2023年初升高衔接数学讲义.pdf

1、课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 1 页第一章乘法公式与因式分解1.1 乘法公式我们知道(a+b)2=a2+2ab+b2，将公式左边的指数变为 3 时，又有什么结论呢？由于(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a2+2ab+b2(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，因此得到和的立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3将公式中的 b 全部改为-b，又得到差的立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为(a b)3=a3 3a2b+3ab2 b3【例1】化简：(x+1)3-x x2+3x

2、+3【解】(x+1)3-x x2+3x+3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2-3x=1由完全立方公式可得(a+b)3-3a2b-3ab2=a3+b3，即(a+b)(a+b)2-3ab=a3+b3，由此可得立方和公式(a+b)a2-ab+b2=a3+b3将立方和公式中的 b 全部改为-b，得到立方差公式(a-b)a2+ab+b2=a3-b3【例2】对任意实数 a，试比较(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2与 1 的大小【分析】观察(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简【解】(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2=(1+a)1-a+

3、a2(1-a)1+a+a2=1+a31-a3=1-a6因为 1-a6-1=-a6，对任意实数 a，-a6 0，所以(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2 1第 2 页课堂笔记通过将完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中的指数 2 推广到 3，我们得到了完全立方公式有兴趣的同学可以将指数推广到 4，5，另外，我们也可以从项数的角度推广(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca灵活应用等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便【

4、例3】已知 a+b+c=0，ab+bc+ca=-12，求下列各式的值：(1)a2+b2+c2(2)a4+b4+c4【分析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将 a2+b2+c2用 a+b+c和 ab+bc+ca 表示由于 a4+b4+c4=a22+b22+c22，由(1)得到启发，如果知道 a2b2+b2c2+c2a2的值，就能得解【解】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca由上式和已知得 0=a2+b2+c2-1，即 a2+b2+c2=1(2)由 ab+bc+ca=-12，得 a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14 因为 a+b+c=0

5、，所以 a2b2+b2c2+c2a2=14 再由(1)的结论，得 a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1因此 a4+b4+c4=12【例4】已知 x2+x-1=0，求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6x【证法 1】(x+1)3-(x-1)3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-1=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1=6x2+2由已知得 x2=1-x，故 6x2+2=6(1-x)+2=8-6x因此，(x+1)3-(x-1)3=8-6x【证法 2】(x+1)3-(x-1)3=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2=2 x2+2x

6、+1+x2-1+x2-2x+1=6x2+2以下同证法 1课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 3 页习题 1.11.若 a+b=8，ab=2，则 a3+b3=()A.128B.464C.496D.5122.若 x+y+z=0，则 x3+y3+z3=()A.0B.x2y+y2z+z2xC.x2+y2+z2D.3xyz3.设 A=n+1n3，B=n3+1n3+6，对于任意 n 0，则 A，B 大小关系为()A.A BB.A BC.A BD.不一定4.(5-x)25+5x+x2=5.观察下列各式的规律：(a-b)(a+b)=a2-b2，(a-b)a2+ab+b2=a3-b3，(a-b)a3+a2b+ab2+b

7、3=a4-b4可得到(a-b)an+an-1b+abn-1+bn=(其中 n 为正整数)6.求函数 y=(x-2)3-x3的最大值7.当 x=3 3 时，求代数式 2x+1x4x2-2+1x2-1x3 的值8.已知 a，b，c 为非零实数，a2+b2+c2x2+y2+z2=(ax+by+cz)2，求证：xa=yb=zc 第 4 页课堂笔记1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法下面我们继续学习一些分解因式的方法1.十字相乘法我们知道，形如 x2+(p+q)x+pq 的二次三项式，它的特点是二次

8、项系数是 1，常数 pq 与一次项系数 p+q 可以通过如图 1 2-1 的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)这种方法能否推广呢？如果要对 2x2-7x+3 分解因式，我们把二次项系数 2 分解为 1 2，把常数项 3 分解成 1 3 或(-1)(-3)，按图 1 2-2 至图 1 2-5 的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算12311 3+2 1=512131 1+2 3=712-3-11 -3+2 -1=-512-1-31 -1+2 -3=-7图 1.2-2图 1.2-3图 1.2-4图 1.2-5可以发现图 1 2-5 对应的结

9、果 1 (-1)+2 (-3)=-7，恰好等于一次项系数-7由于(x-3)(2x-1)=2x2-7x+3，从而2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法【例1】将下列各式分解因式：(1)2x2+x-3；(2)-6a2+7a+5【分析】(1)因为 2=1 2，-3=(-1)3=1 (-3)，且一次项系数是 1，所以可按图 1 2-6 用十字相乘法分解因式(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多因此先把负号提到括号外面，即-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，然后再把 6a2-7

10、a-5 按图 1 2-7 用十字相乘法分解因式【解】(1)因为 1 3+2 (-1)=1，恰好等于一次项系数 1，所以2x2+x-3=(x-1)(2x+3)(2)因为-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，而根据十字相乘法，6a2-7a-5=(2a+1)(3a-5)，所以-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-5)【例2】分解因式：x2-x2-x2-x-211pq1 p+1 q=p+q图 1.2-1123-1123-1图 1.2-6图 1.2-7课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 5 页【分析】先将 x2-x 视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决【解】x2-x2-x2-x-2=x2-x-2x2-

11、x+1=(x-2)(x+1)x2-x+12.分组分解法观察多项式 xm+xn+ym+yn，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式观察多项式的各项，前两项有公因式 x，后两项有公因式 y，分别提取后得到 x(m+n)+y(m+n)这时又有了公因式(m+n)，因此能把多项式 xm+xn+ym+yn 分解因式分解过程是xm+xn+ym+yn=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式【例3】将下列各式

12、分解因式：(1)x3-x2+x-1；(2)x2+4(xy-1)+4y2【解】(1)【解法 1】x3-x2+x-1=x3-x2+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)x2+1【解法 2】x3-x2+x-1=x3+x-x2+1=x x2+1-x2+1=x2+1(x-1)(2)x2+4(xy-1)+4y2=x2+4xy-4+4y2=x2+4xy+4y2-4=(x+2y)2-4=(x+2y+2)(x+2y-2)【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性【例4】分解因式：x3

13、+3x-4【分析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解【解】x3+3x-4=x3+3x-1-3=x3-1+(3x-3)=(x-1)x2+x+1+3(x-1)=(x-1)x2+x+4【例5】已知 x3-2x2y-xy2+2y3=0，x y 0，化简：xz-2yz+1第 6 页课堂笔记【解】因为 x3-2x2y-xy2+2y3=x2(x-2y)-y2(x-2y)=(x-2y)x2-y2=(x-2y)(x+y)(x-y)，所以(x-2y)(x+y)(x-y)=0又因为 x y 0，所以 x+y 0，x-y 0，即只有 x-2y=0从而xz-2yz+1=z(x-2y

14、)+1=1习题 1.21.对多项式 4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()A.4x2+2x-y+y2B.4x2+2x-y2-yC.4x2-y+2x-yD.4x2-y+(2x-y2)2.要使二次三项式 x2-6x+m 在整数范围内可分解，m 为正整数，那么 m 的取值可以有()A.2 个B.3 个C.5 个D.6 个3.把多项式 2ab+1-a2-b2分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4.m4+m2+1=m4+-m2+1=m2+m2+5.将下列各式分解因式：

15、(1)4x2-x-3；(2)3x2+2ax-a26.将下列各式分解因式：(1)x3-y3-x2y+xy2；(2)2a2-b2+ab-2a+b7.已知 m=x-y，n=xy，试用 m，n 表示 x3+y328.当 x=-1 时，x3+2x2-5x-6=0请根据这一事实，将 x3+2x2-5x-6 分解因式课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 7 页第一章测试题(满分为 100 分，考试时间 45 分钟)一、选择题(本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1.多项式-3y2-2yx+x2分解因式的结果是()A.-(y+x)(3y+x)B.(x+y)(x-3y)C.-(y-x)(3y-x)D.(x+y

16、)(3x-y)2.若 a3-b3=3a2b-3ab2+1，其中 a，b 为实数，则 a-b=()A.0B.-1C.1D.13.若多项式 2x2+7x+m 分解因式的结果中有因式 x+3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A.2x-1B.2x+1C.x+1D.x-14.若 a+1a=3，则 a2+a3+a4+1a2+1a3+1a4=()A.7B.25C.47D.725.多项式 4-x2-2xy-y2分解因式的结果是()A.(2+x+y)(2-x-y)B.(2+x+y)(2-x+y)C.(1+x-y)(4-x-y)D.(1-x+y)(4+x+y)6.若 x-y-z=3，yz-xy-xz=3，

17、则 x2+y2+z2=()A.0B.3C.9D.-1二、填空题(本题有 3 小题，每小题 8 分，共 24 分)7.若 8x3+12x2y2+6xy4+y6可分解为 2x+ym3，则 m=8.若关于 x 的二次三项式 ax2+3x-9 的两个因式的和为 3x，则 a=9.x2+x+1x2+1x-4=1x+x+1x+x-三、解答题(本题有 3 小题，第 10，11 题各 15 分，第 12 题 16 分，共 46 分)10.分解因式：(1)x3-5x2+6x；(2)4m3+m-111.已知 x2-x-1=0，求 x5-x4-3x3+3x2+x 的值12.已知a2-9x2+6xy-y2(a+3x)

18、2-(ay+3xy)=1，求证：y=6x第 8 页课堂笔记第二章分式与根式2.1 分式及其运算1.分式的运算分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高【例1】计算：a2+7a+10a2-a+1a3+1a2+4a+4 a+1a+2【分析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式【解】原式=a+2a+5a2-a+1a+1a2-a+1a+22 a+2a+1=a+5【例2】先化简，再求值：m2+n2m2+2mn+n2-2mn m+nmn2m3+3m2n+3mn2+n3m3+m2n-mn2-n3，其中 m=57，n=3【分析】分式混合

