24.4-5 相似三角形的判定与性质（难点）（沪教版）（解析版）.docx

1、24.4-5 相似三角形的判定与性质（难点）一、单选题1如图，在中，点、分别在、上，点在的延长线上，则下列结论错误的是（ ）ABCD【答案】C【解析】由，得到，根据平行线分线段成比例定理相似三角形性质即可得到结论解 :， 故A正确故B正确故C错误 ， 故D正确故选C【点睛】本题主要考察了平行线分线段成比例定理，相似三角形等知识点，准确记住它们是解题关键2如图所示，、分别是的边、上的点，且，、相交于点若，则与的比是（ ）A1：2B1：3C2：3D2：5【答案】C【j解析】利用相似三角形的性质解决问题即可解：，与的比，故选：C【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质

2、和判定定理是解题的关键3如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE过点D作DFBC于点F，连结EF若DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（）A5B4C3D2【答案】C【j解析】作AMBC于M，交DE于N，根据相似三角形的性质得到ANAM，求出ADE的面积DEF的面积1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【详解】作AMBC于M，交DE于N，点D、E分别是AB、AC的中点，DEBC，DEBC，ADEABC，ANAM，DFBC，AMDF，BDFBAM，DF=AN，ADE的面积DEF的面积1，ADEABC，ABC的面积4，四边形DECB的面积413，故选：C【点

3、睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是作辅助线求得ADE的面积4如图，已知在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到，交中点.若，若，求点到线段的距离（）ABCD【答案】C【j解析】先根据，求出，进而可得到，再根据点D为BC中点，可得到，然后根据AC6求得DF，最后再利用相似三角形的判定及性质即可求得【详解】解：，翻折，又点D为BC中点，如图，过点D作DFAC，过点作AC，垂足分别为点F，G，则，AC6，DF，DFAC，AC，解得：，故选：C【点睛】本题考查了三角形的等积变换，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键

4、5如图，中，点，分别在，上，把绕点旋转，得到，点落在线段上若点在的平分线上，则的长为（ ）ABCD【答案】C【j解析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明PQCBAC，再根据相似三角形的性质得出CPQ=B，由此可得出PQAB；连接AD，根据PQAB和点D在BAC的平分线上可证ADQ=DAQ，由此可得AQDQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程124x2x，解出x，即可求出CP【详解】解：在RtABC中，AB15，BC9，AC12，CC，PQCBAC，CPQB，PQAB；连接AD，PQAB，ADQDAB点D在BAC的平分线上，DAQDAB，ADQD

5、AQ，AQDQPDPC3x，QC=4x在RtCPQ中，根据勾股定理PQ=5x.DQ2xAQ124x，124x2x，解得x2，CP3x6故选C【点睛】本题考查几何变换旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键6如图，在矩形中，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，则下列说法错误的是（ ）A直线为线段的垂直平分线BCD【答案】D【j解析】根据折叠的性质可得：AB=AF，BE=FE，所以AE垂直平分线段BF，从而可判断选项A正确；由E是BC的中点，则BE=EC，故有BE=FE=EC ，从而可分别判断选项B、C均正确，从而选项D

6、错误【详解】根据折叠的性质可得：AB=AF，BE=FEAE垂直平分线段BF选项A正确E是BC的中点BE=ECBE=FE=EC选项C正确FE=ECEFC=ECF选项B正确则选项D错误事实上，过点E作EGFC于点GCF=2GF，FEG=CEG 根据折叠的性质，可得：BEA=FEA，AFE=B=90 2FEA+2FEG=180FEA+FEG=90FEA+EAF=AFE=90FEG=EAFFEGEAF FE=BE=3，AB=4在RtABE中，由勾股定理得：AE=5CF=2GF=则选项D错误故选：D【点睛】本题主要考查了图形折叠的性质、三角形相似的判定与性质，关键是抓住折叠中的不变量7如图，知形ABCD

7、中，AB6，BC4，对角线AC、BD相交于点O，CE平分OB，且与AB交于点E若F为CE中点，则BEF的周长是（ ）A2B22C22D6【答案】C【j解析】首先证明得，代入数据求出，再由勾股定理求出，根据直角三角形性质证明，进一步可得出结论【详解】解：四边形是矩形，设与交于点，如图， 又 在矩形中， CE平分OB， 在中， 为CE中点， 的周长等于 故选：C【点睛】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，运用相似三角形的性质求出是解答此题的关键8“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法如图所

