[31535871]2022届高考数学一轮复习讲义微专题9：高斯函数f(x)=[x]的定义、性质及其应用（1）（学生版 教师版）.docx

1、【学生版】微专题：高斯函数f(x)=x的定义、性质及其应用（1）不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，称为x的小数部分，记作；例如，；这一规定最早为大数学家高斯所使用，故函数称为高斯函数；又称取整函数。由、的定义不难得到高斯函数的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为；对任意实数，都有；对任意实数，都有；一、高斯函数图像与基本性质例1、试研究与画出函数以及的图像，并指出他们的定义域、值域、单调性、最值、奇偶性、周期性.【解析】例2、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数；例如：，下

2、列命题正确的是 ； ；【提示】【答案】【解析】；【说明】；【练习】1、高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数()，则函数的值域为（ ）ABCD2、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，函数，则下列命题中真命题的个数是（ ）图象关于对称；是奇函数；在上是增函数；的值域是.ABCD3、对于任意的，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则

3、下列结论中正确的是 对于任意的，； ，的图像关于原点对称函数，y的取值范围为 对于任意的，恒成立4、高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则下列说法正确的有 是偶函数；的值域是；是奇函数；在上是增函数【教师版】微专题：高斯函数f(x)=x的定义、性质及其应用（1）不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，称为x的小数部分，记作；例如，；这一规定最早为大数学家高斯所使用，故函数称为高斯函数；又称取整函数。由、的定义不难得到高斯函数的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为；对任

4、意实数，都有；对任意实数，都有；一、高斯函数图像与基本性质例1、试研究与画出函数以及的图像，并指出他们的定义域、值域、单调性、最值、奇偶性、周期性.【解析】由题意，得的定义域为R，值域为Z； 的定义域为R，值域为； 单调性：如图 没有单调性；是非减函数，即若则；最 值：无最值； 最小值为0；奇偶性：无奇偶性； 无奇偶性；周期性：无周期性； 如图，是以1为周期的周期函数；例2、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数；例如：，下列命题正确的是 ； ；【提示】令，可判定A、B不正确；设，其中为的整数

5、部分，为小数部分，结合“高斯函数”，可判定、正确；【答案】、；【解析】对于中，例如，所以不正确；对于中，例如，所以不正确；设，其中为的整数部分，为小数部分，即，对于中，所以是正确的；对于中，若，可得，；若，可得，所以是正确的；故选：、；【说明】对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解；【练习】1、高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数()，则函数的值域为（ ）ABCD【答案】B；【分析】先利用换元思想求出函数的值域，再分类讨

6、论，根据新定义求得函数的值域【解析】()，令，可得，在上递减，在上递增，时，有最小值，又因为，所以当时，即函数的值域为，时，；时，；时，；的值域是；故选：B；【说明】新定义是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.2、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示

7、不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，函数，则下列命题中真命题的个数是（ ）图象关于对称；是奇函数；在上是增函数；的值域是.ABCD【答案】B【分析】利用特殊值法可判断的正误；利用函数奇偶性的定义可判断的正误；利用函数单调性的定义可判断的正误；求出函数的值域，可求得函数的值域，可判断的正误.综合可得出结论.【解析】根据题意知，所以，函数既不是奇函数也不是偶函数，不关于纵轴对称，错误；函数的定义域为，所以，函数是奇函数，正确；任取，则，所以， 函数在上是增函数，正确；，则，即，的值域为，错误故选：B【说明】本题考查函数的新定义，考查了取整函数的应用，同时也考查了函数单调性与奇偶性的

8、判断，考查推理能力，属于中等题。3、对于任意的，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论中正确的是 对于任意的，； ，的图像关于原点对称函数，y的取值范围为 对于任意的，恒成立【答案】，；【分析】根据定义得到，再结合不等式的性质，依次判断选项即可.【解析】对选项，有定义知：，所以，故正确；对选项，当时，当时，所以，不是奇函数，故错误；对选项，因为，所以，所以的值域为；故正确.对选项，对于任意的，所以，则，故正确；故选：，；【说明】本题主要考查函数的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题；4、高斯（Gauss）是

9、德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则下列说法正确的有 是偶函数；的值域是；是奇函数；在上是增函数【答案】，；【分析】根据知错误；利用分式值域的求法可求得，进而根据高斯函数定义可知的值域，知正确；化简得到知正确；根据单调性的性质可推导得到正确；【解析】对于，不是偶函数，错误；对于，当时，当时，的值域是，正确；对于，为奇函数，正确；对于，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即在上是增函数，正确.故选：，；【说明】本题考查函数新定义的问题，解题关键是明确本题以新定义函数为载体，考查函数值域、单调性和奇偶性的知识。