19、运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方，分母可以进行分组分解【解】原式=m2+n2(m+n)2-2mn m2n2(m+n)2(m+n)3(m+n)2(m-n)=m2+n2(m+n)2-2mn(m+n)2(m+n)(m-n)=m2-2mn+n2(m+n)2(m+n)(m-n)=m-nm+n 当 m=57，n=3 时，原式=m-nm+n=57-357+3=910【例3】已知xx2-3x+1=1，求x2x4-9x2+1 的值【分析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建立条件与结论间的联系，从而达到解题的目的【解】因为xx2-3x+1=1，所以 x2-

20、3x+1x=1，得 x+1x=4于是 x4-9x2+1x2=x2+1x2-9=x+1x2-11=16-11=5因此x2x4-9x2+1=15【注】本题解答中灵活应用了 x2+1x2=x+1x2-22.分式的证明【例4】已知 b+1c=1，c+1a=1，求证：a+1b=1，课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 9 页【分析】由已知两式消去 c，即可得到含 a，b 的关系式【解】由 b+1c=1，得 1c=1-b；由 c+1a=1，得 c=1-1a 所以(1-b)1-1a=1，得 1-1a-b+ba=1，即-1a-b+ba=0两边都乘以 a，得-1-ab+b=0，两边再都除以 b，得-1b-a+1=0，移项

21、得a+1b=1【例5】已知 abc=1，求证：aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1【分析】此题直接通分太繁，不可取观察求证式子的左边，发现作轮换 a b c a，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略【解】【解法 1】因为 abc=1，所以 a，b，c 均不为零原式=aab+a+1+aba(bc+b+1)+abcab(ac+c+1)=aab+a+1+ababc+ab+a+abcabac+abc+ab=aab+a+1+ab1+ab+a+1a+1+ab=a+ab+1ab+a+1=1【解法 2】因为 abc=1，所以 a，b，c 均不为零原式=aab+a+abc+bb

22、c+b+1+bcb(ac+c+1)=1b+1+bc+bbc+b+1+bcbac+bc+b=1b+1+bc+bbc+b+1+bc1+bc+b=1+b+bcbc+b+1=13.繁分式我们知道，像 2m，ab1+b，这样分母中含有字母的代数式叫做分式而像1x+1x，a1+bb1+a，这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式例如，1x+1x=xx x+1x=xx2+1【例6】化简：1+1-xx1-1-xyxy【分析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概

23、念，将繁分式转化为分式的除法第 10 页课堂笔记【解】【解法 1】原式=1+1-xxxy1-1-xyxyxy=xy+y-xyxy-1+xy=y2xy-1【解法 2】原式=1+1-xx 1-1-xyxy=x+1-xx xy-1+xyxy=y2xy-1【例7】化简：x+1x2-x+1x-11-x-1x2x2+1x2-x-1x+3x2+1x2-2x-2x+3【分析】观察发现，上式中出现最多的是 x+1x，而 x2+1x2=x+1x2-2，因此设 x+1x=a，原式的形就变简单了，从而有利于化简换元法在繁分式化简中是一种常用的方法【解】设 x+1x=a，则 x2+1x2=x+1x2-2=a2-2原式=

24、a2-a-11-a2 a2-a+1a2-2a+1=a2-a2-a+1a-12(a-1)2a2-a+1=a2-a2-a+1=a-1=x+1x-1课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 11 页习题 2.11.下列运算中，错误的是()A.ab=acbc(c 0)B.-a-ba+b=-1C.0.5a+b0.2a-0.3b=5a+10b2a-3bD.x-yx+y=y-xy+x2.若 x+1x=4，则x2x4+x2+1=()A.10B.15C.115D.1163.若 a+1b=1，b+2c=1，则 c+2a=()A.1B.2C.3D.44.化简：11-11-1x5.化简：a3-a2-a+1a3-3a2+3a-1 6

25、.计算：1-a-11-a2a3+1a2-2a+111-a 7.已知 1a+1b+1c=0，求证：a2+b2+c2=(a+b+c)28.已知 xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16，求1xy+2z+1yz+2x+1zx+2y的值第 12 页课堂笔记2.2 根式及其运算1.根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式最简根式满足以下 3 个条件：(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；(3)被开方数不含分母把分母中的根号化去，叫分母有理化例如，620=62 5=6 52 5 5=3 55在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理

26、化，使分母不含根号【例1】化简：(1)12-3；(2)x-yx+y(x y)；(3)x-y3 x-3 y-x+y3 x+3 y【分析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分母不含根号其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3)题也可以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分【解】(1)【解】12-3=2+3(2-3)(2+3)=2+32-3=-(2+3)=-2-3(2)【解法 1】x-yx+y=(x-y)(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)(x-y)x-y=x-y【解法 2】x-yx+y=(x+y)(x-y)x+y=x

27、-y(3)【解】x-y3 x-3 y-x+y3 x+3 y=(3 x)3-(3 y)33 x-3 y-(3 x)3+(3 y)33 x+3 y=(3 x)2+3 x 3 y+(3 y)2-(3 x)2+3 x 3 y-(3 y)2=2 3 xy【例2】计算：1+2 3+5(1+3)(3+5)+5+2 7+3(5+7)(7+3)【分析】观察分式的分子和分母，发现(1+3)+(3+5)=1+2 3+5，(5+7)+(7+3)=5+2 7+3因此可先将他们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化【解】原式=11+3+13+5+15+7+17+3=1-3(1+3)(1-3)+3-5(3+5)(3-5)+5

28、-7(5+7)(5-7)+7-3(7+3)(7-3)=-12(1-3+3-5+5-7+7-3)=-12(1-3)=1课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 13 页【例3】计算：1-x-11+x-1+22-x 2+xx-1【分析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便【解】原式=(1-x-1)2(1+x-1)(1-x-1)+22-x x-12+x=1-2 x-1+x-11-x+1+2 x-12-x=x2-x【例4】已知 a=12+3，求 1-2a+a2a-1-a2-2a+1a2-a的值【分析】先化简再求值，同时注意(a-1)2=|a-1|【解】因为 a=12+3=2-3 b 0，

29、求证：x2a2+y2b2=1【分析】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方【解】【证明】因为(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a，所以(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2两边平方，整理得 a2-cx=a(x-c)2+y2两边再平方，整理得 a2-c2x2+a2y2=a2 a2-c2把 a2-c2=b2代入得 b2x2+a2y2=a2b2，两边同除以 a2b2，得 x2a2+y2b2=1【例6】已知 a，b 都是非负数，并且1-a2 1-b2=ab，求证：a1-b2+b 1-a2=1【分析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式再证明但 A2=B

30、2，未必有 A=B，因此在证明过程中必须确定 A，B 是否同号【解】【证明】将1-a2 1-b2=ab 两边平方，得 1-a21-b2=a2b2，即 1-a2-b2+a2b2=a2b2，得 a2+b2=1a 1-b2+b 1-a22=a2 1-b2+b2 1-a2+2ab 1-b2 1-a2=a2+b2-2a2b2+2a2b2=1.因为 a，b 都是非负数，所以 a 1-b2+b 1-a2 0因此 a 1-b2+b 1-a2=1第 14 页课堂笔记3.n 次根式实际上，数的平方根的概念可以推广一般地，如果 xn=a，那么 x 叫做 a 的 n次方根例如，由于 24=16 和(-2)4=16，我

31、们把 2 或-2 叫做 16 的 4 次方根当 n是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号-n a 表示，也可以把两个方根合起来写作 n a例如，4 16=2，-4 16=-2，合起来写作 4 16=2类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根本节所讨论的 n 次方根运算都限在实数范围内【例7】(1)求-32243 的 5 次方根；(2)求(-8)2的 6 次方根【分析】根据 n 次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果需要注意正数的偶次方根一定有两个

32、，不要漏掉负的一个求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数作质因数分解【解】(1)5-32243=5-2535=-23(2)6(-8)2=6 26=2【例8】(1)当 x 0 时，求|x|+4 x4+23 x3 的值(2)若 n 为自然数，2n a2n=-a，a 的取值范围是什么？【分析】根据 n 次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论【解】(1)当 x 0 时，|x|+4 x4+23 x3=|x|+|x|+2x=-x-x+2x=0(2)因为 n 为自然数，所以 2n 为偶数，于是2n a2n=|a|又因为2n a2n=-a，所以 a 0类似于二次根式的性质，我们也可以得到

33、n 次根式的性质：(1)(n a)n=a(2)当 n 为奇数时，n an=a；当 n 为偶数时，n an=|a|=a,a 0；-a,a 0)，n am=(n a)m(a 0)从指数式的角度看，a=a12，3 a=a13，n a=a1n，所以 am=n am，a-mn=1n am 课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 15 页习题 2.21.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根D.正数有两个奇次方根2.当 a 0 时，-ax3=()A.x axB.x-axC.-x-axD.-x ax3.把a-ba+b(a b)分母有理化的结果是()A.-1B.a+ba-bC

34、.a+b-2 aba-bD.a+b-2 abb-a4.(-1)101的 7 次方根是，0 的 8 次方根是，(-4)2的 4 次方根是，(-4)4的 4 次方根是，5.计算：-5-132=，6(-27)2=，(2 3 2)4=，18 3 2=6.已知 a=13+2 2，b=13-2 2，求1b-1-1a-1 的值7.化简：(a-b)3+2a a+b ba a+b b-3b-3 aba-b8.化简：(1)a-2 a-1(1 a 2)；(2)n(a-b)n+n(a+b)n a b 1,n N9.证明：a2+1b2+a2(ab+1)2=a+1b-aab+1第 16 页课堂笔记第二章测试题(满分为 1