8、示，在矩形中，以为边做正方形，以为斜边，作使得点在的延长线上，过点作交于，再过点作于，连结交于，记四边形，四边形的面积分别为，若，则为（ ）ABCD【答案】B【j解析】通过说明ADEMDG，得出AEGM，DEDG利用DMGGMC得出比例式，求得CM；利用S1S215，得到SEDCS矩形CMHB15，列出方程，解方程，结论可得【详解】解：四边形AHMD为正方形，DMDA7，ADM90DGDE，GDE90ADEEDM90，GDMCDM90ADEGDMA90，DMG90，ADMGADEMDG（ASA）DEDG，AEGM四边形DEFG为正方形设AEx，则GMx在RtADE中，DE=DGC90，DGMC

9、GM90GMCD，DMGGMC90CGMGCM90DGMGCMDMGGMC，CMS1S215，（S1SCMN）（S2SCMN）15即SEDCS矩形CMHB15CDADCMMH15AD（CMDM）CMAD157（7）715解得：x（负数不合题意，舍去）xDGAE=2故选：B【点睛】本题主要考查了矩形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质利用相似三角形的性质得出比例式是表示线段长度的重要方法9如图，在OAB和OCD中，OAOC，OAOB，OCOD，且B，O，C在一条直线上，AOBCOD40，连接AC，BD交于点M，连接OM下列结论：AOCBOD；AOBCOD

10、；BMA40；MO平分CMB其中正确的是（）ABCD【答案】D【j解析】由SAS证明AOCBOD，正确；可得，AOCBOD，则AOBCOD，正确；由全等三角形的性质得出OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OACAOB+OBD，得出AMBAOB40，正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图所示：则OGCOHD90，由AAS证明OCGODH（AAS），得出OGOH，由角平分线的判定方法得出MO平分BMC，正确【详解】解：AOBCOD40，AOB+AODCOD+AOD，即AOCBOD，在AOC和BOD中，AOCBOD（SAS）；故正确，OAOB，OCOD，又AOCBOD，AOBCOD，故正确

11、AOCBOD，OCAODB，OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OACAOB+OBD，BMAAOB40，故正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图所示：则OGCOHD90，在OCG和ODH中，OCGODH（AAS），OGOH，MO平分CMB，故正确；故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键10如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N则的值为（ ）ABCD【答案】C【详解】四边形和四边形是正方形，在和中，平分又是

12、的中点，设，正方形的边长是，则，即，解得或（舍去），则二、填空题11如图，平行四边形中，对角线、交于点，且，、分别为、上两点，且，连接、，则与的面积比为_【答案】【j解析】过点B作BMAC，CNBD于点M，N，证明MOBNOC，可得BM：CN=OB：OC=4：3，根据三角形的面积即可得ABE与DCF的面积比为【详解】解：如图，过点B作BMAC，CNBD于点M，N，MOB=NOC，BMO=CNO=90，MOBNOC，BM：CN=OB：OC=4：3，BM=CN，SABE=AEBM=AECN=AECN，SDCF=DFCN=2AECN=AECN，则ABE与DCF的面积比为故答案为：【点睛】本题考查了平

13、行四边形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质12如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，ABEF，FG=4，GC6，则EG_【答案】8【j解析】由全等三角形的性质可证，通过证明BFGCGH，可求 ，由勾股定理可求a的值，即可求解；【详解】FGH=90，BGF+CGH=90，又CGH+CHG=90，BGF=CHG，EHG=90， EHD+CHG=90，又EHD +DEH=90，DEH=CHG，BGF=DEH，在BFG和DHE中， BFGDHE(AAS)，四边形EFGH为矩形，EF=GH， AEG=EGC，FEG=EGH，AEF=HGC，在AFE和CHG中

