7.2离散型随机变量及其分布列（基础知识 基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）.docx

1、7.2离散型随机变量及其分布列 （基础知识+基本题型）知识点一随机变量1随机变量的定义选手每次射箭时，可能击中靶心，也可能击中靶心周围的区域，所以这是一个随机现象我们以前研究过许多随机现象，如掷骰子试验中向上的一面所得到的点数，福利彩票的开奖号码等，都是一些数字，都可以用一个变量来表示在掷硬币试验中，虽然结果不是数字，但我们可以确定一个对应关系，如正面向上对应1反面向上对应0，这样每一个试验结果都能用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，表示2随机变量与函数的区别与联系随机变量函数区别联系都是一

2、种映射，随机试验所有结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域提示（1）一般地，一个试验如果满足下列条件：试验可在相同的情形下重复进行；试验所有可能出现的结果是明确的，并且不止一个；每次试验的结果总是这些可能出现的结果的一个，但是在每一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果这种试验就是一个随机试验，简称试验（2）随机变量是将随机试验的结果数量化，有些随机试验的结果不具有数量性质，但我们仍可以用数量表示它们（3）对随机变量的所有可能取值都要明确，既不能重复也不能遗漏，随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件，如“掷一枚骰子”这一随机试验中向上的面所得点数是一随机变量

3、，随机变量“”即对应随机事件：“掷一枚骰子，向上的面的点数为2”知识点二离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量拓展（1）若随机变量X的所有可能取值不能一一列出，则X不是离散型随机变量，例如，在随机试验“在区间0，1中任取一个数X”中，X的可能取值就不能一一列出，故X不是离散型随机变量，但如果那么是一个离散型随机变量（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系区别：对于离散型随机变量而言，它所有可能的取值为有限个或者可以将它所有的取值按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，无法把其中的值一一列举出来联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用来刻画

4、随机试验所出现的结果的（3）教材中所涉及的离散型随机变量只取有限个不同的值知识点三 离散型随机变量的分布列1离散型随机变量分布列的定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为，X取每一个值（）的概率，以表格的形式表示如下：XP这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，得称为X的分布列，有时为了简单起见，也用等式表示X的分布列（1）离散型随机变量X的分布列的意义离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律（2）离散型随机变量的分布列的表示方法表格法：表格的形式，如定义中的表格解析式法：图象

5、法：如在掷骰子的试验中，掷出的点数X的分布列可以用图象表示，如图21-1提示：（1）离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础（2）在求离散型随机变量的分布列时，明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键（3）随机变量X取每一个值的概率等于其相应随机事件发生的概率（4）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和2离散型随机变量的分布列的性质（1） （2）提示（1）是由概率的非负性决定的（2）是因为一次试验的各种结果是互斥的，而全部结果之

6、和为一个必然事件（3）分布列性质的主要应用：利用分布列的性质可以验证某个数列是否可以成为离散型随机变量的分布列，也可以确定离散型随机变量的分布列中未知的概率数值或参数的值知识点四 两点分布若随机变量的分布列如下表所示01则称服从两点分布，并称为成功概率拓展（1）如果一个随机试验只有两个可能的结果，就可以用两点分布来研究它，为此，只要定义一个随机变量，使其中一个结果对应1，称该结果为“成功”；另一个结果对应0，称该结果为“失败”，这样得到了描述该随机试验的服从两点分布的随机变量 （2）两点分布又称分布或伯努利分布 （3）服从两点分布的随机变量的取值是0或1，且 （4）在有多个结果的随机试验中，如

7、果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它例如，在掷骰子试验中，有6个可能的结果，如果我们只关心出现的点数是否大于4，那么可以通过随机变量来研究“出现的点数大于4”与“出现的点数不超过4”的概率也就是说，两点分布不仅可以用来研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，而且可以用来研究某一随机事件是否发生的概率分布规律考点一 随机变量的概念例1 已知10件产品中有3件次品，从这10件产品中任取2件，可以作为随机变量的是 （ ）A取到产品的件数 B 取到正品的概率C取到次品的件数 D 取到次品的概率解析：从10件商品中任取2件，取到产品的件数为2，是一个确定的数，故不是随机变量；取