35、00 分，考试时间 45 分钟)一、选择题(本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1.若分式 x+yx-y 中的 x，y 的值都变为原来的 3 倍，则此分式的值()A.不变B.是原来的 3 倍C.是原来的 13D.是原来的 162.计算ab-ba a+ba的结果是()A.a-baB.a+bbC.a-bbD.a+ba3.把a+ba-b(a b)分母有理化的结果是()A.-1B.a+ba-bC.a+b+2 aba-bD.a+b+2 abb-a4.下列式子错误的是()A.(a)2=aB.3 a3=aC.(n a)n=a(n 1 的整数)D.n an=a(n 1 的整数)5.化简 x-|x|

36、x 的结果是()A.-|x|B.-xC.x2D.x6.若 n 为自然数，2n+1 a2n+1=a，则 a 的取值范围是()A.a 0B.a 0C.a 0D.a 为全体实数二、填空题(本题有 4 小题，每小题 6 分，共 24 分)7.64 的平方根是，立方根是，6 次方根是8.化简：1x-1+1x+1+2xx2+1+4x3x4+1=9.化简：11+11+1x=10.当 x 0.式子 b2-4ac 的值有以下三种情况:b2-4ac 0这时 b2-4ac4a2 0,由式得 x+b2a=b2-4ac2a,方程有两个不相等的实数根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.b2-4ac

37、=0这时 b2-4ac4a2=0,由式得 x+b2a2=0,方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.b2-4ac 0这 时 b2-4ac4a2 0,由 式 得x+b2a2 0,而 x 取 任 何 实 数 都 不 能 使x+b2a2 0 方程有两个不相等的实数根;=0 方程有两个相等的实数根;0,所以方程有两个不相等的实数根.将原方程整理,可得 5x2-2x+20=0.因为 =(-2)2-4 5 20=-396 0.【解】方程(k-2)x2+k=(2k-1)x 可化为(k-2)x2-(2k-1)x+k=0.因为方程有两个不相等的实数根,所以k-2 0,=-(2k-1)2-4k(k-2)=4k

38、+1 0.解得 k -14 且 k 2.所以 k 的取值范围是 k -14 且 k 2.【例3】证明:关于 x 的一元二次方程 m2+1x2-2mx+m2+4=0 没有实数根.【分析】要证一元二次方程没有实数根,只要证 0,所以-4 m2+22 0,即 0.因此,一元二次方程 m2+1x2-2mx+m2+4=0 没有实数根.【例4】当 m 为何值时,关于 x 的方程 m2-4x2+2(m+1)x+1=0 有实数根.【分析】因为未指明方程 m2-4x2+2(m+1)x+1=0 的次数，所以应分 m2-4=0 和 m2-4 0 两种情形讨论.【解】当 m2-4=0,即 m=2 时,2(m+1)0,

39、方程为一元一次方程,总有实数根.当 m2-4 0,即 m 2 时,要使方程 m2-4x2+2(m+1)x+1=0 有实数根,则 =2(m+1)2-4 m2-4=8m+20 0,解得 m -52.因此,当 m -52 且 m 2 时,方程有实数根.综合,当 m -52 时,方程有实数根.Z习题 3.21.方程 x2+1=0,x2+x=0,x2+x-1=0,x2-x=0 中,无实根的方程有()A.1 个.B.2 个.C.3 个.D.4 个.2.关于 x 的方程 ax2-2x+1=0 中,若 a -23,所以当 k=33 时,方程有一个根为零.若方程有两个互为相反数的实根,则 x1+x2=0.x1+

40、x2=23(3k+1)=0,解得k=-13,因为-13 -23,所以当 k=-13 时,方程有两个互为相反数的实数根.若方程两根互为倒数,则 x1x2=1.x1x2=3k2-13=1,解得 k=2 33.因为 2 33-23,而-2 33 0a 0图像xy0 xy0对称轴x=-b2ax=-b2a顶点-b2a,4ac-b24a-b2a,4ac-b24a最值当 x=-b2a 时，y 取最小值4ac-b24a当 x=-b2a 时，y 取最大值4ac-b24a增减性当 x -b2a，y 随着 x 的增大而增大当 x -b2a，y 随着 x 的增大而减小现在我们进一步从函数图象及其变化的角度探讨二次函数

41、的一些问题.二次函数的图象和性质的应用【例 1】已知二次函数 y=ax2+bx+10,当 x=3 时的函数值与当 x=2006 时的函数值相等,求当 x=2009 时的函数值.【分析】如图 4.1-1,如果 A x1,y0,B x2,y0是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上纵坐标相同的两个点,则ABxy0图 4.1-1y0=ax21+bx1+c,-1y0=ax22+bx2+c-2由(1)-(2)得 a x21-x22+b x1-x2=0.因为 x1 x2,所以有 x1+x2=-ba.对照二次函数 y-ax2+bx+c 的图象的对称轴为 x=-b2a,有 x=x1+x22为二次函数图象的对

42、称轴.反之,如果 x=x1+x22为二次函数的图象的对称轴,那么自变量取 x1,x2课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 33 页时的函数值相等.(请同学们自己证明.)用上述知识可解本题.【解】因为当 x=3 时的函数值与当 x=2006 时的函数值相等,所以二次函数 y=ax2+bx+10 的图象的对称轴为 x=3+20062=20092.因为对称轴为 x=2009+02,所以当 x=2009 时的函数值与当 x=0 时的函数值相等.又因为当 x=0 时,y=10,所以当 x=2009 时,y=10.【例 2】已知二次函数 y=2x2+bx,当 x 1 时,y 随着 x 的增大而增大,求 b 的取值范

43、围.【解答】【分析】利用二次函数 y=2x2+bx 图像的对称轴与增减性，只要对称轴在 x 1 的左边即可【解】因为二次函数 y=2x2+bx 的拋物线开口向上,所以只要对称轴在 x 1 的左边,即-b4 1,就有 y 随着 x 的增大而增大,得 b -4.第 34 页课堂笔记因此,b 的取值范围为 b -4.2.求二次函数的解析式我们知道,二次函数的解析式有两种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a 0);(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a 0),其中顶点坐标是(h,k).求二次函数的解析式,就是求 a,b,c 或 a,h,k 的值.通常需要通过分析二次函数的图象和性质,并运用待

44、定系数法等才能解得.【例3】已知二次函数的图象过点(1,0),(0,-1),(2,5),求此二次函数的解析式.【分析】【分析】利用二次函数的一般式,运用待定系数法来确定二次函数的解析式.【解】设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c,则a+b+c=0,c=-1,4a+2b+c=5,解得a=2,b=-1,c=-1.因此,二次函数的解析式为 y=2x2-x-1.【例4】已知二次函数的图象过点(-2,1),(0,1),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的解析式.【分析】【分析】利用二次函数的图象的性质得到其顶点,再用二次函数的顶点式或一般式解决.【解】【解】因为二次函数的图象过点(-2,

45、1),(0,1),且顶点到 x 轴的距离为 2,所以其对称轴为 x=-2+02=-1,顶点的坐标为(-1,2)或(-1,-2).当顶点的坐标为(-1,2)时,设二次函数为 y=a(x+1)2+2.因为函数图象过点(-2,1),所以 a+2=1,即 a=-1.可得二次函数的解析式为 y=-x2-2x+1.同理,当顶点的坐标为(-1,-2)时,可得二次函数的解析式为 y=3x2+6x+1.因此,二次函数的解析式为 y=-x2-2x+1 或 y=3x2+6x+1.课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 35 页习题 4.1若 A-4,y1,B-1,y2,C 1,y3为二次函数 y=-x2+4x+5 的图象上的三

46、点,则y1,y2,y3的大小关系是().A.y1 y2 y3B.y3 y2 y1C.y3 y1 yD.y2 y1 y3已知二次函数 y=-x2+2x,当-1 x 1B.-1 a 1C.-1 a 0D.-2 a 0 时,二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根x1和 x2,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个不同的交点 x1,0和 x2,0;当 =0 时,二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=-b2a,二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相切于点-b2a,0;当 0,即 a 14 时,二次函数 y=x2-x+a 的图象与 x 轴有两

47、个公共点;(2)当 =1-4a=0,即 a=14 时,二次函数 y=x2-x+a 的图象与 x 轴有一个公共点;(3)当 =1-4a 14 时,二次函数 y=x2-x+a 的图象与 x 轴没有公共点.【例2】已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的解析式.【分析】【分析】可利用二次函数的两根式解诀.【解】【解】因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以可设二次函数为 y=a(x+3)(x-1).又因为顶点到 x 轴的距离等于 2,所以顶点为(-1,2)或(-1,-2).当顶点为(-1,2)时,二次函数的图象过点(-1,2),有-4

48、a=2,得 a=-12.同理,当顶点为(-1,-2)时,有-4a=-2,得 a=12.因此,二次函数的解析式为 y=12 x2+x-32 或 y=-12 x2-x+32.【例3】已知二次函数 y=ax2+bx+c 同时满足下列条件:(1)对称轴为 x=1;(2)最大值为 15;(3)二次函数的图象与 x 轴有两个交点,其横坐标的立方和为 17.求此二次函数的解析式.【分析】【分析】由于条件有对称轴和最大值,所以可利用二次函数的顶点式；由条件(3),可以联系韦达定理解决.【解】【解】由条件得二次函数的顶点的坐标为(1,15),设二次函数的解析式为 y=a(x-1)2+15.二次函数的图象与 x

49、轴交点的横坐标是方程 ax2-2ax+a+15=0 的两根 x1和 x2.由韦达定理得 x1+x2=2,x1x2=a+15a.由 x31+x32=x1+x23-3x1x2 x1+x2=8-6(a+15)a=17,得 a=-6.二次函数的解析式为 y=-6(x-1)2+15=-6x2+12x+9.习题 4.2函数 y=-x2+x-1 的图象与 x 轴的公共点个数是().A.0B.1C.2D.无法确定如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点 P 的横坐标为 4,图象交 x 轴课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 37 页于点 A(m,0)和点 B,且 m 4,那么 AB 的长为()A.4+mB

