4、微专题：对诱导公式的理解与灵活应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：对诱导公式的理解与灵活应用由于，在直角坐标系中，任意角的三角比只与角的终边有关；所以，结合任意角的三角比的定义或单位圆中的三角函数线，可以知道：角的终边与角的终边相同；终边与角的终边关于轴对称，终边与角的终边关于轴对称；的终边与角的终边关于轴对称；所以，它们的三角比之间存在联系；记忆口诀：函数名不变，符号看象限；【注意】在“符号看象限”时，始终遵循把看成锐角； 终边与角的终边关于直线轴对称，或者终边与角的终边垂直（可以结合相似三角形）；终边与角的终边终边与角的终边关于轴对称存在联系；所以，它们的三角比之间存在联系；记忆口诀：函数名改变，符号看象限；【注意】在“符号看象限”时，

2、始终遵循把看成锐角； 概括而言：诱导公式的记忆前提：的各三角比；条件：当为偶数时，得到角的同名三角比，当为奇数时，得到角的余名三角函数值，然后特别需要注意，在前面加上把看成锐角时原三角比的符号；结论：奇变偶不表、符号看象限；【注意】1、诱导公式是等式；2、三角比与符号的判别是看角“”；3、符号的判别时始终把看成锐角；【典例】题型1、给角求值问题例1、求值：（1）；（2）；（3）；【提示】【答案】【解析】（1）方法1、方法2、（2）方法1、方法2、方法3、参照（1）【说明】由于三角一切都是由“角”引起的，遇角若满足注意与诱导公式的关联；题型2、利用诱导公式化简与求值例2、（1）化简：；（2）已知

3、函数，则_.【提示】【答案】【解析】【说明】题型3、给值(式)求值问题例3、当时，若，则的值为（ ）A B C D题型4、利用诱导公式证明三角恒等式例4、（1）求证：；（2）设，求证：；题型5、与诱导公式相关的“新定义”题例5、定义：角与都是任意角，若满足 ，则称与 “广义互余”；已知，下列角中：；可能与角“广义互余”的有（ ）A B C D【归纳】1、诱导公式的记忆方法：口诀记忆法：奇变偶不变，符号看象限；【说明】“奇变偶不变，符号看象限”精析：（1）适用范围：（即角中必须出现的整数倍才能使用诱导公式）；（2）变偶不变（使用诱导公式时先判断是否需要变函数名）奇：指是奇数（也即的系数是奇数）如

4、 变：指的是函数名发生改变，；偶：指是偶数（也即的系数是偶数）如，不变：函数名不发生变化；（3）三角比在各个象限的符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”（4）各个角所在的象限（无论具体是什么角，都将其视为锐角） 例：sin（360120）sin120，sin（270120）cos120（5）确定符号：判断符号时看原函数名，而非变化之后的函数名；图象记忆法在图中，能够直观地看到各形式的角应处的象限，确定符号很方便，很准确学生有了这个图，诱导公式计算化简问题的准确率大大地提高了；【即时练习】1、若，则（ ）A B C D2、已知，其中，则=（ ）A4 B3 C5 D53、若，那么的值为 （

5、）.4、已知，则的值为_5、已知，则的值为_6、若是三角形的一个内角，且，则 7、集合，则，的关系是 8、对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”；若为函数关于的一个“生长点”，则_.9、求证：。10、化简：（1）；（2）；（3）.【教师版】微专题：对诱导公式的理解与灵活应用由于，在直角坐标系中，任意角的三角比只与角的终边有关；所以，结合任意角的三角比的定义或单位圆中的三角函数线，可以知道：角的终边与角的终边相同；终边与角的终边关于轴对称，终边与角的终边关于轴对称；的终边与角的终边关于轴对称；所以，它们的三角比之间存在联系；记忆口诀：函数名不变，符号看象限；【注意】在“符

6、号看象限”时，始终遵循把看成锐角； 终边与角的终边关于直线轴对称，或者终边与角的终边垂直（可以结合相似三角形）；终边与角的终边终边与角的终边关于轴对称存在联系；所以，它们的三角比之间存在联系；记忆口诀：函数名改变，符号看象限；【注意】在“符号看象限”时，始终遵循把看成锐角； 概括而言：诱导公式的记忆前提：的各三角比；条件：当为偶数时，得到角的同名三角比，当为奇数时，得到角的余名三角函数值，然后特别需要注意，在前面加上把看成锐角时原三角比的符号；结论：奇变偶不表、符号看象限；【注意】1、诱导公式是等式；2、三角比与符号的判别是看角“”；3、符号的判别时始终把看成锐角；【典例】题型1、给角求值问题

