专题02 整式与因式分解（讲义）（原卷版）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）.docx

1、专题02 整式与因式分解的核心知识点精讲1能用幂的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算2能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算3了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解4能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值5会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律考点1：代数式定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。考点2：整式的相关概念 考点3：整式加减运算1.实质：合并

2、同类项2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。3. 去括号（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c考点4：幂运算（1）幂的乘法运算口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即aman=a（m+n）(a0,m,n均为正整数，并且mn)（2）幂的乘方运算口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数)（3）积的乘方运算口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数）（4）幂的除法运算口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即aman=a（m-n）(a0,m,n均为正整数，并且mn)考点5：整式乘法运

3、算（1）单项式乘单项式单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式（2）单项式乘多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加（3）多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加（4）乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： （5）除法运算单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加考点6：因式分解 【题型

4、1：代数式及其求值】【典例1】（2023南通）若a24a120，则2a28a8的值为（）A24B20C18D161（2023雅安）若m2+2m10，则2m2+4m3的值是（）A1B5C5D32（2023常德）若a2+3a40，则2a2+6a3（）A5B1C1D03（2023巴中）若x满足x2+3x50，则代数式2x2+6x3的值为（）A5B7C10D13【题型2：整式的相关概念及加减】【典例2】（2022湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（）Aa2bB2ab2CabDab2c1（2021河池）下列各式中，与2a2b为同类项的是（）A2a2bB2abC2ab2D2a22（2022泰州）下列计算正

5、确的是（）A3ab+2ab5abB5y22y23C7a+a7a2Dm2n2mn2mn23（2022包头）若一个多项式加上3xy+2y28，结果得2xy+3y25，则这个多项式为 【题型3：幂运算】【典例3】（2023株洲）计算：（3a）2（）A5aB3a2C6a2D9a21（2023丹东）下列运算正确的是（）A（3xy）29x2y2B（y3）2y5Cx2x22x2Dx6x2x32（2023陕西）计算：（）ABCD3（2023温州）化简a4（a）3的结果是（）Aa12Ba12Ca7Da7【题型4：整式的乘除及化简求值】【典例4】（2023盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a3b

6、），其中a2，b11（2023长沙）先化简，再求值：（2a）（2+a）2a（a+3）+3a2，其中a2（2023常州）先化简，再求值：（x+1）22（x+1），其中x3（2022盐城）先化简，再求值：（x+4）（x4）+（x3）2，其中x23x+10【题型5：因式分解】【典例5】（2023北京）分解因式：x2yy3 1（2023盐城）因式分解：x2xy 2（2023陕西）分解因式：3x212 3（2023怀化）分解因式：2x24x+2 1单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，则mn（）2下列计算正确的是（）A2ab+3ab5abB7y22y25C4a+2a6a2D3m2n2mn2mn23

7、如图是由连续的奇数1，3，5，7，排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（）A3x+1B3x+2C4x+1D4x+24某商品标价为m元，商店以标价7折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（）A0.3m元B1.7m元C7m元D0.7m元5如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，照此规律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（）A19个B22个C25个D26个6若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x9的值是（）A1B1C4D47下列计算正确的是（）A（a

8、3）2a8Ba2a3a6C（2ab2）38a3b6D8多项式3x22x+5的各项分别是（）A3x2，2x，5Bx2，x，5C3x2，2x，5D3，2，59下列各整式中是三次单项式的是（）A5a3bB32a2bCa2b3D9a2+b310如果二次三项式x2+ax2可分解为（x2）（x+b），那么a+b的值为（）A2B1C1D011将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（）A（x+y）2x2+2xy+y2B（xy）2x22xy+y2C（x+y）（xy）x2y2D（x+y）2（xy）24xy12（x3）2的运算结果是（）Ax5Bx6

9、Cx6Dx913单项式的系数和次数分别是（）A，4B，5CD14若M和N都是三次多项式，则M+N一定是（）A次数低于三次的整式B六次多项式C三次多项式D次数不高于三次的整式15多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（）A10B20C10D2016要使多项式2x22（7+3x2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是（）A2B0C2D617先化简，再求值：（a+2）（a2）+a（1a），其中a202318甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2（1）填空：S1S2 （用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和设该正方形

10、的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由1已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（）AaBbCmDn2已知8ma，16nb，其中m，n为正整数，则23m+12n（）Aab2Ba+b2Cab3Da+b33比较344，433，522的大小正确的是（）A344433522B522433344C522

11、344433D4333445224若（a+2b）_a24b2，则横线内应填的代数式是（）Aa2bBa+2bCa2bD2ba5同号两实数a，b满足a2+b242ab，若ab为整数，则ab的值为（）A1或B1或C2或D2或6我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”设（a+b）n的展开式中各项系数的和为an，若21010x，则a1+a2+a3+a2020的值为（）A2x2B2x22C2020x2D2020x7下列表格中的四个数都是按照规律填写的，

12、则表中x的值是（）A135B170C209D252故选：C8定义运算“”：ab，关于x的方程（2x+1）（2x3）t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 9计算：已知：a+b3，ab1，则a2+b210如图，边长分别为a、b的两个正方形并排放在一起，当a+b8，ab10时，阴影部分的面积为 11因式分解：2x24x+2 12已知xy2，x+y3，则x2y+xy213如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB9，两正方形的面积和S1+S251，则图中阴影部分面积为14若实数a，b满足ab1，则代数式a2b22b+5的值为15我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘

13、方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（a+b）n（n1，2，3，4，）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）请根据规律，写出（x+1）2022的展开式中含x2021项的系数是 16观察下列一组数：a1，a2，a3，a4，a5，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an （用含n的式子表示）17先化简，再求值：（2a+1）（2a1）4a（a1），其中a118已知多项式A2x2xy+my8，Bnx2+xy+y+7，A2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值19我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其

14、余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式（2）利用上面的规律计算：25524+10231022+52120我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到（a+2b）（a+b）a2+3ab+2b2请解答下列问题：（1）写出图2中所表示

15、的数学等式 ；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c9，ab+bc+ac26，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，求9x+10y+621阅读理解：若x满足（9x）（x4）4，求（4x）2+（x9）2的值解：设9xa，x4b，则（9x）（x4）ab4，a+b（9x）+（x4）5，（9x）2+（x4）2

16、a2+b2（a+b）22ab522417迁移应用：（1）若x满足（2020x）2+（x2022）210，求（2020x）（x2022）的值；（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DEk，BGk+1（k为常数，且k0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积22如图所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形（1）图中阴影部分的正方形的边长等于 ；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图中阴影部分的面积：方法一： ；方法二： ；（3）根据（2）写出（mn）

17、2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系及推理过程1（2023西藏）下列计算正确的是（）A2a2b3a2ba2bBa3a4a12C（2a2b）36a6b3D（a+b）2a2+b22（2023攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（）A1个B2个C3个D4个3（2022永州）若单项式3xmy与2x6y是同类项，则m4.（2020黔西南州）若7axb2与a3by的和为单项式，则yx5（2023丽水）分解因式：x29 6（2023淄博）分解因式：2a28b2 7（2022广西）阅读材料：整

18、体代值是数学中常用的方法例如“已知3ab2，求代数式6a2b1的值”可以这样解：6a2b12（3ab）12213根据阅读材料，解决问题：若x2是关于x的一元一次方程ax+b3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b1的值是 8（2023长春）先化简，再求值：（a+1）2+a（1a），其中9（2023邵阳）先化简，再求值：（a3b）（a+3b）+（a3b）2，其中a3，b10.（2023河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a1）某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2表2表3（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a2时，求S1+S2的值；（2）比较S1与S2的大小，并说明理由