50、.mC.2m-8D.8-2m已知抛物线 y=(x-c)(x-d)-4 与 x 轴交点为(6,0)和(1,0),则 c=,d=二次函数 y=-x2+4x+12 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,则 A,B 之间的距离为。求 a 的取值范围,使得二次函数 y=x2-ax+a-1 的图象与 x 轴分别有(1)两个交点;(2)一个公共点.已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(1,0),且过点 C(2,4),求此二次函数的解析式.4.3 函数图象的变换我们已经学会了用描点法画正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象,现在我们进一步探讨用平移和对称两种图形变换的方法来画函数的图

51、象.1.平移变换所谓平移变换,就是将一个图形上的所有点,沿同一方向移动相同的距离得到一个新的图形.在坐标平面内,可以从函数图象中点的坐标变化来考察函数图象的整体变化.【例1】考察函数 y=(x+1)2,y=(x-1)2与 y=x2的图象变换关系.【解】【解】列出各个函数的自变量与函数值之间的部分对应值表:表 4-2x-2-1012y=x241014表 4-3x-3-2-101y=(x+1)241014表 4-4x-10123y=(x-1)241014yxPOBA4Oxyy=x+12y=x2 y=x-12-11第 38 页课堂笔记利用描点法画出三个函数的图象(图 4.3-1).从上述图、表可以发

52、现,当点(-2,4)在 y=x2的图象上时,点(-2-1,4)和(-2+1,4)分别在 y=(x+1)2和 y=(x-1)2的图象上,其他点的坐标也有同样的规律.一般地,若点(a,b)是函数 y=x2图象上的任意一点,即b=a2,则有b=(a-1)+12,b=(a+1)-12,即点(a-1,b)是函数 y=(x+1)2图象上的点,点(a+1,b)是函数 y=(x-1)2图象上的点.由此,函数 y=(x+1)2的图象可以看作是将函数 y=x2图象上的所有点,沿 x轴向负方向(左)平移 1 个单位后得到的图形;函数 y=(x-1)2的图象可以看作是将函数 y=x2图象上的所有点,沿 x 轴向正方向

53、(右)平移 1 个单位后得到的图形.一般地,函数 y=a(x+h)2(h 0)的图象可以看作是将函数 y=ax2图象上的所有点,沿 x 轴向负方向(左)平移 h 个单位后得到的图形;函数 y=a(x-h)2(h 0)的图象可以看作是将函数 y=ax2图象上的所有点,沿 x 轴向正方向(右)平移 h 个单位后得到的图形.类似地,还可以得到如下结论:函数 y=ax2+k(k 0)的图像可以看作是将函数 y=ax2图象上的所有点,沿 y轴向正方向(上)平移 k 个单位后得到的图形;函数 y=ax2-k(k 0)的图象可以看作是将函数 y=ax2图象上的所有点,沿 y 轴向负方向(下)平移 k 个单位

54、后得到的图形.【例2】【例 2】(1)函数 y=1x-3 的图象可以由函数 y=1x 的图象如何变换得到?(2)函数 y=1x-3 的图象可以由函数 y=1x 的图象如何变换得到?【解】【解】(1)通过列表描点画出两个函数的图象(图 4.3-2).设点(a,b)是函数 y=1x 图象上的任意一点,则b=1a,由此可得b=1(a+3)-3,即点(a+3,b)在函数 y=1x-3 的图象上.因此,将函数 y=1x 图象上的所有点,沿 x 轴向正方向(右)平移 3 个单位,得到函数 y=1x-3 的图象.(2)通过列表描点画出两个函数的图象(图 4.3-3).设点(a,b)是函数 y=1x 图象上的

55、任意一点,则b=1a,由此可得Oxy1-13Oxy1-1-3课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 39 页b-3=1a-3,即点(a,b-3)在函数 y=1x-3 的图象上.因此,将函数 y=1x 图象上的所有点,沿 y 轴向负方向(下)平移 3 个单位,得到的函数 y=1x-3 的图象.2.对称变换所谓对称变换,就是将一个图形上的每一个点沿一条直线翻折得到一个新的图形(即两个图形关于此直线对称).【例3】函数 y=x2-2x 的图象是抛物线,下列的两个函数的图象与它有什么关系?(1)y=x2+2x;(2)y=-x2-2x.【解】【解】通过描点法画出上述函数的图象(图 4.3-4).观察函数图象可以发现

56、,若点(a,b)是函数 y=x2-2x 图象上的任意一点,则点(-a,b)就在函数 y=x2+2x 的图象上,点(a,-b)就在函数y=-x2-2x的图象上.由此可知,作函数 y=x2-2x 图象上的所有点关于 y 轴的对称点后,得到函数 y=x2+2x 的图象;作函数 y=x2-2x 图象上的所有点关于 x 轴的对称点后,得到函数 y=-x2-2x的图象.一般地,将一个函数解析式中的自变量 x 换成-x 而因变量 y 保持不变,得到一个新的函数,其图象可看作是原函数的图象通过关于 y 轴的对称变换得到.类似的,将一个函数解析式中的因变量 y 换成-y 而自变量 x 保持不变,得到一个新的函数

57、,其图象可看作是原函数的图象通过关于 x 轴的对称变换得到.【例4】画出 y=x2-1 的图象.【分析】【分析】可寻求此函数的图象与二次函数 y=x2-1 的图象的变换关系.【解】【解】二次函数 y=x2-1 的图象是一条抛物线(图 4.3-5).Oxyy=x2+2xy=x2-2xy=-x2+2x1-1第 40 页课堂笔记Oxy-11Oxy-11y=x2-1=x2-1,x 1 或 x -1,-x2-1,-1 x 1.由解析式的特点可知,当 x 1 或 x -1 时,函数 y=x2-1 的图象与函数 y=x2-1 重合,即抛物线在 x 轴上方部分保持不变;当-1 x 1 时,函数 y=x2-1

58、即为 y=-x2-1,其图象与函数 y=x2-1 的图象关于 x 轴对称,即抛物线在 x 轴下方部分沿 x 轴翻折.这两部分共同组成函数 y=x2-1 的图象(图 4.3-6).习题 4.3函数 y=-2x2的图象经过下列某个平移变换得到函数 y=-2(x-1)2+3 的图象,则.此平移变换是().A.向左平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位B.向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位C.向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位D.向右平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位如果点(a,b)是函数 y=1-1x 图象上的一点,那么下列点一定在函数 y=1+1x图象上是().A.(a

59、,b)B.(-a,b)C.(a,-b)D.(-a,-b)将函数 y=2x+1 图象上的所有点向左平移 1 个单位得到一个图象,其所对应的函数解析式是().A.y=2x-2B.y=2x-1C.y=2x+2D.y=2x+3将函数 y=-x2的图象向（左或右）平移单位,就可得到函数 y=-(x+2)2的图象,再将此函数的图象向（上或下）平移单位,就可得到函数 y=-(x+2)2+3 的图象.将函数 y=x+1 图象上的所有点通过变换得到函数 y=-x+1 的图象.(只要写出一种你认为合适的图象变换即可.)试分析函数 y=1x+3 的图象与函数 y=1x 的图象的关系,并画出此函数图象.画出函数 y=

60、x2-2x-3 的图象,并通过图象的变换画出下列函数的图象:(1)y=-x2-2x-3;(2)y=x2+2x-3;(3)y=x2-2x-3.4.4 函数性质的应用函数是中学阶段重要的数学知识,在初中我们已经学习了一次函数、二次函数、课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 41 页反比例函数等函数的图象及其性质,而运用函数的图象和性质去解决相关问题更是一种重要的思想方法.1.求自变量在指定范围内时函数的最值【例1】将一根长为 l 的铁丝折成如图 4.4-1 所示的形状(上部为半圆形,下部为长方形),求此图形的面积的最大值.【分析】【分析】图形的面积可以随着 BC 长的变化而变化,由此可选取 BC 的长作为自

61、变量 x,并确定 x 的取值范围,将图形的面积 y 表示成 x 的一个函数，利用函数的知识求出 y 在限定范围内的最大值.【解】【解】设 BC=x,则 AB=l2-+24x,其中 0 x 2l+2.此时图形的面积y=xl2-+24x+12 x22=l2 x-+48x2=-+48x-2l+42+l22+8.显然,当 x=2l+4 时(满足 0 x 2l+2,y 有最大值,最大值为l22+8.因此,当 BC 长为2l+4 时,折成的图形面积最大,其最大值为l22+8.【注】本题将实际应用的最值问题转化为函数问题,实质就是在 0 x 2l+2的条件下,求函数 y=l2 x-+48x2的最大值.从例

62、1 中我们可以得到利用函数知识解决实际应用问题的一般步骤：(1)选取适当的变量作为自变量 x,并确定 x 的取值范围;(2)将目标值表示成自变量 x 的函数;(3)在 x 的限定范围内,求此函数的最值.【例2】【例 2】已知-1 x a(a 为大于-1 的常数),求函数 y=x2的最大值 M 和最小值 m.【分析】【分析】可借助函数 y=x2的图像，再根据条件-1 x a，截取抛物线的一部分，从中观察图形中的最高点和最低点。ABCD第 42 页课堂笔记【解】画出函数 y=x2的图象,根据直线 x=a 与抛物线的对称轴(y 轴)的相对位置，分类讨论.xy1 a Oxy1aOxy1aO123图 4

63、.4-2(1)当-1 a 0 时，由图 4.4-2(1)可知，当 x=-1 时,y 有最大值 1;当 x=a时，y 有最小值 a2.(2)当 0 1 时,由图 4.4-2(3)可知，当 x=a 时，y 有最大值 a2;当 x=0 时，y有最小值 0.综合(1)(2)(3)得M=1,-1 1,m=a2,-1 0.【注】本题中虽然函数 y=x2是确定不变的,但由于限定范围随着 a 的变化而变化,导致函数 y=x2在-1 x a 范围内的图象也相应地变化,其最值需要结合函数图象,根据对称轴与取值范围内的图象的相对位置进行分类讨论.解决函数在限定范围上的最值问题,要注意体会数形结合与分类讨论思想在解题

