7.5正态分布 教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.docx

1、第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布一、教学目标1、正确认知正态分布2、掌握利用正态分布解决一些问题的方法二、教学重点、难点重点：正确认知正态分布难点：正确利用正态分布解决一些问题三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【情景】 高尔顿板与正态分布【关于正态分布的视频欣赏】 正态分布【问题】正态分布究竟是什么？【阅读研讨】反复研读课本，同桌或小组交流记忆相关结论（用时约4-5分钟）（二）阅读精要，研讨新知【情景】 随机变量(randomvariab

2、le)离散型随机变量连续型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量(discreterandomvariable).取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0的随机变量，称为连续型随机变量（continuous random variable）【问题】自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量)，用表示这种误差，则是一个连续型随机变量，检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差(单位:g)的观测值如下:-0.6-1.1-0.73.

3、3-2.9-5.21.40.44.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-

4、0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9（1）如何描述这100个样本误差数据的分布?（2）如何构建适当的概率模型刻画误差的分布?【解读】通过数据分析，画出频率分布直方图，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示.随着样本数据量越来越大，分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示.由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数.在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式：，其中为参数.【图象特征】显然，对任意的,它的图象在轴的上方.可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称为正态密度函

5、数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布(normal distribution),也称为高斯分布. 记为.特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布.【解读】若，则如图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积.正态曲线及其特点（1）曲线是单峰的，它关于直线对称（2）曲线在处达到峰值（3）当无限增大时，曲线无限接近轴正态曲线中的参数关系函数的图象可由的图象平移得到.因此，在参数取定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿轴平移.当取定值时，正态曲线的峰值与成反比，对任意的，正态曲线与轴之间的区域的面积总为1.

6、当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中；当较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散.【发现】若，则【例题研讨】阅读领悟课本例题（用时约为1-2分钟，教师作出准确的评析.）例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min. 样本方差为36；骑自行车平均用时34min. 样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布.（1）估计的分布中的参数;（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出和的分布密度曲线；（3）如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工

7、具?如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具?请说明理由.解：（1）随机变量的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量的样本均值为34，样本标准差为2.用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到（2）和的分布密度曲线如图7.5-7所示. （3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具由图7.5-7可知，所以，如果有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.【发现】3原则0.682 70.954 50.997 3在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，统计学中称之为3原则.

8、【发现与困惑】上述表格中的标红的数字，与以前的课本有所误差，唉考试题中的答案，不可避免的要出现纠纷了.【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1（多选）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是()A BC对任意正数， D对任意正数，解：由图象知，所以，故A错；因为，所以，故B错；对任意正数，故C错；对任意正数，是正确的，故选ABC.2已知某批零件的长度误差 (单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为() (附：若随机变量服从正态分布，则0.682 6，0.954 4)A0.045

9、6 B0.135 9 C0.271 8 D0.317 4 解：由正态分布的概率公式知0.682 6，0.954 4，所以(0.954 40.682 6)0.135 9，故选B.3. 2010年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况；共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量服从正态分布，已知耗油量的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有_辆解：由题意可知,故正态密度曲线以为对称轴，又所以所以耗油量大于9升的汽车大约有 辆答

10、案：1804. 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方图:（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 (同一组数据用该区间的中点值作代表);（2）由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差(i)利用该正态分布,求;(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间(1878,2122)的产品件数,利用(i)的结果,求附: 若,则，.解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 （2）()由(1)知,从而()由()知,一件产品中质量指

11、标值为于区间的概率为0.6826 依题意知,所以（四）归纳小结，回顾重点正态分布(normal distribution) 正态曲线高斯分布. 记为.，其中为参数.称为正态密度函数.轴和曲线之间的区域的面积为1.特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布.正态曲线及其特点（1）曲线是单峰的，它关于直线对称（2）曲线在处达到峰值（3）当无限增大时，曲线无限接近轴3原则0.682 70.954 50.997 3在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，统计学中称之为3原则.（五）作业布置，精炼双基1. 完成课本习题7.5 1、2、3、42. 阅读课本概率分布图及概率计算3. 阅读小结，完成复习参考题7五、教学反思：（课后补充，教学相长）