14、，AEFCHG(AAS)AF=CH，EF=GH，BGF=CHG，B=C=90，BFGCGH，设矩形GHEF的边GH为a，则EF为a， ，AB=EF=a，FG=4，GC=6； ， ， ， ，在RtCGH中， ， ，解得： ， ， ，故答案为：8【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识灵活运用这些性质解决问题是本题的关键；13如图，ABDBCD90，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于M连接CM交DB于 N若CD6，AD8，求MN的长为 _ 【答案】【j解析】由平行线的性质可证，即可证，由和勾股定理可求的长，通过证明，可得，即可求的长【详解】

15、平分，且，且，且CD6，AD8， ，且，故答案是：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，求出的长度是本题的关键14如图，菱形中，点为边上一点，连接，交对角线于点若，则_【答案】【j解析】通过证明DEFBCF，可得，即可求解【详解】解：四边形ABCD是菱形，A60ABADCDBC，ABCD60，ADBC，ABD和CBD是等边三角形，ADBDAB2，ADBC，DEFBCF，即：，AE=，2AE0，AE，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明DEFBCF是本题的关键15如图，正方形中，绕点逆时针旋转得到，分别

16、交对角线于点，若，则的值为_【答案】36【j解析】根据正方形的性质得到，根据旋转的性质得，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：四边形ABCD是正方形，把绕点逆时针旋转得到，AEFDEA，的值为36；故答案为：36【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键16如图，将矩形沿EF折叠，使点B落在点上，点落在点处点是折痕上的任一点，过点作于点，交于点若，则的值是_【答案】【j解析】根据四边形是矩形与折叠的性质得到CD=BC1=8，利用得到EHPEBF，利用相似三角形的性质求出MP的长，再根据角平分线的性质得到的长【详解】四边形是矩形B

17、C=AD=16，BF=BC-CF=10折叠，C1=90CD=BC1=EHPEBF作PMAD于M点EHP中HP边上的高长为MP，EBF中BF边上的高长为CD，即解得MP=又DEF=BEFEF平分DEB又GP=MP=故答案为：【点睛】此题主要考查四边形内线段长度求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的特点及角平分线的性质17如图，正方形中，点在边上，点在边上，的延长线与射线相交于点，设，则的长为_【答案】【j解析】设BF=x，则CF=4-x，先在三个直角三角形中，由勾股定理求出DE2、EF2、DF2，再在RtDEF中，由勾股定理得出DF2=CD2+EF2，求出BF、CF，然后

18、由三角形相似求出BG即可【详解】解：设BF=x，则CF=4-x，ABCD为正方形，DA=AB=4，在RtADE中，DE2=DA2+AE2=42+12=17，在RtEFB中，EF2=EB2+BF2=（4-1）2+x2=9+x2，在RtCDF中，DF2=CD2+CF2=42+（4-x）2=x2-8x+32，在RtDEF中，DF2=DE2+EF2，即x2-8x+32=17+9+x2，BFG=CFD，DCF=GBF=90，FBGFCD，；故答案为：【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，正方形的判定和性质，以及勾股定理的应用，关键是找到相似三角形求出对应边的比18如图，在矩形中，将矩形沿着折痕折叠

19、，点落在上，与边交于点G若点C恰好与的中点重合，且，则的值为_【答案】【j解析】首先得出，再根据翻折的性质得出，得出，最后利用勾股定理得出结果【详解】点C恰好与的中点重合，由翻折的性质得，又，设，在Rt中，CF=，AD=BC=BF+FC=，AB=2a，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质及勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质19如图，CAB与CDE均是等腰直角三角形，并且ACBDCE90连接BE，AD的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F，且AFBE，将CDE绕点C旋转直至CDBE时，若DA4.5，DG2，则BF的值是_【答案】【j解析】先根据平行线的性质、直角

20、三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此可得的长，然后根据矩形的判定与性质可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，利用线段的和差即可得【详解】，和均是等腰直角三角形, 且，在和中，即，解得或（不符题意，舍去），四边形是矩形，又，在和中，故答案为：【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出相似三角形和全等三角形是解题关键20如图，已知矩形，点为对角线上一点（不与、重合），过点作交于点，连接，则的值等于_【答案】【j解析】过点E作，根据EMAB，ENAD，对应边成比例，再证明即可得解；【详解】过点E作，EMAB