64、中的应用.2.利用函数的图象解不等式观察函数 y=x2-5x+4 图象的特点,你能由下列函数值 y 的范围确定自变量x 的相应取值范围吗?(1)y=0；(2)y 0；(3)y 0,即 x2-5x+4 0 成立的 x 的值,观察图象可知,此 x 4.函数 y=x2-5x+4 的图象在 x 轴下方的点的横坐标,就是使 y 0,即 x2-5x+4 0 成立的 x 的值,观察图象可知,此时 1 x -3.【解】原不等式可化为 2x2-5x+3 0.画出函数 y=2x2-5x+3 的图象(图 4.4-4).解方程 2x2-5x+3=0,得 x=1 或 x=32.观察函数的图象可得,当且仅当 x 32 时

65、,图象上的点都在 x 轴的上方,这时有 y 0,即 2x2-5x+3 0.因此,不等式 2x2-5x -3 的解为 x 32.【例 4】对于任意的实数 x,二次函数 y=x2-2(a-1)x+2(a-1)的函数值恒大于 0,求实数 a 的取值范围.【分析】借助对二次函数的图象特点的分析,可获得系数 a 所满足的不等关系,由此可得出解答.【解】由已知得,二次函数 y=x2-2(a-1)x+2(a-1)图象上的所有点都在 x轴的上方,则抛物线开口向上,且与 x 轴没有公共点.因此 0,即4(a-1)(a-3)0.观察二次函数 y=4(x-1)(x-3)的图象(图 4.4-5)可得,当 1 x 3

66、时,y 0,即 4(x-1)(x-3)0.因此,不等式(1)的解为 1 a 3,即所求实数 a 的取值范围为 1 a 3.习题 4.4在-1 x 2 且 x 0 的条件下,函数 y=1x 的函数值的取值范围是().A.-12 y 1,且 y 0B.-1 y 12 且 y 0 xyO 14图 4.4-3xyO132图 4.4-4xyO13图 4.4-5第 44 页课堂笔记C.y 12D.y -1 或 y 0 的自变量 x 的取值范围是().A.-2 x 1B.-1 x 2C.x 2D.x 1若已知函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则不等式 ax2+bx+c 0的解集为 c 0 的解为.

67、求函数 y=12 x2-x+1 在下列范围内的最大值 M 和最小值 m:(1)-3 x -2;(2)-2 x 3(3)2 x 3试利用函数的图象与性质解不等式:(1)-x2+5x 6;(2)2x2-x 0.在 1 x 2 的条件下,求函数 y=-x2+2ax+1(a 是实常数)的最大值 M 和最小值 m.某商店以每件 20 元的价格购进货物,然后以每件 30 元的价格售出,每月可售出400 件.试销中发现,若每件售价每提高 1 元,则货物少售出 20 件,每件售价应为多少元,才能使利润最大?第四章测试题满分为 100 分，考试时间 45 分钟一、选择题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 3

68、0 分)函数 y=-x2+2x+3 的图象的顶点坐标是().A.(-1,4)B.(-1,-4)C.(1,-4)D.(1,4)函数 y=2(x-3)2+3 的图象关于直线 y=2 作对称后,所得图象对应的函数解析式为A.y=-2(x+1)2+3B.y=-2(x-3)2+3C.y=-2(x-3)2+1D.y=-2(x-3)2-3函数 y=-x2+4x+6 的最值情况是().A.有最大值 6B.有最小值 6C.有最大值 10D.有最大值 2已知函数 y=2x2+4x-5,当-3 x 2 时,函数值 y 的取值范围为().A.-3 y 1B.-7 y 1C.-7 y 11D.-7 y 11xy-12第

69、 4 题图课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 45 页已知原点为函数 y=1x 图象的对称中心,则函数 y=1x+1+2 图象的对称中心为().A.(-1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.无对称中心已知不等式 x2-6x+a 0 的解为 1 x 5,则 a 的值为().A.-5B.5C.1D.不确定二、填空题(本题有 4 小题,每小题 6 分,共 24 分)二次函数 y=x2-(m-4)x+2m-3,当 m=时,其图象的顶点在 y 轴上;当 m=时,图象的顶点在 x 轴上;当 m=时,图象过原点.已知某二次函数的图象过点(-1,0),(0,3),(1,4),则该二次函数的解析式为.已知关于 x

70、 的不等式 mx2-x+m 0 的解是一切实数,则 m 的取值范围为.要得到函数 y=1x-1 的图象,把函数 y=1x 的图象向(左或右)平移单位,再把得到的图象作变换得到.三、解答题(本题有 3 小题,第 11,12 题各 15 分,第 13 题每题 16 分,共 46 分)解下列不等式:(1)3x2-2x-1 S2B.S1=S2C.S1 S2D.S1,S2的大小关系无法确定S2S1(第 3 题)(第 4 题)如图,在斜坡的顶部有一铁塔 AB,B 是 CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影 DE 留在坡面上已知铁塔底座宽 CD=12m，塔影长 DE=18m,小明和小华的身高都是

71、 1.6m.同一时刻,小明站在点 E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上，两人的影长分别为 2m 和 1m，那么塔高 AB 为()A.24mB.22mC.20mD.18m如图,在平行四边形 ABCD 中,DBC=45,DE BC 于点 E,BF CD 于点 F,DE,BF 相交于点 H,BF,AD 的延长线相交于点 G,有下列结论:(1)DB=2BE;(2)A=BHE;(3)AB=BH;(4)BHD BDG.其中正确的结论是()A.(1)(2)(4)B.(1)(2)(3)C.(1)(2)(4)D.(2)(3)(4)AB DE第 52 页课堂笔记ABCDEFHABCDMPQ(第 5

72、 题)(第 6 题)如图,在四边形 ABCD 中,B=D=90,MP BC 于点 P,MQ AD 于点 Q,则 MPAB+MQCD 的值为()A.78B.87C.97D.1二、填空题(本题有 4 小题,每小题 7 分,共 28 分)在一张比例尺为 1:50000 的地图上,一块多边形地区面积是 120cm2,这个地区的实际面积是cm2(用科学记数法表示).如图,AD BE CF,AB:BC=3:4,AD=8,CF=12,则BE=.已知 D,E 分别是 ABC 的 AB,AC 边上的点,且 ADE 与ABC 相似.若 AD=8cm,DB=5cm,AC=12cm,则 EC=cm.如图,对面积为 1

73、 的 ABC 逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长 AB,BC,CA 至点 A1,B1,C1,使得 A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接 A1,B1,C1,得到 A1B1C1,记其面积为 S1;第二次操作,分别延长 A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使得 A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接 A2,B2,C2,得到 A2B2C2,记其面积为 S2 按此规律继续下去,可得到 A5B5C5,则其面积 S5=.三、解答题(本题有 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)如图,将正方形 ABCD 的 BC 边延长到 E,使

74、CE=AC,AE 与DC 边相交于点 F,求 CE:FC 的值.ABCDEF(第 11 题)如图,在 RtABC 中,AB AC,AD BC,E 为 AC 的中点,ED 的延长线与 AB的延长线交于点 F,求证:AB FA=AC FD.ABCDEF第 8 题ABCB1C1第 10 题课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 53 页ABCDEF(第 12 题)已知 AD 是 ABC 的角平分线,BH AD,垂足为 H,CK AD，垂足为 K,求证:ABAC=DHDK.ABCDHK(第 13 题)第 54 页课堂笔记第六章三角形的几个性质6.1 射影定理从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正

75、射影.在图 6.1-1中,AA MN,垂足 A 是点 A 在直线 MN 上的正射影.如果点 A 是 MN 上的点,那么 A 在 MN 上的正射影就是它本身.一条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.在图 6.1-2 中,线段 AB 的两个端点 A 和 B 在直线 MN 上的正射影分别是 A 和B,线段 AB 是线段 AB 在直线 MN 上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.AMNAABABMN图 6.1-1 图 6.1-2如图 6.1-3,ABC 是直角三角形,CD 为斜边 AB上的的高.在这个图形中,由于线段 AD 与 CD,BD与 CD,BC 与 AC 等

76、相互垂直,因此可以从射影的角度来考察它们的关系.你能发现这些线段之间的某些关系吗?实际上,有些关系是非常明显的.例如,由 BDC 为直角三角形可知 BD AC,则 AB2-AC2=BD-CD BC;8 AD BC=DE AB+DF AC.ABCDEFABCDEM(第 6 题)(第 7 题)7.如图,在 ABC 中,ACB=90,CD AB 于点 D,M 是 AB 的中点,点 E 在 CD上,且 ME BE 于点 E,求证:BC=2BE.6.2 三角形的“心”1.内心如图 6.2-1,在 ABC 中,AD,BE,CF 分别是三内角的平分线.记 AD 和 BE 的交点为 I,过 I 分别作 AB,

77、BC,CA 三边的垂线,垂足分别为 M,N,P.根据角平分线性课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 57 页质,IP=IM,IM=IN,所以 IP=IN.因此,点 I 在角 C的平分线上,即 CF 通过点 I.也就是说三条内角平分线交于一点,这交点叫做三角形的内心.内心与各顶点的连线平分各角,内心到三角形三边的距离相等,因此内心是三角形内切圆的圆心.【例 1】已知直角三角形的斜边长为 c,两直角边长分别为 a,b,内圆的半径为 r,求证:r=a+b-c2.【证明】如图 6.2-2,设 D,E,F 为切点,由圆的切线性质可知,CDIE 为正方形,因此 CD=CE=r.于是 BD=a-r,AE=b-r.又因

