26-计数原理-五年（2018-2022）高考数学真题按知识点分类汇编.docx

1、五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编26-计数原理（含解析）一、单选题1（2022全国统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）ABCD2（2022全国统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A12种B24种C36种D48种3（2022北京统考高考真题）若，则（）A40B41CD4（2021全国统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60种

2、B120种C240种D480种5（2021全国统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）ABCD6（2021全国高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A0.3B0.5C0.6D0.87（2020全国统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（）A5B10C15D208（2020海南统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A120种B90种C60种D30种9（2020全国统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，a12.设

3、1ijk12若kj=3且ji=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若kj=4且ji=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A5B8C10D1510（2020海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A2种B3种C6种D8种11（2020北京统考高考真题）在的展开式中，的系数为（）AB5CD1012（2020山东统考高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（）ABCD13（2020山东统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意

4、一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）ABCD14（2020山东统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A12B120C1440D1728015（2019全国高考真题）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是ABCD16（2019全国高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是ABCD17（2019全国统考高考真题）（1+2x2 ）（1+x）4的展开

5、式中x3的系数为A12B16C20D2418（2018全国高考真题）的展开式中的系数为A10B20C40D80二、填空题19（2022全国统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_20（2022全国统考高考真题）的展开式中的系数为_（用数字作答）21（2022全国统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_22（2022浙江统考高考真题）已知多项式，则_，_23（2022天津统考高考真题）的展开式中的常数项为_.24（2021天津统考高考真题）在的展开式中，的系数是_25（2021北京统考高考真题）在的展开式中，常数项

6、为_26（2020全国统考高考真题）的展开式中常数项是_（用数字作答）27（2020全国统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种.28（2020天津统考高考真题）在的展开式中，的系数是_29（2018全国高考真题）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）30（2019天津高考真题）展开式中的常数项为_.31（2018浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)32（2

7、018浙江高考真题）二项式的展开式的常数项是_33（2018天津高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_三、解答题34（2019江苏高考真题）设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.四、双空题35（2021浙江统考高考真题）已知多项式，则_，_.36（2020浙江统考高考真题）设，则_；_37（2019浙江高考真题）在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_.参考答案：1D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率.故选：D.2B【分析】利用捆绑

8、法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B3B【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.4C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志

9、愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.5C【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.6C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相

10、邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.7C【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.8C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

11、最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.9C【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足从开始，利用列举法即可解出【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：；原位小三和弦满足：；故个数之和为10故选：C【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题10C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法所以，不同的安排方法共有种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.11C

12、【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项12A【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.【详解】第项的二项式系数为，故选：A.13B【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中

13、的任意一间听课，共有种方法，其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.故选：B14C【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.所以共有种不同安排方法.故选：C15A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有

14、，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题16D【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是故选D【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养采取等同法，利用等价转化的思想解题17A【分析】本题利用二项展开式通

15、项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得x3的系数为，故选A【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数18C【详解】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题19#0.3【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二

16、：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：20-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-2821.【分析】根据古典概型的概率公式即可求出【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率故答案为：22 【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案【详解】含的项为：，故；令，即，令，即，故答案为：；23【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.【详解】由题意的展开式的通项

17、为，令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.24160【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为：160.25【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令的指数为零，求解并计算得到答案.【详解】的展开式的通项 令，解得，故常数项为故答案为：.26【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项

18、公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.27【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2810【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得

19、所以的系数为故答案为：【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题29【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.【详解】方法一：反面考虑没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种故答案为：.方法二：正面考虑若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种故答案为：.【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对

20、于正面分类较多的问题是不错的方法；方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出30【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项【详解】，由，得，所以的常数项为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的311260.【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(

21、4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.327【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.33.【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.【详解】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为

22、：.【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解34（1）；（2）-32.【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式

23、，最后结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，解得（2）由（1）知，解法一：因为，所以，从而解法二：因为，所以因此【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.35 ; .【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【详解】， ，所以，所以.故答案为：.36 【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.【详解】的通项为，令，则，故；.故答案为：；.【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.37 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.【详解】的通项为可得常数项为，因系数为有理数，有共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.