8、到正品的概率,是一个确定的数,故不是随机变量；取到次品的件数可能是0，1，2,是一个随机变量;取到次品的概率,也是一个确定的数,故不是随机变量;故选C答案：C总结：随机变量是用来表示不同实验结果的量，是试验结果和数量之间的对应关系产生的，随机变量每取一个确定的值对应着试验不同结果考点二 离散型随机变量的取值及表示结果例2 写出下列随机变量可能取的值并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)袋中装有2个白球和5个黑球，从中任意取3个球，其中所含白球的个数；(2)从4张已编号（14号）卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号之和解：（1）可取0，1，2，表示取出的3个球中有个白球，个黑球，其中（

9、2）可取3，4，5，6，7其中，表示取出的编号为1，2的两张卡片，表示取出的编号为1，3的两张卡片，表示取出的编号为1，4或2，3的两张卡片，表示取出的编号为2，4的两张卡片，表示取出的编号为3，4的两张卡片总结：解决有关随机变量问题的步骤：（1）确定随机变量的所有可能取值；（2）说明随机变量取值所表示的随机试验的结果；（3）检验，当随机变量的某个值，表示的试验结果有多个时，应综合考虑，不能遗漏某个试验结果考点三 离散型随机变量的分布列的性质的应用例3 设随机变量的常列（1）求常数的值；（2）求；（3）求解：（1）随机变量X的分布列用表格形式表示为XP由得即（2）方法1：=方法2：=（3）方法

10、1：=方法2：=（1）离散型随机变量分布列的作用；可以看出随机变量的取值规律：可以求出随机变量在某个范围内取值的概率（2）随机变量在某个范围内的概率的求法：确定随机变量在该范围内的取值；利用概率的加法公式求解（依据随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥）考点四 随机变量的简单应用例4 口袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机抽取3个球，用X表示取出的最大号码，求的分布列解：随机变量X的可能取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为事件“”包含的基本件数总数为（取出三个球的号码为1，2，3），事件“” 包含的基本件数总数为（取出3个球恰含有4

11、号球和1，2，3号球中的任意2个），事件“” 包含的基本件数总数为（取出3个球恰含有5号球和1，2，3，4号球中的任意2个），事件“” 包含的基本件数总数为（取出3个球恰含有6号球和1，2，3，4，5号球中的任意2个）所以 ，因为随机变量X的分布列为X3456P求离散型随机变量的分布列（1）关键：求出随机变量取每一个可能值时所对应的概率（2）步骤：确定随机变量的可能取值 求随机变量取每一个可能值时的概率； 列出分布列 检验分布列(用分布列的性质)考点五 求离散型随机变量的分布列例5 已知随机变量的分布列为-2-10123（1）求的分布列（2）求的分布列解：（1）与的值对应情况如下表-2-101

12、23-11由的分布列，知的分布列为 -1-01P(2)与的值对应情况如下表 -2-10123410149由的分布列，知 所以的分布列为 0149P已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列时，首先求出取每一个值时的对应值，若的取值无重复，则利用的分布列直接写出的分布列即可；若的取值有重复（如本例（2），则需要先把取值相同的值所对应的事件的概率相加再列出分布列考点六 两点分布的应用例1 一个袋中有质地、形状、大小完全相同的3个白球和4个红球（1）从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即，求的分布列；（2）从中任意摸出2个球，用“”表示2个球全是白球，“”表示2个球不全是白球，求的分布列解：（1）由题意，知，所以的分布列为01（2）由题意，知 所以的分布列为01总结：两点分布的几个特点：（1）两点分布中只有两个对应结果，且这两个结果是对立的；（2）两点分布中的两个结果一个对应1，另一个对应0；（3）由对立事件的概率公式可知，已知便可求出