21、，ENAD，；故答案是【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键21如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，点在轴上，、分别是、的中点过点的双曲线与交于点连结，点在上，且，连结、若的面积为，则的值为_【答案】【j解析】设矩形OABC中OA=2a，AB=2b，由D、E分别是AB，OA中点，得出点D（b，2a）、E（0，a），过点F作FPBC于点P，延长PF交OA于点Q，可得四边形OABC是矩形，即OQ=PC，PQ=OC=2b，证明CFPCDB，得出，从而得出CP=，FP=，EQ=，FQ=，最后根据S梯形ADFQ-SADE-SEFQ=6，求得即可得出答案【

22、详解】解：设矩形OABC中OA=2a，AB=2b，D、E分别是AB，OA中点，点D（b，2a）、E（0，a），如图，过点F作FPBC于点P，延长PF交OA于点Q，四边形OABC是矩形，QOC=OCP=CPQ=90，四边形OCPQ是矩形，OQ=PC，PQ=OC=2b，FPBC、ABBC，FPDB，CFPCDB，即，可得CP=，FP=，则EQ=EO-OQ=a-=，FQ=PQ-PF=2b-=，DEF的面积为6，S梯形ADFQ-SADE-SEFQ=6，即（b+）-b-=6，可得ab=，则k=2ab=故答案为：【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形

23、的面积，利用相似三角形的判定与性质表示出点F的坐标是解题的关键22如图，点O为正方形的中心，平分交于点E，延长到点F，使，连接交的延长线于点H，连接交于点G，连接则以下五个结论中；，正确结论为_【答案】【j解析】只要证明OH是DBF的中位线即可得出结论；根据四边形ABCD是正方形，BE是DBC的平分线可求出RtBCERtDCF，再由EBC22.5即可求出结论OH是DBF的中位线等已知条件可得出OHBO，设设正方形的边长为2a，表示出GH，BC即可得出结论；由相似三角形的判定定理得出DHEBHD，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论根据是OH是DBF的中位线得出G是DC的中点，DG=GC，在

24、RtCGF中GFGC即GFDG【详解】解：ECCF，BCEDCF，BCDC，BCEDCF，CBECDF，CBE+BEC90，BECDEH，DEH+CDF90，BHDBHF90，平分HBDHBF，BHBH，BHDBHF，DHHF，ODOBOH是DBF的中位线；故正确；四边形ABCD是正方形，BE是DBC的平分线，BCCD，BCDDCF，EBC22.5，CECF，RtBCERtDCF（SAS），EBCCDF22.5，BFH90CDF9022.567.5，OH是DBF的中位线，CDAF，OH是CD的垂直平分线，DHCH，CDFDCH22.5，HCF90DCH9022.567.5，CHF180HCFB

25、FH18067.567.545，故正确；OH是DBF的中位线，OHBF，OHBHBFBE是DBF的平分线，DBHHBFOHBHBOOHBO设正方形的边长为2a，则BC=2a，OG=a，BD= OB=OH=GH=OH-OG=-a= 故成立DBF45，BE是DBF的平分线，DBH22.5，由知HBCCDF22.5，DBHCDF，BHDBHD，DHEBHD，DH2HEHB，故成立；OH是DBF的中位线G是DC的中点，DG=GC，在RtCGF中GFGC即GFDG故不成立故答案为：【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质利用等腰直角三角形的

26、性质结合角平分线的性质逐步解答三、解答题23已知：如图，梯形ABCD中，点E是腰AD上一点，作，联结CE，交DB于点求证：；如果，求的值【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）依据CDB=DBA=45=A，EBA=CBD，即可判定CBDEBA；（2）依据CBDEBA，可得，再根据CBE=DBA，即可得到的值试题解析：，又，又，；，24如图，ABC中，C=90，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BFDE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使BCP与BC

27、D相似【答案】（1）证明见解析；（2）当PB=2.5或时，BCP与BCD相似【详解】试题分析：（1）利用平行分线段成比例定理得出，进而得出ABCGBC（SAS），即可得出答案；（2）分别利用第一种情况：若CDB=CPB，第二种情况：若PCB=CDB，进而求出相似三角形即可得出答案试题解析：（1）证明：BFDE，AD=BD，AC=CG，AE=EF，在ABC和GBC中：，ABCGBC（SAS），AB=BG；（2）当BP长为或时，BCP与BCD相似；AC=3，BC=4，AB=5，CD=2.5，DCB=DBC，DEBF，DCB=CBP，DBC=CBP，第一种情况：若CDB=CPB，如图1：在BCP与B

