【课后延时】小学数学专项《应用题》经典方阵问题基本知识-3星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-3星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率方阵问题基本知识B1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别2.掌握空心方阵和实心方阵的变化规律少考知识提要方阵问题基本知识 概述在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。 实心方阵的特点总人（或物）数=每边人（或物）数 每边人（或物）数 空心方阵的特点总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数 - 层数） 层数 4 奇数层：总人数=中间层总数 层数偶数层：总人

2、数=（外层 + 内层） 层数 2 若最外层每边有 a 人，内部虚方阵每边有 b 人，则空心方阵共有 (a2-b2) 人。 变化规律相邻两边之间相差 2；相邻两层之间相差 8；每层人（或物）数=每边人（或物）数 4-4 =每边人（或物）数 -1 4 精选例题方阵问题基本知识 1. 一个正方形方阵，其中的 4 行 5 列的人数总和为 250 人，那么如果将这个方阵去掉一行一列还剩 人【答案】841【分析】4 行 5 列，包括重复计算的：25020270 人，每行：270930 人，所以还剩：3030-30-301841 人 2. 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余 12 名同学，如果

3、把这个正方形扩大，纵横每排各增加一人，则缺少 9 人 【答案】112【分析】增加的一行一列有 12+9=21(人)，那么原来排成的正方形的每条边上有 (21-1)2=10(人)，东风小学仪仗队有学生 1010+12=112(人) 3. 有大小相同的正方形白石和黑石各 n 个首先，将黑石不留空隙地摆成一个正方形，然后在其外围摆一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外围摆一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外围再摆一圈，正好将所有石子用完（如下图所示）那么 2n= 【答案】144 个【分析】如上图所示，记最外层的一圈白石为 a 个，它里面的一圈黑石为 b 个，再里边的一圈白石为 c 个，最中间的黑石组成的

4、正方形再分成外面一圈 (d个) 和里面的正方形 (e个) 两部分注意到 a-b=b-c=c-d=8，所以 c=d+8,b=d+16,a=d+24因为 黑石的总数=白石的总数，所以 b+d+e=a+c,d+16+d+e=d+8+d+24,e=32-16=44最大的正方形的每一边有 4+42=12（个）石子，所以石子的总数为 1212=144（个） 4. 运动会上，五年级学生排成一个方队（横竖行人数相等），已知最外层为 60 人，这个方队共有 人【答案】256【分析】最外层每边有 604+1=16(人)，共有 1616=256(人) 5. 小朋友们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时

5、无论是从前往后或者从后往前数他都排在第 5 个，无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第 6 个，则这个方阵中一共有 位小朋友【答案】99【分析】小明前后各有 5-1=4(人)，那么每列就有 4+1+4=9(人)；小明左右有 6-1=5(人)，那么每行就有 5+1+5=11(人)，这个方阵共有 911=99(位) 小朋友 6. 一个实心方阵，最外一层每边 18 人，（1）那么整个方阵一共 人；（2）最外面一层有 人；（3）从外向内数，第 2 层每边有 人，一共有 人；（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有 人【答案】324；68；16，60；180【分析】（1）182=324；（2）174=

6、68 或 184-4=68；（3）18-2=16；154=60 或 68-8=60；（4）603=180 7. 有 196 枚围棋子，摆成一个 1414 的正方形甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了 枚棋子【答案】28【分析】196 枚围棋子围成的方阵，最外层棋子数为 144-4=52，相邻两层棋子数相差 8，从外向内每一层棋子数为：52、44、36、28、20、12、4所以甲取走了 52+36+20+4=112(枚) 棋子，乙取走了 44+28+12=84(枚) 棋子，甲比乙多取了 112-84=28(枚) 棋子 8. 五年级学生分成两队参加学校广播操比

7、赛，他们排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于 8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多 4 人，甲方阵的人数正好可以填满丙方阵的空心，那么，五年级参加广播操比赛的一共有 人【答案】260【分析】根据题意，乙方阵加上两个甲方阵的人数 128 人可以构成实心的丙方阵，且丙方阵每边人数比乙方阵多 4 人，所以由 b+42-b2=128，得到：4(2b+4)=128，所以 b14，因此乙方阵每边人数 14 人，五年级一共有 1414+88=260（人） 9. 有一些人组成 2 个正方形方阵，2 个正方形方阵之间相差 97 个人，那么这 2 个正方形方阵