78、为 BD=BF,AE=AF,BF+AF=AB,所以(a-r)+(b-r)=c,即 r=a+b-c22.外心如图 6.2-3,在 ABC 中,直线 l,m,n 分别为三条边的垂直平分线.记 l,m 的交点为 O,则根据垂直平分线性质,得到 AO=BO,BO=CO,所以 AO=CO,得到 O 也在直线 n 上.这样,我们就知道了,三角形的三条垂直平分线交于一点,其交点叫做三角形的外心.根据垂直平分线的性质,我们可以得到外心的性质:(1)外心到三顶点的距离相等,因此外心就是三角形外接圆的圆心;(2)过外心作一边的垂线平分此边;(3)外心与一边中点的连线垂直于此边;(4)直角三角形的外心就是斜边的中点

79、,锐角三角形的外心在三角形内,而钝角三角形的外心在三角形外.3 重心如图 6.2-4,在 ABC 中,AD,BE,CF 分别是BC,AC,AB 边上的中线.设 BE,CF 交于点 G,BG,CG 中点为 M,N.因为 E,F 分别是 AC,AB的中点,所以 EF 平行且等于 MN.因此,四边形MNEF 为平行四边形.于是,得 GM=MB=ABCDEFMNPI图 6.2-1ABCDEFI图 6.2-2ABCOlmn图 6.2-3ABCDEFGMN图 6.2-4第 58 页课堂笔记GE,GF=GN=NC.所以 BG:GE=2:1,CG:GF=2:1.同理,若 BE 与 AD 相交于点 G,则必有A

80、G:GD=2:1,BG:GE=2:1,所以点 G 与 G 重合.因此,三角形三条中线相交于一点,此点就叫做三角形的重心.重心到顶点与到对边中点的距离之比为 2:1.课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 59 页【例 2】如图 6.2-5,已知 ABC 的重心 G 与内心 I 的连线 GI BC,求证:AB+AC=2BC【证明】连接 AG,AI,并延长它们,延长线分别交 BC 于点 D,E,连接 IC,则 AD 为中线,AE,CI 为角平分线.因为 GI BC,所以 AIIE=AGGD=2.在 CAE 中,有 ACCE=AIIE=2,即 AC=2CE.同理可得 AB=2BE.因此,AB+AC=2(BE+C

81、E)=2BC.【注】上面我们利用重心把中线分为 1:2 的比和内角平分线定理解答.除此之外,也可以利用面积法来解决,我们将在 6.3 节证明.垂心如图 6.2-6,在 ABC 中,AD,BE,CF 分别为三边的高,过 A 作 BC 边的平行线,过 B 作 CA 边的平行线,过 C 作边 AB 的平行线,三条平行线相交成 ABC.于是四边形 ABCB,ACBC,CABA 均为平行四边形,故 AD,BE,CF 为 ABC 三边的垂直平分线.根据三条垂直平分线交于一点,即交点为 ABC 的外心.因此,AD,BE,CF 交于一点.因此,三角形三条高线交于一点,这点叫做三角形的垂心.顶点与垂心的连线垂直

82、于对边;直角三角形的垂心即为直角顶点,锐角三角形的垂心在三角形内,而钝角三角形的垂心在三角形外.等腰三角形和等边三角形等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因此在等腰三角形中,三角形的内心 I、重心 G、垂心 H、外心 O 必在同一条直线上.而正三角形作为特殊的等腰三角形,四心(内心、重心、垂心、外心)合一,这点称为正三角形的中心.【例 3】在 ABC 中,AB=AC=5,BC=6.求:(1)ABC 的面积 SABC;(2)ABC 的内切圆的半径 r;(3)ABC 的外接圆的半径 R.【分析】等腰三角形底边上三线合一,因而在等腰三角形 ABC 中,三角形的内心I、外心 O 在底边的

83、高线上.【解】(1)如图 6.2-7,作 AD BC 于点 D.因为 AB=AC,所以 D 为 BC 的中点,于是AD=AB2-BD2=4,SABC=12 6 4=12.(2)如图 6.2-8,I 为内心,则 I 到三边的距离均为 r,连接 IA,IB,IC.因为 SABC=SIAB+SBC+SIAC,即12=12 AB r+12 BC r+12 CA r.图 6.2-5图 6.2-6图 6.2-7图 6.2-8第 60 页课堂笔记解得 r=32.(3)如图 6.2-9,因为 ABC 是等腰三角形,所以外心O 在AD 上,连接 BO.在 RtOBD 中,OD=AD-R,OB2=BD2+OD2,

84、所以R2=(4-R)2+32.解得 R=258.【例 4】一个正三角形的边长为 6,求此三角形的外接圆和内切圆的半径.能否得出任意一个正三角形的外接圆和内切圆的半径与高的比是定值?【解】如图 6.2-10,AD 为 BC 边上的高,则外接圆和内切圆的圆心 O 在 AD 上,AD=3 3.设外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,那么R+r=AD=3 3 在 RtOBD 中,R2-r2=BD2=9 由式解得 R=2 3,r=3.对于一般的正三角形,我们只要设其边长为 a,可以求出其高 h=32 a.根据上面的方法,求出 R=33 a,r=36 a.由此可以得到 Rh=23,rh=13.【注】实际上,

85、正是由于正三角形的四心合一,所以内心和外心也就是重心.根据重心的性质,重心把高分成了两段,它们的比为 1:2,所以 Rh=23,rh=13.习题 6.2如图,在 ABC 中,C=90,AC=BC,AD 平分 CAB交 BC 于点 D,DE AB 于点 E.若 AB=6cm,则 DEB的周长为().A.5cmB.B.6cmC.C.7cmD.D.8cm圆的外切正三角形的边长是圆内接正三角形的边长的().A.2 倍B.3 倍C.2 倍D.3 倍如图,BD,CE 是 ABC 的中线,P,Q 分别是 BD,CE 的中点,则 PQ:BC 等于().A.1:4B.1:3C.1:5图 6.2-9图 6.2-1

86、0第 3 题课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 61 页D.1:6等腰三角形底边上的高等于 18,腰上的中线等于 15,则它的面积等于等腰三角形的底边长为 10,腰长为 13,则它的内切圆半径为，外接圆的半径为已知 ABC 的三边长分别为 BC=a,AC=b,AB=c,I 为 ABC 的内心,且 I 在ABC 的边 BC,AC,AB 上的射影分别为 D,E,F,求证:AE=AF=b+c-a2.证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形.在 ABC 中,G 为重心,I 为内心.若 AB=6,BC=5,CA=4,求 GIBC 的值.第 62 页课堂笔记6.3 面积法我们学习过三角形的面积公

87、式,一边与这边上的高的乘积的一半就是三角形的面积,即 S=12 aha=12 bhb=12 chc、如图 6.3-1,在 ABC 中,AD 是边 BC上的高,那么 SABC=12 BC AD,而 AD=AB sinB,所以我们就得到三角形的面积为 SABC=12 BC AB sinB.同理,我们也能得到S=12 absinC=12 bcsinA=12 acsinB(a,b,c 为角 A,B,C 所对的边).上述结论可以叙述为:三角形的面积等于三角形中任两边以及它们夹角正弦的乘积的一半.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换.运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用

88、的方法,简称它为面积法.我们知道,一个三角形可以分割成若干个小三角形,那它的面积就等于这儿个小三角形的面积之和;等底等高的三角形的面积相等;等底(或等高)的三角形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比;两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方.利用上述的结论,可以解决有关平面几何问题.【例 1】已知 ABC 的三边分别为 a,b,c,内切圆的半径为 r,求证:SAC=12(a+b+c)r【证明】如图 6.3-2,设内切圆的圆心为 I,连接 IA,IB,IC.记 IBC,ICA,IAB 的面积分别为 S1,S2,S3.因为 SABC=S1+S2+S3=12 ar+12 br+12 cr,所以 S

89、ABC=12(a+b+c)r.【例 2】已知点 P 是正三角形 ABC 内的一点,设点 P 到三边 AB,BC,AC 的距离分别为 h1,h2,h3,求证:h1+h2+h3为定值.【证明】如图 6.3-3,连接 AP,BP,CP,记 ABC 的边长为 a,高为 h.图 6.3-2课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 63 页因为 SABC=SABP+SBCP+SCAP=12 ah1+12 ah2+12 ah3=12 ah,所以 h1+h2+h3=h(定值).【例 3】如图 6.3-4,AD,BE,CF 交于 ABC 内的一点 P,并将 ABC 分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出,求 A

90、BC 的面积.【分析】如果能把末给出的两个小三角形的面积求出,那么 ABC 的面积即可得知.根据面积的比例关系,可求出这两个面积.【解】设末知的两个小三角形的面积为 x 和 yBDDC=4030=84+x70+y,即 84+x70+y=43;AEEC=70y=84+x40+30,即 84+x40+30=70y.由 2 式得 x=56,y=35.因此 SABC=84+70+56+35+40+30=315.【例 4】如图 6.3-5,用 x,y,z 表示 ABC 内一点 P到三边的距离,h,k,l 分别表示其对应的 ABC 的高,求证:xh+yk+zl 为定值.【分析】可以发现 h 与 x 分别是

91、 ABC 和 BPC 的高,而且这两个三角形同底,于是可以将 xh 用这两个三角形的面积比来表示.其他两个比类同.【证明】因为 12 h BC=SABC,12 x BC=SBPC,所以xh=SBPCSABC.同理有 yk=SCPASABC,zl=SAPBSABC.所以 xh+yk+zl=SBPC+SCPA+SAPBSABC=SABCSABC=1.故 xh+yk+zl 为定值 1.我们最后看看 6.2 节例 2 的另一解法.如图 6.3-6,连接 AG 交 BC 于点 D,作 IE BC 于点 E,AH BC 于点 H,则IE 为内切圆 I 的半径,设 IE=r.因为 SABC=12 BC AH

