导数及其应用 4.docx

1、第二章导数及其应用4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列运算中正确的是()A.(ax2+bx+c)=a(x2)+b(x)B.(sin x-2x2)=(sin x)-2(x2)C.sinxx2=(sinx)-(x2)x2D.(cos xsin x)=(sin x)cos x+(cos x)cos x答案A解析(ax2+bx+c)=a(x2)+b(x),故A正确;(sinx-2x2)=(sinx)-2(x2),故B错误;sinxx2=(sinx)x2-sinx(x2)x4,故C错误;(cosxsinx)=(cosx)sinx+c

2、osx(sinx),故D错误.2.函数f(x)=xcos x-sin x的导函数是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数答案B解析f(x)=(xcosx)-(sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令F(x)=-xsinx,xR,则F(-x)=xsin(-x)=-xsinx=F(x),f(x)是偶函数.3.已知f(x)=cos x2sin x2-cos x2,则f4=()A.22B.1或-1C.0D.-22答案A解析f(x)=cosx2sinx2-cosx2=12(sinx-cosx)-12.f(x)=12(cosx+sinx)=22s

3、inx+4.f4=22sin2=22.4.已知函数f(x)=f4cos x+sin x,则f4的值为.答案1解析f(x)=-f4sinx+cosx,f4=-f422+22,解得f4=2-1,f(x)=(2-1)cosx+sinx,f4=1.5.设f(5)=5,f(5)=3,g(5)=4,g(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h(5)=.答案516解析由题意知f(5)=5,f(5)=3,g(5)=4,g(5)=1,h(x)=f(x)g(x)-f(x)+2g(x)g2(x),h(5)=f(5)g(5)-f(5)+2g(5)g2(5)=34-(5+2)142=516.6.求下列函数的导数

4、:(1)f(x)=(1+sin x)(1-4x);(2)f(x)=xx+1-2x(x-1).解(1)f(x)=(1+sinx)(1-4x)+(1+sinx)(1-4x)=cosx(1-4x)-4(1+sinx)=cosx-4xcosx-4-4sinx.(2)f(x)=xx+1-2x=1-1x+1-2x,则f(x)=1(x+1)2-2xln2(x-1).关键能力提升练7.设曲线f(x)=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于()A.2B.12C.-12D.-2答案D解析f(x)=x+1x-1=1+2x-1,f(x)=-2(x-1)2(x1),f(3)=-12.-a

5、-12=-1,即a=-2.8.已知f(x)=14x2+cos x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图象是()答案A解析函数f(x)=14x2+cosx,f(x)=x2-sinx,xR,f(-x)=-x2-sin(-x)=-x2-sinx=-f(x),故f(x)为奇函数,故函数图象关于原点对称,排除B,D,f6=126-sin6=12-120)存在公共切线,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.1,e24C.e24,2D.e24,+答案D解析y=x2在点(m,m2)(m0)处的切线斜率为2m,y=exa(a0)在点n,1aen处的切线斜率为1aen,如果两个曲线存在公共切线,那么2m

6、=1aen.又由斜率公式可得2m=m2-1aenm-n,由此得到m=2n-2,则4n-4=1aen有解,所以函数y=4x-4与y=1aex的图象有交点即可.当直线y=4x-4与函数y=1aex的图象相切时,设切点为(s,t),则1aes=4,且t=4s-4=1aes=4,得s=2,即有切点(2,4),a=e24,故实数a的取值范围是e24,+.故选D.10.(多选题)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值可以是()A.1B.164C.132D.-164答案AB解析因为(0,0)在直线l上,当O(0,0)为f(x)的切点时,因为f(0)=2

7、,所以直线l的方程为y=2x,又直线l与y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0满足=4-4a=0,得a=1;当O(0,0)不是f(x)的切点时,设切点为(x0,x03-3x02+2x0)(x00),则f(x0)=3x02-6x0+2,所以x03-3x02+2x0x0=3x02-6x0+2,得x0=32,所以f32=-14,所以直线l的方程为y=-14x.由y=-14x,y=x2+a,得x2+14x+a=0,由题意得=116-4a=0,所以a=164.综上得a=1或a=164.11.(多选题)过点P(2,-6)作曲线f(x)=x3-3x的切线,则切线方程为()A.3x+y=0B.24x-y-5

8、4=0C.3x-y=0D.24x-y+54=0答案AB解析设切点为(m,m3-3m),f(x)=x3-3x的导数为f(x)=3x2-3,则切线斜率k=3m2-3,由点斜式方程可得切线方程为y-m3+3m=(3m2-3)(x-m),将点P(2,-6)代入可得-6-m3+3m=(3m2-3)(2-m),解得m=0或m=3.当m=0时,切线方程为3x+y=0;当m=3时,切线方程为24x-y-54=0.12.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为.答案x-y-1=0解析点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上,设切点坐标为(x0,y0)

9、.又f(x)=1+lnx,y0=x0lnx0,y0+1=(1+lnx0)x0,解得x0=1,y0=0.切点坐标为(1,0),f(1)=1+ln1=1.直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.13.如图所示的图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(aR,a0)的导函数f(x)的图象,则这个图象的序号是,f(-1)=.答案-13解析f(x)=x2+2ax+a2-1,f(x)的图象开口向上,排除图象;又a0,f(x)不是偶函数,其图象不关于y轴对称,故f(x)的图象的序号为.由图象特征可知,f(0)=0,a2-1=0,且对称轴x=-a0,a=-1,f(x)=13x3-

10、x2+1,则f(-1)=-13.14.求下列函数的导数:(1)y=xtan x;(2)y=x+3x2+3;(3)y=x5+x7+x9x;(4)y=x-sinx2cosx2.解(1)y=(xtanx)=xsinxcosx=(xsinx)cosx-xsinx(cosx)cos2x=(sinx+xcosx)cosx+xsin2xcos2x=sinxcosx+xcos2x.(2)y=(x+3)(x2+3)-(x+3)(x2+3)(x2+3)2=-x2-6x+3(x2+3)2.(3)y=x5+x7+x9x=x2+x3+x4,y=(x2+x3+x4)=2x+3x2+4x3.(4)y=x-sinx2cosx

11、2=x-12sinx,y=x-12sinx=x-12(sinx)=1-12cosx.15.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式.解f(x)的图象过点P(0,1),e=1.又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x).故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0,d=0.f(x)=ax4+cx2+1.函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,切点坐标为(1,-1).a+c+1=-1.f(1)=4a+2c,4a+2c=1.a=52,c=-92.函数f(x)的解析式为f(x)=5

12、2x4-92x2+1.学科素养创新练16.设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解由7x-4y-12=0得y=74x-3.当x=2时,y=12,f(2)=12,又f(x)=a+bx2,f(2)=74,由得2a-b2=12,a+b4=74.解得a=1,b=3.故f(x)=x-3x.(2)证明设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f(x)=1+3x2知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=1+3x02(x-x0),即y-x0-3x0=1+3x02(x-x0).令x=0得y=-6x0,从而得切线与直线x=0的交点坐标为0,-6x0.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为12-6x0|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.