8、一共有 人【答案】4705【分析】假设 A 方阵有 a 人，B 方阵有 b 人，那么应该有 b2-a2=97，因此 (b-a)(b+a)=97，4949+4848=470510. 小虎在 1919 的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵然后再加上 45 枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵那么小虎最多用了 枚棋子【答案】285【分析】45=335，它小于 19 的最大约数为 15，所以不变的边长应为 15，另一边最长为 19，所以小虎最多用了 1519=285（枚）棋子11. 一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加 13 人这个长方形队列原来最少有 人【答

9、案】11【分析】增加一横行和一竖行，就要增加 13 人，那么原方阵的长与宽的和为 13-1=12，所以人数最少时，12=1+11，有 111=11(人)12. 如图所示，用 10 枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边 4 枚棋子；用 9 枚棋子可以摆成一个正方形点阵，每边 3 枚棋子今有一堆棋子，棋子总数小于 100，用这堆棋子既可以摆出一个正三角形点阵，也可以摆出一个正方形点阵，问这堆棋子共有多少枚？【答案】36【分析】100 以内的平方数，只有62=36=1+2+3+4+5+6+7+8所以 36 既可以组成边长为 6 的方阵，也能组成边长为 8 的正三角形点阵13. 有大小一样，张数相同的

10、黑白两种颜色的正方形纸片小高用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后有用白色纸片拼下去，这样重复拼当小高用黑色纸片拼过 5 次以后，黑、白纸片正好用完请问：黑色纸片至少有多少张？【答案】350 张【分析】不妨设每张小纸片的边长为 1从外往内，每次同时“剥开”一层黑纸片和一层白纸片，剥了 5 次之后，就只剩下中心的一个由白纸片组成的长方形每次“剥开”的过程，黑纸片比白纸片多 8 张由于一共有 5 层黑纸片，所以一共可以剥除 5 次，所有被剥除 的黑纸片比所有被刹除的白纸片多 40 张，而总共的黑白纸片数量相同，所有最后剩余的只有白纸片构

11、成的长方形中有 40 张白纸片这个长方形的长和宽都是整数，它的长与宽的所有可能是：401、202、104、85由于全部纸片铺成的大长方形的长和宽比被“剥除”五次之后剩下的长方形的长和宽都大 20，所以大长方形的面积可以是 6021=1260、4022=880、3024=720、2825=700，其中最小的面积是 700而黑纸片的张数是这个面积的一半，所以最少有黑纸片 350 张14. 120 个棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有多少棋子？【答案】13 个【分析】中间层总数为 1203=40（人），则每边有 404+1=11（人），所以最外层每边有 11+2=13（人）15. 在一次运动会开

12、幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个 10 行 10 列的方阵，求较小方阵有多少人？【答案】36【分析】10 行 10 列的方阵由 100 人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过 10 人，大方阵人数应该在 50100 之间，可取 64 或 81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有 64 人，小方阵有 36 人16. 刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了 6 棵树苗；后来又运来了 34 棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？【答案】11 或 7【分析】若增加了 1 层，则现在最外层共有 40 棵树，所以最外层每边共有：40+

13、44=11；若增加了2层，则 40=16+24，此时最外层有：24+44=7（棵）树17. 某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有 20 个学生，问这个空心方阵最内层共有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？【答案】52；256【分析】20-2-2-214（人）；144-456-452（人）；14-2=12（人），202-122=400-144=256（人）所以这个空心方阵最内层共有 52 个学生，这个四层空心方阵共有 256 个学生18. 在一个实心学生方阵中加入 13 人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(1

14、31)26（人），所以原来的方阵有 6636（人）19. 在一个实心学生方阵中加入若干人，原来的方阵变成一个多一行，多一列的方阵；若原来的方阵减少 13 人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，问后来加入的学生有多少人？【答案】15【分析】(13+1)27（人），72115（人），所以后来加入的学生有 15 人20. 一队战士排成一个三层空心方阵多出 16 人，如果在空心部分再增加一层又缺 28 人，这队战士共有多少人？【答案】196【分析】16+28=44（人），所以空心部分新增一层每边有 444+1=12（人），所以最外层每边有 12+23=18（人），所以排好的三层共 182-1

15、22=324-144=180（人），因此这队战士共 180+16=196（人）21. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共 256 块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白色，第三层是黑色这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？【答案】144【分析】256=1616，所以最外层每边 16 块，从外往里共有 8 层，所以黑的共有：60+44+28+12=144 块22. 在一个实心学生方阵中减少 11 人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(11+1)26（人），所以原来的方阵有 6636（人）23. 一个实心体操方阵，最外层有 32