92、,SABC=12(AB+BC+CA)IE,因为 GI BC,所以 IEAH=DGAD=13,即 AH=3r.所以 12 BC 3r=12(AB+BC+CA)r,即 AB+AC=2BC.图 6.3-3图 6.3-4图 6.3-5图 6.3-6第 64 页课堂笔记习题 6.3在 ABC 中,b,c 是角 B,C 所对的边,若 A=60,b=2,c=3,则此三角形的面积为().A.32B.3C.3 32D.3 3若直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边长为 c,斜边上的高为 h,则有().A.1a2+1b2=1h2B.1a+1b=1hC.ab=h2D.a2+b2=2h2不等边三角形 ABC 的两条

93、高的长度分别为 4 和 12.如果第三条高也为整数,那么它的长度是().A.4B.5C.6D.7如图,点 A 在平行四边形的对角线上,S1,S2表示图中两个三角形的面积，则 S1,S2之间的大小关系是在 ABC 中,若 AB=BC=2,面积为3,则 B=.证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.(1)设 G 是 ABC 的重心,证明:GBC,GAC,GAB 的面积相等.(2)利用(1)的结论,证明:三角形顶点到重心的距离,等于重心到对边中点的距离的 2 倍.如图,设 P 是 ABC 内任一点,线段 AD,BE,CF 过点 P且分别交边 BC,CA,AB 于点 D,E,F,求证

94、:PDAD+PEBE+PFCF=1.第六章测试题(满分为 100 分,考试时间 45 分钟)一、选择题(本题有 6 小题,每小题 6 分,共 36 分)如果一个正三角形的内切圆的半径为 1,那么它的外接圆半径为().A.2B.3C.2D.3(第 4 题)(第 8 题)课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 65 页如图,正三角形 ABC 的周长为 12,CD 是边 AB 上的中线,E 是 CB 延长线上一点,且 BD=BE,则 CDE 的周长为().A.6+4 3B.6+2 3C.18+12 3D.18+4 3一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线,这个三角形的形状最准确的判断是().A.等腰三角形B.

95、正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形在 ABC 中,BD,CE 是两条中线,BD=4,CE=6,且 BD CE,则 ABC 的面积是().A.12B.14C.16D.18若 CD 是 RtABC 斜边上的高,AD=3,CD=4,则 BC=().A.5B.163C.203D.253如图,RtABC 被斜边上的高 CD 和直角平分线 CE 分成 3个三角形,SACE=30,SCED=6,则 BCD 的面积为().A.4B.9C.4 或 8D.4 或 9二、填空题(本题有 4 小题,每小题 7 分,共 28 分)若 ABC 三边 a,b,c 上的高分别是 ha=6,hb=4,hc=3,则 a:b

96、:c=.已知三角形三边长分别为 3,4,5,则其内切圆半径为,外接圆半径为.直角三角形的两条直角边在斜边上的射影分别是 4 和 6,则这个三角形的面积为.如图,正方体的棱长为 2,O 为边 AD 的中点,则以O,A1,B 三点为顶点的三角形面积为.三、解答题(本题有 3 小题,每小题 12 分,共 36分)(第 6 题)(第 10 题)(第 11 题)(第 12 题)第 66 页课堂笔记如图,CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高,DE AC 于点 E,CD=10,AE=3,分别求 DE,BD,BC 的长.如图,MN 是 ABC 的中位线,点P 在 MN 上,BP,CP 的延长线分别交对边于

97、点 D,E,求证:AEBE+ADDC=1.如图,点 G 为 ABC 的重心,从各顶点及 G 向三角形外一直线 l 引垂线 AA,BB,CC,GG,垂足为 A,B,C,G.(1)求证:AA+BB+CC=3GG.(2)若 AA,BB,CC,GG 不垂直于 l,但仍保持互相平行时,结论(1)是否还成立?试说出你的猜想,并加以证明.第七章基本轨迹问题平面上的曲线可以看成是由满足一定条件的点所组成的,我们把满足某种条件的点组成的集合叫做具有这种性质的点的轨迹.例如,圆可以看成是到某个定点的距离等于定长的点的轨迹.我们学习过平面上的几何图形如三角形、平行四边形等,这些图形也都是点的集合.对于这些平面图形而

98、言,我们是先了解其形状,再去探求其性质.而基本轨迹问题则是探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形.这使得我们能更加理性地去研究平面图形,并且有助于我们进人高中以后更好地为学习解析几何.【例 1】求过两定点 A,B 的圆的圆心的轨迹.【解】(1)设过两定点 A,B 的任一圆的圆心为 O,由圆的性质有 OA=OB.若点 O 恰为 AB 的中点,则它在线段AB 的垂直平分线上.若点 O 不为 AB 的中点,如图 7-1,设AB 的中点为 O1,由于 AO1=BO1,于是 AOO1 BOO1,所以 AO1O=BO1O=90,即圆心 O 在线段 AB 的垂直平分线上.(2)反之点 O 为线段 AB

99、的垂直平分线上任一点,则OA=OB.于是以点 O 为圆心,OA 为半径作圆必过两定点 A,B.由此我们就可以说过两定点 A,B 的圆的圆心的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.基本轨迹问题中,我们要寻求“满足某条件的点的轨迹是图形 F,必须做到以下(第 13 题)图 7-1课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 67 页两步:(1)任取满足某条件的一点 A,它一定落在图形 F 上;(2)在图形 F 上任取一点 A,它一定满足某条件.以上是求轨迹问题必不可少的两步,第一步是证明完备性,第二步是证明纯粹性.完备性和纯粹性是轨迹的两个基本属性,是判断轨迹是否为适合某条件图形的不可缺少的两个基本要素.事实上,我们已经

100、学习过“线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等”;并且“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”.因此,我们可以总结为:定理 1 与两定点距离相等的点的轨迹是连接两定点线段的垂直平分线.利用有关轨迹的基本定理,我们可以求出满足一定条件的点的轨迹.我们现在讨论的轨迹问题就是根据动点所满足的条件,判断点的轨迹的图形的形状、位置等.在表达的过程中,为了突出主题,对于纯粹性的讨论往往省略.根据初中阶段所学平面几何的内容,我们可以总结出以下关于轨迹的结论,称之为轨迹基本定理.定理 2 与一条直线的距离等于定长的点的轨迹,是平行于已知直线且位于此直线两侧并和这直线的距离等于定长的两条平行线.定理

101、 3 与两条平行直线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线距离相等的一条平行线.定理 4 与相交两直线距离相等的点的轨迹,是分别平分两已知直线交角的互相垂直的两条直线.定理 5 与一个定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆.定理 6 与已知线段两端点所连线段的交角等于定角 0 12 且 m 2.5.k 23.课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 71 页6.(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根.7.分两种情况讨论:(1)当 m=0 时,x=12;(2)当 m 0 时,=m2+4 0.综合(1)(2),方程必有实数根.8.(1)令 k2-1=0,得 k=1

102、.当 k=1 时,得 x=-14;当 k=-1 时,方程没有实数根.(2)当 k2-1 0,即 k 1 时,方程是一元二次方程,要使它有实数根,则 0.由 =2(k+1)2-4 k2-1 0,得 k -1.因此,当 k -1 且 k 1 时,方程有实数根.综合(1)(2),当 k -1 时,方程有实数根.习题 3.31.B.2.B.3.A.4.3.5.y2-11y+1=0.6.(1)-52;(2)-143;(3)10.7.设方程的两根分别为 3r 和 5r,由韦达定理得3r+5r=-ba,3r 5r=ca,化简得8r=-ba,15r2=ca,即 15-b8a2=ca.所以 64ac=15b2.

103、8.设方程的两根分别为 x1,x2,由韦达定理得 x1+x2=-a2,x1x2=-2a+12.方程的两个实数根的平方和 x21+x22=14 a2+8a-4=294,解得 a=-11 或 3.因为 x1,x2是方程的两个实数根,所以 0.当 a=-11 时,=(-11)2+4 2 (22+1)=-63 0.因此,a 的值为 3.习题 3.41.(1)x=1;(2)x=5.2.(1)x=1.(2)方程两边同乘最简公分母(2x+1)(2x-1)(2x-3),解得 x1=32,x2=2.经检验,x=32 是增根,x=2 是原方程的根.3.(1)x1=-23,x2=-34.(2)设 x2-3x=y,则

104、原方程化为 y+3y=132,解得 y1=12,y2=6.当 y=12 时,x2-3x=12,解得 x1=2,x2=-32;当 y=6 时,x2-3x=6,解得 x3=3+2 3,x4=3-2 3.经检验,x1=2,x2=-23,x3=3+2 3,x4=3-2 3 都是原方程的解.第 72 页课堂笔记习题 3.51.(1)4；(2)3.2.(1)3,7；(2)1.3.(1)设x-1x+2=y,则原方程化为 y-52=-1y,解得 y1=2,y2=12.当 y=2时,x-1x+2=2,解得 x=-3;当 y=12 时,x-1x+2=12,解得 x=2.经检验,原方程的解为 x1=-3,x2=2.

