（广西专用）2022年高考数学一轮复习 第9章 解析几何 3 圆的方程课件 新人教A版（理）.pptx

1、9.3 圆的方程-2-知识梳理 双基自测 211.圆的定义及方程 定长(a,b)-2,-2 12 2+2-4-3-知识梳理 双基自测 212.点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设M的坐标为(x0,y0).(x0-a)2+(y0-b)2r2(x0-a)2+(y0-b)2 0.2-5-知识梳理 双基自测 34151.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.

2、()(3)方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆心为-2,-,半径为12 -32-4+4的圆.()(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()-6-知识梳理 双基自测 234152.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是()A.-1a1B.0a1或a0),半径为r,则圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a0,r0).由题意得 2+12=2,(2-)2=2,2+(-1)2=2,解得 =34,2=2516,故圆 C 的标准方程为-34 2+y2=

3、2516.-13-考点1 考点2 考点3(方法二 待定系数法)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),由题意得 1+=0,4+2+=0,1-+=0,解得 =-32,=0,=-1,故圆 C 的一般方程为 x2+y2-32x-1=0,即圆 C 的标准方程为-34 2+y2=2516.-14-考点1 考点2 考点3(方法三 几何法)因为圆C经过点A(0,1),B(2,0),所以圆C的圆心在线段AB的垂直平分线上.因为 kAB=-12,所以 AB 的垂直平分线是 y-12=2(x-1).又圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,纵坐标为 0,所以圆 C 的圆心坐标为 34,

4、0.则圆 C 的半径为|EB|=2-34 2+(0-0)2=54,所以圆 C 的标准方程为-34 2+y2=2516.-15-考点1 考点2 考点3 解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的中垂线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.-16-考点1 考点2 考点3 对点训练 1(1)(2021 山东莱州模拟)在平面直角坐标系中,四点坐标分别为 A(2,0),B(3,2

5、-3),C(1,2+3),D(4,a),若它们都在同一个圆周上,则 a 的值为()A.0B.1C.2D.3(2)已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31,则圆C的方程为 .55 C(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2-17-考点1 考点2 考点3 解析:(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得 22+02+2+=0,32+(2-3)2+3+(2-3)+=0,12+(2+3)2+(2+3)+=0,解得 =-4,=-4,=4,所以x2+y2-4x-4y+4=0.又因为点D(4,a)在圆上,所

6、以42+a2-44-4a+4=0,即a=2.-18-考点1 考点2 考点3(2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.由题意可知 2=22,2=2+1,|-2|5=55,=-1,=-1,2=2或 =1,=1,2=2.故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.-19-考点1 考点2 考点3 考点 2 与圆有关的轨迹问题 例2如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.思考求与圆有关的轨迹方程都有哪

7、些常用方法?-20-考点1 考点2 考点3 解:设动点P(x,y),由题意可知P是ABD的重心.由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),则 D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得 =-1+1+20-13,=203,则 0=3+12,0=32(0 0),将动点 C 3+12,32 ,代入 x2+y2=1,整理得 +13 2+y2=49(y0),故所求轨迹方程为 +13 2+y2=49(y0).-21-考点1 考点2 考点3 解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程

8、;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.-22-考点1 考点2 考点3 对点训练2已知RtABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解:(1)(方法一)设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y0.因为ACBC,且BC,AC的斜率均存在,所以kACkBC=-1,又 kAC=+1,kBC=-3,所

9、以+1-3=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0).-23-考点1 考点2 考点3(方法二)设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义,知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).因此直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0).12-24-考点1 考点2 考点3(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),点M是线段BC的中点,由中点坐标公式得 x=0+32,y=0+02,得 x0=2x-3,y

10、0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,整理得(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y0).-25-考点1 考点2 考点3 考点 3 与圆有关的最值问题(多考向)考向一 斜率型最值问题 例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.思考如何求解形如-的最值问题?-26-考点1 考点2 考点3 解:原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即 y=kx.如图所示,