16、人这个体操方阵有多少人？【答案】81【分析】最外层每边人数：(324)43649（人）；9981（人）；答：这个体操方阵有 81 人24. 共有 200 人排成一个 5 层空心方阵，这个方针最外面一层每边多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？【答案】15；31【分析】中间层共有：2005=40 人，所以最外层共有：40+82=56 人，每边有 564+1=15 人；增加一行一列需要：1616-1515=31 人25. 一个实心方阵，最外面一层共有 44 人，请问：（1）这个方阵共有多少人？（2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？【答案】（1）144；（2）23【

17、分析】（1）“最外一层共有 44 人”，说明最外层每边有：444+1=12 人，所以，这个方阵是一个 1212 的方阵，共有 1212=144 人（2）减少一行一列，也就是变成一个 1111 的方阵，需要减少 144-1111=23 人26. 某学校三年级同学 180 人，排成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【答案】18【分析】中间层总数为 180360（人），则每边有 604+1=16（人），所以最外层每边有 16+2=18（人）27. 如图所示，小刚在用棋子摆好的实心方阵上又填了 17 枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来的实心方阵有多少枚棋子？【答案】6

18、4【分析】填上 17 枚棋子，正好可以增加一排一列，此时每条边有(17-1)2+1=9(枚)那么原来的方阵每条边有91-1=8(枚)原来实心方阵的总棋子数：88=64(枚)28. 小明用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又用 28 枚棋子摆成了另外一个单层的空心方阵，摆完后他发现两个方阵正好可以拼在一起，组成一个新的三层空心方阵，那么他原来用了多少枚棋子？【答案】32 或 80【分析】如果单层空心方阵放在双层空心方阵的里面，那么原有棋子 (288)(2888)80 枚；如果单层空心方阵放在双层空心方阵的外面，那么原有棋子 (28-8)(28-8-8)32 枚；所以原来用了 80 枚棋子或

19、 32 枚棋子29. 同学们用 64 盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？【答案】44【分析】对于两层方阵，外层比内层多 8 盆，两层共 64 盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是 (64+8)2=36（盆），从而得出需增加的盆数，36+8=44（盆）30. 一个实心方阵，最外面一层共有 36 人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少人？【答案】21 人【分析】最外层 36 人，每边 364+1=10 人，增加一行一列需要 1111-1010=21 人31. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有 12 人，共有多少层？14 层一共有多

20、少人？【答案】6；64【分析】1226（层），248（人），8864（人），所以共有 6 层，14 层一共有 64 人32. 一个实心体操方阵，最外层有 72 人这个体操方阵有多少人？【答案】361【分析】最外层每边人数：(724)476419（人）；1919361（人）；答：这个体操方阵有 361 人33. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似从外向内一共 8 层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学已知参加表演的六年级同学有 126 名，那么：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？

21、（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？（最里层可站 1 个人）【答案】（1）66 人；（2）360 人；（3）37 人【分析】（1）六边形阵列中，相邻两层相差 6 人，所以最外层共有：(126+6)=66 人（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360 人（3）还需要：18+12+6+1=37 人34. 士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为 80 人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有多少士兵？【答案】21；441 人【分析】804121（人）；2121441（人）答：方阵外层每边有 21 人，这个方阵共有 441 士兵35. 用 64

22、 枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？【答案】44【分析】方阵相邻两层棋子数差为 8，又知两层棋子数和为 64，由和差问题，外层有(64+8)2=36(枚)如果再增加一层，需要增加36+8=44(枚)36. 晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，如图所示，外层每边有 14 个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？【答案】96【分析】方阵每向里面一层，每边的个数就减少 2 个知道最外面一层每边放 14 个棋子，就可以求出第二层每边的个数知道各层每边的个数，就可以求出总数(14-1)4=52(个)(14-2-1)4=44(个)52+44=96(个)

23、一共用了 96 个棋子37. 同学们参加了广播操比赛，排成每行 9 人，每列 9 人的实心方阵，问方阵中共有多少学生？【答案】81【分析】可以根据“实心方阵总人数=每边人数每边人数”得到 9 行 9 列的实心方阵人数为：99=81(人)38. 有一个 6 层的空心方阵，最外层每边 25 人，问要多少学生才能排出这个空心方阵？【答案】456 人【分析】(25-6)641924456（个），答：要 456 个学生才能排出这个空心方阵39. 若干名同学站成一个 1515 的方阵，请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外的第七层有多少人？【答案】56；8；48【分析】最外层每边 15

24、人，但角落上的 4 个人每人都同时位于两条边上，所以最外层共有：154-4=56 人；每人往里一层，每边人数会减少 2 个，最里层的每边应该有：15-27=1 人，共有 7+1=8 层；从里向外第 7 层每边有：1+2(7-1)=13 人，所以这一层共有：134-4=48 人40. 在一个实心学生方阵中加入 9 人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】16【分析】(91)24（人），所以原来的方阵有 4416（人）41. 若干学生排成一个实心方阵，倒数第二层每边比第二层多 10 人，共有多少层？【答案】8【分析】(102)+128（层），所以共有 8

