2020年复旦大学强基计划数学试题 PDF版含解析（可编辑）.pdf

1、2020 年复旦大学强基计划试题1.抛物线22ypx，过焦点 F 作直线交抛物线于,A B 两点，满足3AFFB，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足记为 A，准线交 x 轴于C 点，若12 3CFAAS，求 P。2.已知实数 xy，满足221xxy，求22xy最小值。3.已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f xaxbxcxdx，若1()()(2)2fxf xfx，则在,a b c d 中能确定的参数是。4.若三次方程32450 xaxx有一个根是纯虚数，则 a。5.展开式102311xyxy中，常数项为。6.111lim1 42 5(3)nn n。7.点(4,5)绕点(1,

2、1)顺时针旋转60，所得的点的坐标为。8.方程5 cos43 cos2所表示的曲线形状是。9.设,4 4x y ，若333cos()2024sincos+0 xxayyy a，则cos(2)xy。10.实数,x y 满足221xy，若262xyaaxy的值与,x y 无关，则 a 的范围是。11.在 ABC中，1cos3BAC，若O 为内心，且满足 AOxAByAC，则 xy的最大值为。12.已知直线:cosm yx和:3nxyc，则（）A.m 和 n 可能重合B.m 和 n 不可能垂直C.存在直线 m 上一点 P，以 P 为中心旋转后与 m 重合D.以上都不对13.抛物线23yx的焦点为 F

3、，A 在抛物线上，A 点处的切线与 AF 夹角为30，则 A 点的横坐标为。14.已知 P 为直线6014xy 上一点，且 P 点到(2,5)A和(4,3)B的距离相同，则 P 点坐标为。15.已知,1,2,3,4,5,6,7,8,9x y且 yx，联结原点O 和(,),(,)A x y B y x 两点，则12arctan 3AOB的概率为。16.143 23arcsinarcsin84。17.已知三棱锥 PABC的体积为10.5，且6,4,10ABACBCAPBP，则CP 的长度为。18.在 ABC中，9,6,7ABBCCA，则 BC 边上中线长度为。19.若2()1f xx，则()f f

4、 x的图像大致为。20.定义1,(),|()()11,MMNxMfxMNx fx fxxM，已知|2Ax xx，|(3)(3)0Bx x xx，则 AB。21.方程34122020 xyz的非负整数解的组数为。22.已知,m n，且011n，若满足202020212312mn，则n。23.凸四边形 ABCD，则BACBDC 是DACDBC 的条件。24.设函数()33xxf x的反函数为1()yfx，则1()(1)1g xfx 在 3,5上的最大值和最小值的和为。25.若4k，直线2280kxyk与222440 xk yk和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是。26.已知 A、B、C、D 四点共

5、圆，且1,2,4,5ABCDADBC，则 PA 的长度为。27.给定 5 个函数，其中 3 个奇函数，2 个偶函数，则在这 5 个函数中任意取 3 个，其中既有奇函数又有偶函数的概率为。28.下列不等式恒成立的是（）A.2211xxxxB.1|2xyxyC.|xyxzyz29.向量数列na满足1nnaad，且满足113|3,2aa d ，令11nniiSaa，则当nS 取最大时，n 的值为。30.某公司安排甲乙丙等 7 人完成 7 天的值班任务，每人负责一天。已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有种。2020 年复旦大学强基计划试题解析1.【答案】2 2p

6、【解析】由题意知,02pF，设:(0)2pAB xmym联立得2222202ypxypmyppxmy 由韦达定理可得：22,ABAByypm yyp 因为3AFFB，所以22222133,3,323BABAABypmyymyp xpyp 所以223 3312 32 2222CFAAAAACFppSyppp2.【答案】512【解析】21 1210()2xxyyxx 则2222111515422xyxx，当且仅当2221555xxx时，等号成立。3.【答案】0abcd【解析】令1002xfdbdb;令131102004442xfffdbd 1sin 2sin 4,(2)sin 4sin82fxax

7、cx fxaxcx 1()(2)2 sin 4sin 4sin82fxf xfxcxaxcx(2)sin 42 sin 4cos4caxcxx则 2200cacac，综上0abcd4.【答案】54a【解析】设纯虚数根为bi，则33224545045bbb iabbiab a 5.【答案】12600【解析】10101010102323341010101000001111iiiiiikk ijj iiiiikjxycxycc xcyxyxy 则有 3030,3,6,94100104ikkiijiij 当02.5ijZ；当734ijZ；当194ijZ；当62,2ikj符合题意，则常数项为622106

8、412600C C C。6.【答案】1118【解析】11 11(3)33n nnn所以 1111 1111111111 42 5(3)3 14253121n nnnnn1111111323+123nnn所以11111111111limlim 11 42 5(3)323+12318nnn nnnn7.【答案】54 3 63 3,22【解析】直线 AB 的斜率为5 144 13ABk由夹角公式得43tan 6034113ACABACABACACkkkkkk，所以25 34839ACk设(,)C x y，所以2254 3125 348213963 3(1)(1)252ACxxkyyxy8.【答案】两