11、当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时|2-0|2+1=3,解得 k=3.所以的最大值为3,最小值为-3.-27-考点1 考点2 考点3 考向二 截距型最值问题 例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.思考如何求解形如ax+by的最值问题?-28-考点1 考点2 考点3 解 y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,如图所示,当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或最小值,此时|2-0+|2=3,解得 b=-26.所以 y-x 的最大值为-2+6,最小值为-2-6.-29-考点1 考点2 考点3 考向三 距离型最值问题 例5在例3的条件下求x2+

12、y2的最大值和最小值.思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?解 如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(2-0)2+(0-0)2=2,所以 x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.-30-考点1 考点2 考点3 考向四 建立目标函数求最值问题 例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为 .思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?x+y-2=0 -31-考点1

13、考点2 考点3 解析:设点 A,B 的坐标分别为 A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线AB 的方程为+=1,即 bx+ay-ab=0,因为直线 AB 和圆相切,所以圆心到直线 AB 的距离 d=|-|2+2=2,即 2(a2+b2)=(ab)24ab,所以 ab4,当且仅当 a=b 时取等号,又|AB|=2+2=222所以|AB|的最小值为 22,此时 a=b,即 a=b=2,切线 l 的方程为2+2=1,即 x+y-2=0.-32-考点1 考点2 考点3 解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:(1)借助几何性质求最值 最小圆(圆的面积最小)问题,转化为求半径最小值问题;圆上的

14、点到圆外的点(直线)的距离的最值,应先求圆心到圆外的点(直线)的距离,再加上半径或减去半径求得最值;形如的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.u=-33-考点1 考点2 考点3(2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的.-34-考点1 考点2 考点3(2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)

15、2=1,则2x-y的最大值为 ,最小值为 .(3)已知P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为 .(4)设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为 .对点训练 3(1)已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-23x-2y+3=0,则的最大值和最小值分别是 和 ;答案:(1)3 0(2)5+5 5-5(3)3-22(4)3 -35-考点1 考点2 考点3 解析:(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,设=k,即 y=kx,当直线 y=kx 与圆相切时

16、,斜率 k 取得最大值或最小值,此时|3-1|2+1=1,解得 k=0 或 k=3,所以的最大值是3,最小值是 0.(2)令 b=2x-y,则 b 为直线 2x-y=b 在 y 轴上的截距的相反数,当直线 2x-y=b 与圆相切时,b 取得最值.由|22+1-|5=1,解得b=55,所以2x-y的最大值为5+5,最小值为 5-5.(3)由 C(1,1)得|OC|=2,则|OP|min=2-1,即(2+2)min=2-1,所以 x2+y2 的最小值为(2-1)2=3-22.-36-考点1 考点2 考点3(4)圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为 C(1,1),半径为 r=1,根据

17、对称性可知,四边形 PACB 的面积为2SAPC=212|PA|r=|PA|=|2-2,要使四边形 PACB 的面积最小,则只需|PC|最小,最小值为圆心到直线 l:3x-4y+11=0 的距离d=|3-4+11|32+(-4)2=105=2.所以四边形 PACB 面积的最小值为|min2-2=4-1=3.-37-易错警示轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误 典例设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.解：如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为 2,2,线段 MN 的中点坐标为 0-32,0+42

18、 .由于平行四边形的对角线互相平分,故2=0-32,2=0+42.从而 0=+3,0=-4.N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因为四边形 MONP 要构成平行四边形,因此需要 O,M,N 三点不共线.-38-直线 OM:y=-43x,与(x+3)2+(y-4)2=4 联立方程组,解得 =-215,=285或 =-95,=125,所以应除去-215,285 和 -95,125 这两个点.故点 P 的轨迹是以(-3,4)为圆心,2 为半径的圆 但要除去-215,285 和 -95,125 两点 -39-反思提升1.本题易忘记四边形MONP为平行四边形,导致不能除去两个特殊点.2.本题也容易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程,要知道,求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程,还要说明方程对应的是什么曲线.