28、CD中，BCPBCD（AAS），BP=CD=2.5；第二种情况：若PCB=CDB，过C点作CHBG于H点如图2：CBD=CBP，BPCBCD，CHBG，ACB=CHB=90，ABC=CBH，ABCCBH，BH=，BP=综上所述：当PB=2.5或时，BCP与BCD相似25如图，在和中，D、分别是AB、上一点，（1）当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格 （2）当时，判断与是否相似，并说明理由【答案】（1），；（2）相似，理由见解析【j解析】（1）根据证得，推出，再证明结论；（2）作DEBC，利用三边对应成比例证得，再推出，证得，即可证明【详解】（1），故答案为：，；（2）如图

29、，过点D、分别作DEBC，DE交AC于点E，交于点，DEBC，同理：，又，同理：，即，又， ，DEBC，同理：，又，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键26如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG=OG；（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值【答案】（1）1：3；（2）见解析；（3）5：3：2【j解析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，ADBC，从而可得AEGCB

30、G，由AE=EF=FD可得BC=3AE，然后根据相似三角形的性质，即可求出EG：BG的值；（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，则有AC=4AG，从而可得AO=AC=2AG，即可得到GO=AOAG=AG；（3）根据相似三角形的性质可得AG=AC，AH=AC，结合AO=AC，即可得到a=AC，b=AC，c=AC，就可得到a：b：c的值【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，AO=AC，AD=BC，ADBC，AEGCBG，AE=EF=FD，BC=AD=3AE，GC=3AG，GB=3EG，EG：BG=1：3；（2）GC=3AG（已证），AC=4AG，AO=AC=2AG，GO=AOAG=AG；

31、（3）AE=EF=FD，BC=AD=3AE，AF=2AEADBC，AFHCBH，=，即AH=ACAC=4AG，a=AG=AC，b=AHAG=ACAC=AC，c=AOAH=ACAC=AC，a：b：c=：=5：3：227如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，ABD+ADB=ACB（1）填空：BAD与ACB的数量关系为 ；（2）求的值；（3）将ACD沿CD翻折，得到ACD（如图2），连接BA，与CD相交于点P若CD=，求PC的长【答案】（1）BAD+ACB=180；（2）；（3）1【j解析】（1）在ABD中，根据三角形的内角和定理即可得

32、出结论：BAD+ACB=180；（2）如图1中，作DEAB交AC于E由OABOED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，由EADABC，推出，可得，可得4y2+2xy-x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DEAB交AC于E想办法证明PADPBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【详解】解：（1）如图1中，在ABD中，BAD+ABD+ADB=180，又ABD+ADB=ACB，BAD+ACB=180，故答案为：BAD+ACB=180（2）如图1中，作DEAB交AC于EDEA=BAE，OBA=ODE，OB=OD，OABOED，AB=DE，OA=OE

33、，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，EDA+DAB=180，BAD+ACB=180，EDA=ACB，DEA=CAB，EADABC， ，4y2+2xyx2=0，（负根已经舍弃）， （3）如图2中，作DEAB交AC于E由（1）可知，DE=CE，DCA=DCA，EDC=ECD=DCA，DECAAB，ABC+ACB=180，EADACB，DAE=ABC=DAC，DAC+ACB=180，ADBC，PADPBC，即 PC=1【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会

34、利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题28如图1，在中，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、（1）求证：；（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、的中点，连接、求的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【j解析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可（2）的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，的比值转换为的比值即可求得.（3）过点作垂直于的延长线于点，将相关线段关系转化为CE，可得关系，观察图象，当时，可得最大值【详解】（1）证明：，, 垂直于射

35、线, 又,即： 又 （2）解：点P、M、N分别为线段、的中点， , 又 又 又又又（3）如下图：过点作垂直于的延长线于点, 又 当取得最大值时，取得最大值， 在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，当时，最大，【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键29如图，在等腰直角三角形中，边长为2的正方形的对角线交点与点重合，连接，（1）求证：；（2）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；（3）将正方形绕点旋转一周，当点、三点在同一直线上时，请直接写出的长【答案】（1）见详解；（2）；（3）-1或+1【j解析】（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角