105、(2)设x2+x-2=y,则原方程化为 y2-y-2=0,解得 y1=-1,y2=2.当 y=-1 时,x2+x-2=-1,无解；当 y=2 时,x2+x-2=2,解得 x1=-3,x2=2.经检验,原方程的解为 x1=-3,x2=2.习题 3.61.(1)x=-1,y=0.(2)x1=13,y1=-13;x2=65,y2=75.2.(1)x1=4,y1=2;x2=-4,y2=-2;x3=3 2,y3=2;x4=-3 2,y4=-2.(2)x1=65,y1=14115;x2=65,y2=-14115.3.(1)x=7,y=3.(2)设 1x=a,1y=b,原方程组可化为 a+b=5,ab=6,

106、解得 a=2,b=3;a=3,b=2.原方程组的解是x1=12,y1=13;x2=13,y2=12.第三章测试题1.C.2.B.3.C.4.C.5.D.6.C.7.a 1 且 a 0.8.2-3,1.9.0 或 2.10.答案不唯一,x2项系数为 1 的方程为 x2-6x+2=0.11.(1)x=-1,y=12,z=3.(2)x1=3,y1=1;x2=-3,y2=-1;x3=5,y3=5;x4=-5,y4=-5.12.(1)x=1;(2)x1=4,x2=-1.13.原方程化为 kx2-3kx+2x-1=0.课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 73 页当 k=0 时,原方程有唯一解 x=12.当 k 0

107、 时,方程 kx2-3kx+2x-1=0,=9k2-8k+4=5k2+4(k-1)2 0,所以方程总有两个不相等的实数根.由题意知,必有一根是原方程的增根.由原方程的最简公分母 x(x-1)知,增根只能是 0 或 1.显然 x=0 不是方程 kx2-3kx+2x-1=0 的增根,x=1 是方程的增根.把 x=1 代人方程 kx2-3kx+2x-1=0,解得 k=12.第四章函数的图像和性质习题 4.11.A.2.B.3.C.4.m=-1.5.设二次函数解析式为 y=ax2+bx+c,则a-b+c=1,a+b+c=1,c=2解得a=-1,b=0,c=2.二次函数的解析式为 y=-x2+2.6.由

108、已知得二次函数图象与 x 轴的交点为(-1,0)和(5,0).设二次函数的解析式为 y=a(x-2)2-18,把(-1,0)代人得 9a=18,即 a=2,所以二次函数的解析式为 y=2(x-2)2-18=2x2-8x-10.习题 4.21.A.2.C.3.2,5.4.8.5.(1)a 2;(2)a=2.6.设二次函数为 y=a(x+2)(x-1),又因为过点 C(2,4),所以 4a=4,得 a=1.二次函数的解析式为 y=(x+2)(x-1)=x2+x-2.习题 4.31.B.2.B.3.D.4.左,2,上,3.5.关于 y 轴的对称.6.函数 y=1x+3 的图象是将反比例函数 y=1x

109、 的图象上的所有点向左平移 3个单位得到.图略.7.各图象如下:第 74 页课堂笔记习题 4.41.C.2.D.3.A.4.x 2,-1 x 2.5.(1)M=172,m=5;(2)M=5,m=12;(3)M=52,m=1.6.(1)2 x 12 或 x 0.7.y=-x2+2ax+1=-(x-a)2+a2+1,抛物线的对称轴为直线 x=a,在抛物线上按自变量的范围 1 x 2 截取其中一段图象,按 a 的大小分类讨论:(1)当 a 2 时,M=4a-3,m=2a；(2)当 32 a 2 时,M=a2+1,m=2a；(3)当 1 a 32 时,M=a2+1,m=4a-3;(4)当 a 1 时,

110、M=2a,m=4a-3.(第 7 题)综合以上,可得所求函数的最大值和最小值分别为M=4a-3,a 3a2+1,1 a 22a,a 1,m=2a,a 32,4a-3,a 32.8.设售价为(30+x)元,则每件的利润为(10+x)元,货物可售出的件数为(400-20 x),所以总的利润为 y=(10+x)(400-20 x),0 x 20,课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 75 页则当 x=5 时,y 有最大值 4500,即当售价为 25 元时,最大利润为 4500 元.第四章测试题1.D.2.C.3.C.4.D.5.C.6.B.7.4,2 或 14,32.8.y=-x2+2x+3.9.m -12.

111、10.右,1,在 x 轴下方部分关于 x 轴作对称变换,x 轴上方部分不变的.11.(1)-13 x a,即-3 a 2.所以当-2 a 2 时,结论成立.(2)当 a a,即a -103.所以当-103 a 2 时,当 x=2 时,y 的最小值为 10-4a,所以只要 10-4a a,即 a 2 矛盾,所以无解.由(1)(2)(3)得:当-103 a 2 时,在区间-2 x 2 上,y=x2-2ax+6 的函数值恒大于 a.第五章比和比例习题 5.11 B 2 D3 14 4 5:9:145由已知可得 y=3x，代人所求式，原式=115 6(1)-58；(2)512 7提示：运用等比和更比定

112、理即可证明8提示：只要证明 b2=ac习题 5.21 A 2 C3 359，289 4 60，405设 MN=x，BN=y，则 y8=6-y6=x7，解得 x=3，即 MN=36设 ABC 的边长为 x，证明 ABP PCD，得到 BPCD=xx-1，边长为 37提示：证明 BDF CBA8 BAE=C，E=E，EAB ECA，AEEC=ABAC 又 BAC=90，AD 是高，BDA BAC，BDAD=ABAC BDAD=AEEC，BD EC=AE AD第五章测试题第 76 页课堂笔记1 A 2 D 3 A 4 A 5 B 6 D7 3 1011 8 687 9 6013 或 103 10 1

113、95112+112提示：证明 FDB FAD 和 ABD CAD13 AD 是 ABC 的角平分线，BDDC=ABAC 又 H=DKC=90，HDB=KDC，BHD CKD BDDC=DHDK，ABAC=DHDK 第六章三角形的几个性质习题 6.11 4，4 3，2 3 2 1:43 AD=2，BC=4 5 或 AD=8，BC=2 54略5提示：证明 CAD BCD6(1)(2)(3)(6)(8)成立，根据为射影定理；(4)(7)不成立，因末知 BAC 是否为直角7 BC2=BD AB，BE2=BD BM，BC2=BD AB=BD 2BM=2BE2，BC=2BE习题 6.21 B 2 A 3

114、B4 144 5 103，16924 6因为 AE，AF 为圆的从同一点作的两条切线，所以 AE=AF同理 BD=BF，CD=CE b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE，AE=AF=b+c-a27如图，连接 AO 并延长交 BC 于 D O 为三角形的内心，故 AD 平分 BAC，ABAC=BDDC 角平分线性质定理 O 为三角形的重心，D 为 BC 的中点，即 BD=DC，ABAC=1，即 AB=AC同理可得，AB=BC ABC 为等边三角形8连接 AG，AI 并延长，分别交 BC 于 D，E，则 BD=CD=52 由 BECE=ABAC，得 BE=3，

115、故 DE=3-52=12 又因为 AGGD=2，AIIE=ABBE=2，于是 AGGD=AIIE ABCDO第 7 题课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 77 页所以 GI BC，所以 GIDE=AGAD=23，得 GI=13 从而 GIBC=115 习题 6.31 C 2 C 3 B4 S1=S2 5 60或 1206提示：利用面积相等，三角形面积等于两个小三角形的面积之和7略8提示：SKCPSBCA=PDAD，SCAPSCAB=PEBE，SABPSABC=PFCF 第六章测试题1 C 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D7 2:3:4 8 1，52 9 10 6 10611 DE=6，BD=2

116、155，BC=5 63 12连接并延长 AP 交 BC 于 F，则 AP=PF SCPA=SCPF，SBPA=SBPF，AEBE=SCEASCEB=SPEASPEB=SCEA-SPEASCFB-SPEB=SCPASBPC 同理可得 ADDE=SAPASBPC AEBE+ADDC=SCPASBPC+SBPASBPC=SCPF+SBPFSBPC=113 1设 M 为 AC 的中点，N 为 BG 的中点，作 MM l 于点 M，NN l 于点N，则由已知条件可知，MM 是 梯形 AACC 的中位线，NN 是梯形 BBGG 的中位线 MM+NN=2GG，MM=12 AA+CC，NN=12 BB+GG

117、12 AA+CC+12 BB+GG=2GG，即 AA+BB+CC+GG=4GG，AA+BB+CC=3GG2若 AA，BB，CC，GG 不垂直于 l，但仍保持互相平行时，这个结论仍成立证明略第七章基本轨迹问题习题1 D 2 C 3 C4以斜边中点为圆心，半径等于斜边长 16 的圆5过交点的两条直线6如图，设 AB 为定线段，ABC 中 AB=AC设 P 为 ABC 的重心，D 为 AC 的中点，过 P 作边 AC 的平行线交 AB 于点 O由三角形重心的性质可知 OPAD=BOAB=BPBD=23，而 AB=ABCDOP第 6 题第 78 页课堂笔记AC=2AD，所以 BO=23 AB，OP=1

118、3 AB由轨迹基本定理 5，可知点 P 的轨迹是以定点 O AB 的靠近 A 端的三分之一分点为圆心，13 AB 长为半径的圆同理，若 B 为等腰三角形的顶角时，重心 P 的轨迹是以 AB 的靠近 B 端的三分之一分点为圆心，13 AB 长为半径的圆综上，所示的三角形重心的轨迹是以定线段 AB 的两个三分之一分点为圆心，13 AB 为半径的两个圆7连接 AO 并延长与 O 相交于 B1，B2，分别以 AB1，AB2 为边作正三角形AB1C1和 AB2C2(A,B1,C1及 A,B2,C2分别按逆时针排列)，则 C1，C2为所求轨迹上的两点，设 C1C2的中点为 O1，由题意可知 C1C2=B1

119、B2=O 的直径设 B为 O 上任意一点，以 AB 为边作正三角形 ABC A,B,C 按逆时针排列，由于AO=AO1，AB=AC，BAO=CAO1，所以 AOB AO1C，于是 CO1=BO根据基本轨迹定理 5，故点 C 的轨迹是以 O1为圆心，以定圆半径为半径的圆考虑到上述推导中三角形的顶点也可以按顺时针排列，因此这样的圆有两个第 7 题8设 BAC=，AB+AC=l，分别延长 AB，AC 至 E，D，使 AE=AD=l，则A，D，E 三点为定点连接 PA，PB，PC，PE，PD，因为 PA BC，所以 PC=AB，因此 PB=AC于是 PB=BE，PC=CD，PEA=12 PBA=12 PCA=PDA，所以 P，A，D，E 四点共圆由于 A，D，E 三点为定点，根据轨迹基本定理 6，点 P 的轨迹是一过 A，E，D 的三点的圆弧课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 79 页第 8 题