9、条射线【解析】由225cos43cos243(2cos1)6cos5cos10 所以1cos2 或1cos3，所以为两条射线9.【答案】1【解析】由33333cos20sin+202(2)sin 2204sincos0 xxaxxayyayyya构造函数，设3()sinf xxx，显然()f x 为奇函数()(2)0()(2)2f xfyf xfyxy ，则cos(2)1xy10.【答案】565a【解析】26226(2)xyaaxyxyaxya的值与,x y 无关所以2xya与6(2)xya同号，即02626xyaaxya因为22+=1xy，令cosx，siny，则2cos2sin5 sin(

10、)5,5xy 所以556565aaa 11.【答案】332【解析】设 ADAOxAByAC因为 B、C、D 三点共线，所以1xy即11111sin 2AOAOAOxyOEAADADODAOOEOA因为213cos1 sinsin2323AAA 所以332xy12.【答案】C【解析】直线 m 的斜率为cos 1,1 ，所以 m 和n 不可能重合；故 A 错当1cos3，两直线垂直，故 B 错直线 m 与n 必相交，当 P 位于交点处时，以 P 为中心旋转后与 m 重合，故选 C。13.【答案】14【解析】设点 A 处的切线为l，2001(3,),012AyyF 对隐函数213yx求导得11236

11、y yyy所以切线为l 的斜率为01166kyy，002200121361312AFyykyy由夹角公式得13tan3013()13AFAFAFAFAFkkkkkkkkkkk 即000020003112663113616 312 336yyyyyyy，20134axy14.【答案】(1,2)【解析】直线方程为460 xy，1ABk ，AB 中点为(3,4)，所以 AB 中垂线方程为1yx，则11(1,2)462yxxPyxy 15.【答案】19【解析】设C 为 AB 中点，故1arctan,(,),322xy xyAOCA x y C所以2212102xyyxxy，问题转化为从19中任取两个数

12、,x y 满足2yx的概率则(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)，所以29419PC16.【答案】34【解析】设143 23sin,sin,84ABA B为锐角，求 AB的值则3 2147coscos84AB，则2cos()coscossinsin2ABABAB，得34AB17.【答案】7 或7 3【解析】取 AB 中点 D，则 AB 面 PDC依题意可得7,91,3 7ABCCDPDS则11213 7sin332PABCABCVShPDPDC3sin2 13PDC，所以7cos2 13PDC 由余弦定理可得291 7cos72917PCPDCPC或7 318.【答案】2 14【解析

13、】取 BC 中点 D，由中线长公式得：222222ABACADBD281493622 14ADAD19.【答案】【解析】2242()(1)12f f xxxx 20.【答案】(,30,1)(3,)【解析】由题意可得(,1),(3,0)(3,)AB 当 30 x 时，()()1ABfxfx 不满足题意；当3x 时，()()1ABfxfx 满足；当01x时，()()1ABfxfx 满足；当13x时，()()1ABfxfx不满足；当3x 时，()()1ABfxfx 满足；综上：(,30,1)(3,)AB 21.【答案】2170C【解析】34122020 xyz，,0 x y z，由题意可知4|x，设

14、4xm则12412202033505myzmyz，则3|505y，因此505(mod3)y，则1(mod3)y设31yn，所以168,0mnzm n z，因为,m n z 都可以取到 0，为了使用隔板法的时候让n 取到 0，对n 进行一个加 1 的操作，那么问题就变成1pn，则169mnp，169个 1，170 个空，插入两块板，有2170C种。22.【答案】7【解析】20202021231(mod3)，20202021233(mod4)，故7n 23.【答案】充要条件【解析】四点共圆，充要条件24.【答案】2【解析】1()(1)1g xfx 在 3,5上的最大值和最小值等价于求1()fx在

15、4,4上的最大值和最小值，即334()452325log52,log25xf xx 1()(1)1g xfx 在 3,5上的最大值和最小值和为32log5225225.【答案】17,84【解析】直线221244,42ykxk yxkk 恒过(2,4)P2480,4,2,0ABkk2214181411422448,0,224AOBPSkkkkk所以17,84S26.【答案】143x【解析】由 PAB PCD，设,PAx PBy则 12525xyxy，12424yyxx，所以143x 27.【答案】910【解析】33359110CC28.【答案】A【解析】222322221111(1)(1)(1)(1)(1)0 xxxxxxx xxxxxxxxx正确；选项 B，当1,2xy不成立；选项 C，当1,2,0 xyz，不成立，故选 A。29.【答案】6 或 7【解析】21111(1)3(1)3913244nniin nn nSaaanadnnn当6n 或7n 时，nS 取得最大值。30.【答案】1128【解析】当甲丙在第一二天时，则55120A 种；当甲丙在第二三天时，则2525240A A 种；当甲丙连续在三四五六七时，则242444768AA种；共1202407681128种。