（新教材）2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册课件：4-3　指数函数与对数函数的关系 .pptx

1、4.3 指数函数与对数函数的关系 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 课标阐释 思维脉络 1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,清楚它们的图像间的对称关系.(数学抽象)2.会 求 简 单 函 数 的 反 函数.(数学运算)3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图像解决问题.(逻辑推理)课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 约翰耐普尔(John Naeipr,15501617)原是苏格兰的贵族.生于苏格兰的爱丁堡,十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习.十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学,丰富了自己的学识.耐普尔虽不是专业数学家,但酷爱数学,他在一个需

2、要改革计算技术的时代里尽心尽力.正如他所说:“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算,因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏.”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”,而为制作对数表他花了整整20年时间.对数产生于17世纪初叶,为了适应航海事业的发展,需要确定航程和船舶的位置,为了适应天文事业的发展,需要处理观测行星运动的数据,为了解决很多位数的数字繁杂的计算产生了对数.恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就,给予很高的评价.前面我们学习过的指数函数与对数函数之间有什么关

3、系呢?课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 知识点一、反函数的概念 1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.而且,如果函数的自变量仍用x表示,因变量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表达式,可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到.2.反函数的记法 一般地,函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 名师点析1.反函数概念的理解 当一个函数是一一对应时,可以把这个函数

4、的自变量作为一个新的函数的因变量,而把这个函数的因变量作为新的函数的自变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y=f(x)的反函数,常用y=f-1(x)表示.2.反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.(2)若函数y=f(x)图像上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图像上;反之,若点(b,a)在反函数的图像上,则点(a,b)必在原函数的图像上.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.(4)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 特别提醒只有一一对应确

5、定的函数才有反函数,如一次函数y=kx+b(k0)、反比例函数y=(k0)、指数函数y=ax(a0且a1)、对数函数y=logax(a0且a1),它们都是一一对应确定的函数,都有反函数.像二次函数y=ax2+bx+c(a0),在整个定义域上没有反函数,因为关于对称轴x=-对称的两个不同的自变量对应同一个函数值,它不是一一对应下的函数,所以没有反函数.kx b2a 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微思考(1)函数y=ax(a0,且a1)与函数y=logax(a0,且a1)的解析式有何内在联系?提示:根据对数式与指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“

6、x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一过程可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的.(2)函数y=ax(a0,且a1)与函数y=logax(a0,且a1)的单调性一致吗?提示:当0a1时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性一致,但变化速度有差异.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微判断(1)任意一个函数都有反函数.()答案:(2)y=2x与y=log3x互为反函数.()答案:(3)若函数y=x2(xa)存在反函数,则a的取值范围是0,+).()答案:课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 知识点二、指数函

7、数与对数函数的关系 指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数,它们的图像和性质对比如下表:名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=ax(a0,且 a1)y=logax(a0,且 a1)图像 定义域 R(0,+)课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 值域(0,+)R 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 单调性 当 a1 时,y=ax在 R 上为增函数;当 0a1 时,y=logax 在区间(0,+)上为增函数;当 0a1 时,若 x0,则y1;若 x=0,则 y=1;若x0,则 0y1.当 0a0,则0y1;若 x=0,则 y=1;若x1

8、当 a1 时,若 x1,则 y0;若x=1,则 y=0;若 0 x1,则 y0.当 0a1,则 y0;若x=1,则 y=0;若 0 x0 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微练习1 (1)若函数y=()x与y=logax互为反函数,则a=.(2)函数y=f(x)的反函数存在,若点(2,1)在y=f(x)的图像上,则其反函数的图像一定过点 .(3)函数y=ln(2x)的反函数是 .12 解析:(1)由题意知,a=.(2)由互为反函数的图像关于直线y=x对称,(2,1)关于y=x的对称点(1,2)一定在其反函数的图像上.12(3)对 y=ln(2x)中 x,y 互换得 x=ln(

9、2y),即 2y=ex,y=12ex.答案:(1)12(2)(1,2)(3)y=12ex课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微练习2 若函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+),则此函数的定义域为 .解析:函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+),也即这个函数的值域为(3,+),所以log3x+13,即log3x2,所以x9.所以此函数的定义域为(9,+).答案:(9,+)课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 当堂检测 求反函数 例1求下列函数的反函数:(1)y=log2x;(2)y=13;(3)y=5x+1.分析:按照求反函数的基本步骤求解即可.

10、解:(1)由 y=log2x,对调 x,y,得 x=log2y,f-1(x)=2x(xR).(2)由 y=13,对调 x,y,得 x=13y,f-1(x)=log13x(x0).(3)由 y=5x+1,对调 x,y,得 x=5y+1,f-1(x)=-15(xR).课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 当堂检测 反思感悟求函数的反函数的主要步骤(1)令y=f(x),对调其中的x和y,得x=f(y);(2)从x=f(y)中解出y=(x);(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域).简记为“一换、二解、三写”.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 当堂检测 变式训练1求函数y=2

11、x+1(x0)的反函数.解:由y=2x+1,对调x,y,得x=2y+1,y=log2(x-1).又x0,02x1,12x+12.所求函数的反函数为y=log2(x-1)(1x0,且a1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是()(2)将y=2x的图像(),再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.A.先向上平移1个单位长度 B.先向右平移1个单位长度 C.先向左平移1个单位长度 D.先向下平移1个单位长度 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 当堂检测 解析:(1)方法一:首先,曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)只可能在y轴左边,

12、从而排除A,C.其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B.方法二:若0a1,则函数y=ax单调递增且图像过点(0,1),而函数y=loga(-x)单调递减且图像过点(-1,0),只有B满足条件.方法三:如果注意到y=loga(-x)的图像关于y轴的对称图像为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图像关于直线y=x对称),则可直接选B.(2)由图像的平移变换易知需先向下平移1个单位长度.答案:(1)B(2)D 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 当堂检测 反思感悟互为反函数的图像特点:(1)互为反函数的图像关于直线y=x对

13、称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 当堂检测 变式训练 2 已知函数 y=f(x)的定义域是-1,1,其图像如图所示,则不等式-1f-1(x)12的解集是()A.-1,12 B.-2,12 C.-2,0)12,1 D.-1,0 12,1 解析:由题意可得 f-1(x)的图像如图所示.由图像知-1f-1(x)0 的解集为x|-2x1)D.y=ex-1(x1)解析:y=ln x+1对调x,y,得x=ln y+1,解得y=ex-1,则其反函

14、数为y=ex-1.由于x0,则y=ln x+1R,因而y=ex-1(xR),故选B.答案:B 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 当堂检测 2.已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),如果函数y=f(x)的图像过点(1,0),那么函数y=f-1(x)+1的图像过点()A.(0,0)B.(0,2)C.(1,1)D.(2,0)解析:y=f(x)的图像过点(1,0),其反函数y=f-1(x)的图像必过点(0,1),即f-1(0)=1,即y=f-1(0)+1=1+1=2,y=f-1(x)+1的图像过点(0,2).答案:B 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 当堂检测 3.已知 f(x)=1-31+3,则 f-1 45=.解析:由 1-31+3=45,得 3x=19,x=-2,即 f-1 45=-2.答案:-2 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 当堂检测 4.已知 y=12x+a 与函数 y=3-bx 互为反函数,求 a,b 的值.解:y=12x+a 的反函数 y=2x-2a 应与函数 y=3-bx 为同一函数,-2a=3,且 2=-b.a=-32,b=-2.