25、 层42. 如图，一块绿地由 3 块相同的等边三角形草地和一个水池构成现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的 A、B、C 点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有 10 朵花请问：整个绿地一共要种多少朵花？【答案】162 朵【分析】每个三角形草地里每边都有 10 朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 朵花，三片草地共有：553=165 朵花但这样算，三角形的连接处都被算了 2 次，多算 1 次，所以整个绿地一共种花 165-3=162 朵43. 某学校三年级同学 180 人，排成个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【

26、答案】18【分析】中间层总数为1803=60(人)则每边有604+1=16(人)所以最外层每边有16+2=18(人)44. 某小学三年级共有学生 120 人，排成一个三层的空心方阵这个方阵最外层每边有多少人？如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，那么还需要增加几个人？【答案】13；56；24【分析】一个三层方阵，外层比中层多 8 人，中层比内层多 8 人，所以中层有：1203=40 人，最外层共有 40+8=48 人，所以，最外层每边 484+1=13 人；外面加一层需要有 48+8=56 人；内部加一层需要 40-8-8=24

27、 人45. 三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为 32 人，问这个方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？【答案】每边 9 人，共 81 人【分析】每边有324+1=9(人)共92=81(人)46. 节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心方阵花坛，最外面的一层每边摆了 12 盆花，一共 3 层，一共用去多少盆花？【答案】108【分析】方法一：最外层共有124-4=44(盆)第二层共有44-8=36(盆)第三层共有36-8=28(盆)所以共有44+36+28=108(盆)方法二：第二层每边有12-2=10(盆)第二层共有104-4=36(盆)所以共有363=

28、108(盆)47. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边比最内一层多 10 人，共有多少层？【答案】6【分析】(102)+16（层），所以共有 6 层48. 有 225 枚棋子，摆成一个 1515 的正方形，甲、乙两人从最外一层起，轮流取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了多少没枚棋子？【答案】31【分析】甲取走的是 56,40,24,8，乙取走的是 48,32,16,1，甲比乙多取 31 枚49. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了 324 块，最里面一层是蓝色的，第二层是白色，第三层是蓝色这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少块？【答案】蓝

29、色；144【分析】324=1818，共有 9 层，所以最外层是蓝色的；共有白色瓷砖：12+28+44+60=144 块50. 有一个 240 人排成的 5 层空心方阵，再增加多少人在最内层，就可以使该方阵变成一个 6 层空心方阵？【答案】24【分析】24045512517（人），17-2-2-2-2-27（人），(7-1)424（人），答：再增加 24 人在内部，就可以使该方阵变成一个 6 层空心方阵51. 共有 240 人排成一个 5 层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加一层，变成 6 层空心方阵，还需要增加多少人？【答案】32；24【分析】5 层中间一层共有：2405=

30、48 人，所以最内一层共有：48-82=32 人，每边 324+1=9 人，内部增加一层需要 32-8=24 人52. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有 10 人，共有多少层？13 层一共有多少人？【答案】5；36【分析】1025（层），236（人），6636（人），所以共有 5 层，13 层一共有 36 人53. 用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖 400 块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红色瓷砖，由外到内的第二圈是绿色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖这样依次铺下去请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？【答案】红色；40 块【分析】共有 400 块瓷砖

31、，所以整个方阵是一个 2020 的方阵，共有 10 层，从外向里依次为红、绿两种颜色相间排列，最里一层为绿色；从外向里，每层红色瓷砖都比它里面相邻的那层绿色瓷砖多 8 块，所以红色比绿色多 58=40 块54. 176 个棋子摆成一个四层空心方阵，最内层每边有多少棋子？【答案】9 个【分析】最内层与最外层总数和为 1764288（个），则则最内层有 (88-38)2=32（个），则每边有 324+1=9（个）55. 学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目现在的人数刚好排成一个方阵（每一行人数和每一列人数相等）后来又加入了 23 个女生，恰好还可以组成一个方阵那么你能算出加入 23 人之前，方阵共有多少人吗？【答案】121 人【分析】依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数不妨设前者人数是 B2，后者人数是 A2. 那么根据平方差式，A2-B2=A+BA-B=23因为 A+B 和 A-B 是同奇偶的，所以 23 也应该拆成 2 个同奇偶性的数的乘积因此A+BA-B=231A+B=23A-B=1A=12B=11则加入 23 人之前，方阵有 1111=121 人