7、例1、求值：（1）；（2）；（3）；【提示】注意：角度间的关系，如：，等【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）方法1、；方法2、令，结合倒序法与诱导公式，得即，则；（2）方法1、；方法2、方法3、参照（1）（3）因为，所以；【说明】由于三角一切都是由“角”引起的，遇角若满足注意与诱导公式的关联；题型2、利用诱导公式化简与求值例2、（1）化简：；（2）已知函数，则_.【提示】（1）利用诱导公式化简；（2）注意诱导公式与函数求值题的交汇；观察的特点，探究得，再利用倒序相加法求解；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）原式；（2）因为；所以；则；故答案为：；【说明】通过本题说明对于任意角三角

8、比，利用诱导公式化简、求值的一般步骤：（1）“负化正”；（2）“大化小”；（3）“小化锐”；（4）“锐求值”；诱导公式的两个应用：（1）化简：统一角，统一名，同角名少为终了；（2）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；题型3、给值(式)求值问题例3、当时，若，则的值为（ ）A B C D【提示】注意：角度间联系是解答本题的关键；【答案】B；【解析】因为，所以，则，所以，；故选：B；【说明】解答本题关键是发现角度间的关系，以及先确定的取值范围，再由同角三角函数的平方关系求得的值，然后根据诱导公式；当然，也可以用“换元法”，令来理解；题型4、利用诱导公式证明三角恒等式例4、（1）求证：；（2）设，

9、求证：；【提示】注意：已知角的特点利用诱导公式化简；【证明】（1）左边= =右边，所以原等式成立；（2）方法1、左边= =右边，所以原等式成立；方法2、由，得，所以被证等式左边=右边，所以等式成立；【说明】通过本题说明：1、三角恒等式的证明一般有下列方法：（1）一端化简等于另一端；（2）两端同时化简使之等于同一个式子；（3）作恒等式两端的差式使之为0；2、证明条件等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法.证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要盯住要证的目标进

10、行变形；题型5、与诱导公式相关的“新定义”题例5、定义：角与都是任意角，若满足 ，则称与 “广义互余”；已知，下列角中：；可能与角“广义互余”的有（ ）A B C D【提示】理解“新定义”，注意：与诱导公式的关联；【答案】A；【解析】由，得，所以，故；由题意，所以，故满足；对于，由，得，不满足；对于，由，可得，则，不满足；故可能与角 “广义互余”的有；故选：A；【说明】本题就是以诱导公式为基础，给出“新定义”，并与同角三角比进行了交汇；【归纳】1、诱导公式的记忆方法：口诀记忆法：奇变偶不变，符号看象限；【说明】“奇变偶不变，符号看象限”精析：（1）适用范围：（即角中必须出现的整数倍才能使用诱导

11、公式）；（2）变偶不变（使用诱导公式时先判断是否需要变函数名）奇：指是奇数（也即的系数是奇数）如 变：指的是函数名发生改变，；偶：指是偶数（也即的系数是偶数）如，不变：函数名不发生变化；（3）三角比在各个象限的符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”（4）各个角所在的象限（无论具体是什么角，都将其视为锐角） 例：sin（360120）sin120，sin（270120）cos120（5）确定符号：判断符号时看原函数名，而非变化之后的函数名；图象记忆法在图中，能够直观地看到各形式的角应处的象限，确定符号很方便，很准确学生有了这个图，诱导公式计算化简问题的准确率大大地提高了；【即时练习】1、若

12、，则（ ）A B C D【提示】注意：；【答案】B【解析】由，得，所以，；2、已知，其中，则=（ ）A4 B3 C5 D5【提示】利用诱导公式可得，再由诱导公式求；【答案】C【解析】由已知，则；又由；故选：C3、若，那么的值为 （ ）.【答案】【解析】因为，所以，则；4、已知，则的值为_【解析】因为，所以故答案为：5、已知，则的值为_【答案】；【解析】原式.故答案为：6、若是三角形的一个内角，且，则 【提示】根据已知条件,求出，再利用诱导公式化简所求式子，即可得出结果.【答案】【详解】因为，又因为，所以，；7、集合，则，的关系是 【提示】根据诱导公式化简即可得答案；【答案】【解析】由于，所以，

13、因为，所以；8、对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”；若为函数关于的一个“生长点”，则_.【提示】由为函数关于的一个“生长点”，得到由诱导公式可得答案；【答案】【解析】因为为函数关于的一个“生长点”，所以， ，故答案为：；9、求证：。【分析】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证；【解析】左边=，右边=，所以，等式成立；10、化简：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式= =.（2）原式=（3）当时，原式=；当时，原式=.故原式=.【说明】化简三角函数式应注意以下三点：1、利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其化简思路是化异角为同角；2、注意与其他数学知识点点的联系，如，有时也把1换成；3、若题中含有或的参数时，一般需分偶数和奇数两种情况求解；