36、形的性质得ACD=BCE，CD=CE，进而即可得到结论；（2）先求出DC=，AD=，再证明，进而即可求解；（3）分两种情况：当点D在线段AE上时，过点C作CMAE，当点E在线段AD上时，过点C作CMAD，分别求解，即可【详解】解：（1）在等腰直角三角形中， ，在正方形中，CD=CE，DCE=90，DCE-BCD=ACB-BCD，即：ACD=BCE，；（2）正方形的边长为2，DC=GC=2=，AD=，GDE=，ADM=CDE=45，ADM=CGM=45，即：ADCG，即：，AM=；（3）当点D在线段AE上时，过点C作CMAE，如图，正方形的边长为2，CM=DM=22=1，AM=，AD=AM-DM

37、=-1；当点E在线段AD上时，过点C作CMAD，如图，同理可得：CM=DM=22=1，AM=，AD=AM+DM=+1综上所述：AM=-1或+1【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及正方形的性质，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，画出图形，添加合适的辅助线，是解题的关键30（1）问题发现如图1，ABC与ADE都是等腰直角三角形，且BACDAE90，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G则线段BD和CE的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）类比探究如图2，在ABC和ADE中，ABCADE，ACBAED，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G若ABkAC，试判

38、断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标【答案】（1）BDCE，BDCE，理由见详解；（2）AB=kAC， 180-；（3）N(0，3)，OP的最小值为3【j解析】（1）先证明ABDACE，从而得BDCE，ABDACE，结合AGBFGC，即可得到结论；（2）先证明ABCADE，从而得，结合BAD=CAE，可得BADCAE，进而即可得到结论；（3）把OPM绕点M

39、顺时针旋转90得到 （与N重合），则，(3，3)，进而即可求解【详解】解：（1）BDCE，BDCE，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABAC，ADAE，BACDAE90，BADBACDAC，CAEDAEDACBADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE，BDCE，ABDACE，AGBFGC，CFGBAG90，即BDCE，故答案是：BDCE，BDCE；（2）ABCADE，ACBAED，ABCADE，ABCADE，ACBAED，BAC=DAE，BAD=CAE，BADCAE，ABD=ACE，又AGBFGC，BFC=BAC=180-ABC-ACB=180-，AB=kAC，直线BD和CE相交所成的较

40、小角的度数为：180-；（3）由题意得：MN=MP，NMP=90，把OPM绕点M顺时针旋转90得到 （与N重合），则，点M的坐标为（3，0），(3，3)OPM，即线段OP长度最小时，的长度最小，当y轴时，的长度最小，此时(0，3)，N(0，3)，OP的最小值为3 .【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键31（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，求证：；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探

41、究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，求的长【答案】（1）见解析；（2）；见解析；（3）【j解析】（1）先ABEDAQ，可得AEDQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；（2）如图2中，作GMAB于M然后证明ABEGMF即可解决问题；（3）如图3中，作PMBC交BC的延长线于M利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题【详解】（1）如图（1），四边形ABCD是正方形，ABDA，ABE90DAQQAO+OAD90AEDQ，ADO+OAD90QAOADOABEDAQ（ASA），AEDQ四边形ABCD是正方形，AEDQ，AEGF，DGQF，DQGF

42、，四边形DQFG是平行四边形，DQ=GF，FG=AE；（2）理由：如图（2）中，作GMAB于MAEGF，AOFGMFABE90，BAE+AFO90，AFO+FGM90，BAEFGM，ABEGMF，GF：AEGM：AB，AMGDDAM90，四边形AMGD是矩形，GMAD，GF：AEAD：AB，四边形ABCD是矩形，BCAD，GF：AEBC：AB，（3）解：如图（3）中，作PMBC交BC的延长线于M由BE：BF3：4 ，设BE3k，BF4k，则EFAF5k，AE，在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得，k1或1（舍去），BE3，AB9，BC：AB2：3，BC6，BECE3，ADPEBC6，EBFFEPPME90，FEB+PEM90，PEM+EPM90，FEBEPM，FBEEMP，EM ，PM ，CMEMEC3，PC=【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键