2021-2022学年高中数学 第四章 导数应用测评（含解析）北师大版选修1-1.docx

1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设f(x)=xa-ax(0a1),则f(x)在0,+)内的极大值点x0等于()A.0B.aC.1D.1-a答案C解析令f(x0)=a-a=0(0a1),=1.x0=1.2.若函数f(x)=x3-3x-a在区间0,3上的最大值,最小值分别是m,n,则m-n的值为()A.2B.4C.18D.20答案D解析令f(x)=3x2-3=0,x=1(x=-1舍去).f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a,f(1)f(0)f(3).m=18-a,n=-2-a.m-n=(18-a)-(-2-a)=

2、20.3.函数f(x)=x2-ln x的递减区间是()A.B.C.D.答案A解析f(x)=2x-,当00时,f(x)0,g(x)0,则x0,g(x)0B.f(x)0,g(x)0C.f(x)0D.f(x)0,g(x)0时是增加的,所以x0;g(x)为偶函数且x0时是增加的,所以x0时是减少的,g(x)0.5.对任意的xR,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0a21B.a=0或a=7C.a21D.a=0或a=21答案A解析f(x)=3x2+2ax+7a,当=4a2-84a0,即0a21时,f(x)0恒成立,函数不存在极值点.6.已知函数f(x)=xln x,若f(x

3、)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于()A.1B.-1C.1D.不存在答案A解析因为f(x)=xlnx,所以f(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1.7.如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为()A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x答案A解析根据题意知,所求函数在(-5,5)上是减少的.对于A,y=x3-x,y=x2-(x2-25),x(-5,5),y0,所以函数h(x)在1,+)上是增加的,所以h(x)min=h(1)=1

4、,由题可知ah(x)min=1,故a的取值范围是(-,1.故选B.10.已知函数f(x)=x3-ax2-bx(a0,b0)的一个极值点为1,则ab的最大值为()A.1B.C.D.答案D解析f(x)=x3-ax2-bx(a0,b0),可得f(x)=x2-ax-b,因为函数f(x)的一个极值点为1,所以f(1)=0,即-a-b=0,即a+b=.所以ab2=,当且仅当a=b=时等号成立,所以ab的最大值为.故选D.11.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()A.(2,+)B.(-,-2)C.(1,+)D.(-,-1)答案B解析当a=0时,f

5、(x)=-3x2+1有两个零点,不符合题意,故a0.f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),令f(x)=0,得x=0或x=,由题意得a0,解得a-2,选B.12.已知函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x(-,1)时,(x-1)f(x)0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cabC.cbaD.bca答案B解析由f(x)=f(2-x)知函数f(x)图像关于x=1对称.当x1时,由(x-1)f(x)0,即x1时,f(x)是增加的.a=f(0),b=f,c=f(3)=f(-1),-10,ca0,所以由f(x)0,得x2a,由f

6、(x)0,得0x0,解得a=.14.一批物资用13辆汽车从A地运到300 km以外的B地,若车速为v km/h,则两车的距离不能小于 km时,这批物资全部从A地运到B地至少要花h.答案12解析最后一辆汽车从A地到B地所用的时间为t=,v(0,+),则t=-.令t=0,得-=0,v=50.又函数t=在(0,+)内只有一个极值点v=50,且这是极小值点,当v=50时,所花费的时间最短为12h.15.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则=.答案-5解析f(x)=3ax2+2bx+c,结合图像可得x=-1,2为导函数的零点,即f(-1)=f(2)=0,故解得故=-5.16.

7、若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上是增加的,则实数m的取值范围是.答案(-1,0解析f(x)=,令f(x)0,得-1x1,即函数f(x)的增区间为(-1,1).又f(x)在(m,2m+1)上是增加的,所以解得-1m0.三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)求函数y=的单调区间.解y=,y=,解y0,即0,得x.函数y=上是增加的,在(-,0),上是减少的.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f(x

8、)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x时,h(x)0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x有h(x)h(0)=0,即f(x)0,则由f(x)=0得x=lna.当x(-,lna)时,f(x)0.故f(x)在(-,lna)单调递减,在(lna,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln.当x时,f(x)0.故f(x)在单调递减,在单调

9、递增.(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna0,即a1时,f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2.从而当且仅当a20,即a-2时f(x)0.综上,a的取值范围是-2,1.20.(本小题满分12分)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.解(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.令f(x)=0得x=-1-,x=-1+.当x(-,-1-)时,f(x)0

10、;当x(-1+,+)时,f(x)0.所以f(x)在(-,-1-),(-1+,+)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在0,+)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当0a0(x0),所以g(x)在0,+)内单调递增,而g(0)=0,故exx+1.当0x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)a

11、x0+1.当a0时,取x0=,则x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.综上,a的取值范围是1,+).21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x2-x+c.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)有三个零点,求实数c的取值范围.解(1)因为f(x)=x3+x2-x+c,故f(x)=3x2+2x-1,由f(x)0,得x,所以函数f(x)的递增区间为(-,-1)和,+;(2)由(1)知,f(x)在x=-1处取得极大值1+c,在x=处取得极小值-+c,因为函数f(x)有三个零点,所以解得-1c0时,若对于任意x10,总存在x2-2,-1,使得f(x1)g(x2),求实数m的取值范围.解(1)f(x)=-,所以当m0时,有f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)上是增加的.当m0时,由f(x)0,解得x0,f(x)在0,上是增加的;由f(x)0时,f(x)max=f=-ln2m-1,根据题意,不等式等价于-ln2m-1g(x2)max,x2-2,-1.对于g(x)=-x2-1,g(x)=-2x0,x-2,-1,所以g(x)在x-2,-1上是增加的,所以g(x)max=g(-1)=-2.则有-ln2m-1-2.设h(m)=-ln2m-1(m0),则h(m)=-0,所以h(m)在定义域上是减少的,又h=-2,所以m,即m的取值范围是,+.