（新教材）2021-2022学年高中人教A版数学必修第一册课件：4-5-3 函数模型的应用 .ppt

1、4.5.3 函数模型的应用 招 聘 启 事 猪氏集团因业务发展需要，特招聘旗下餐饮公司经理一名.要求30周岁以下,经面试合格,即可录用，待遇丰厚.联 系 人：猪悟能 联系电话：86868866“天棚大酒店”自2014年1月1日营业以来，生意蒸蒸日上.第一个月的营业额就达到了100万元，第二个月比第一个月增长了百分之五.照此增长，第三个月的营业额为多少?第x个月的营业额是多少？面试题目100（1+0.05）2 100（1+0.05）x-1 这是指数函数模型，今天我们将学习指数函数和对数函数模型！1.能够利用指数(或对数)函数模型解决实际问题.（重点）2.能够收集数据信息，建立拟合函数解决实际问题

2、.（难点）3.进一步熟悉运用函数概念(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.（易混点）4.通过实例感受函数在生活中的应用 数学建模：收集数据建立数学模型，体验生活中的数学问题。体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点 内容，常与增长率相结合进行考查在实际问 题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等 增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以 表示为yN(1p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式另外，指数方 程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问 题中

3、可转化应用 解函数应用问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题.1.指数函数模型(1)表达形式：_(2)条件：a,b,c为常数，a0,b0,b1.2.对数函数模型(1)表达形式：_.(2)条件：m,n,a为常数，m0,a0,a1.f(x)=abx+c.f(x)=mlogax+n什么样的函数是指数函数模型、对数函数模型呢？其中t表示经过的时间，y0表示t0时的人口数，r表示人口的年平均

4、增长率.例1.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：rt0yy e微课1：指数型函数的应用 年份1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数万人55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207 下表是19501959年我国的人口数据资料：（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我

5、国这一时期的人口增长率（精确到0.000 1），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符.（2）如果按表格的增长趋势，大约哪一年我国的人口达到13亿?解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的函数,这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来,同时注意实际问题的函数定义域(指定的、根据实际意义的),一般不是由求出的函数解析式确定的.【解题关键】解:（1）设19511959年的人口增长率分别为 于是,19511959年期间,我国人口的年均增长率为 由 155 196(1r)56 300可得1951的人口增长率为 1r0.020 0同理可得

6、，2r0.021 03r0.022 94r0.025 05r0.019 76r0.022 37r0.027 68r0.022 29r0.018 4123456789r,r,r,r,r,r,r,r,r.123456789r(rrrrrrrrr)90.022 1根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.令 0y55 196,则我国在19501959年期间的人口 增长模型为 0.022 1ty55 196e,tN.验证其准确性 由图可以看出,所得模型 与19501959年的实际人口数据基本吻合.0.022 1ty55 196e,tN所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即

7、1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.（2）将y=130 000代入 0.022 1ty55 196e,tN.t38.76.由计算器可得 1.科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强是y(105Pa)，y与x之间的函数关系式是y=cekx（c,k为常量）在海拔5(km)处的大气压强为0.568 3(105Pa)，在海拔5.5(km)处的大气压强为0.536 6(105Pa)，（1）问海拔6.712(km)处的大气压强约为多少？（精确到0.000 1)（2）海拔为h千米处的大气压强为0.506 6(105P

8、a)，求该处的海拔h.【变式练习】解：(1)把x=5,y=0.568 3,x=5.5,y=0.536 6 代入函数关系式y=cekx，得：把 x=6.712代入上述函数关系式，得 0.466 8(105Pa)答：海拔6.712(km)处的大气压强约为0.466 8(105Pa).5k5.5k0.568 3ce0.536 6ce0.1151.01kc 0.115x5y1.01e(10 Pa)0.115 6.712y1.01e(2)由1.01e-0.115h=0.506 6 答:该处的海拔约为6 km.解得h6(km)0.506 60.115 hln1.012下表显示出函数值 y 随自变量 x 变

9、化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型是()x-2-1 0 1 2 3 y 1 4 16 64 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 【解析】选 C.观察数据可知符合指数函数 y=4x.C【提升总结】指数函数应用题的解题思路：有关指数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给 出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据数值回答其实际意义.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究 燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为 v=5log2 (m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子 静止时的耗氧量为_.当一只

10、两岁燕子的耗氧量 为80个单位时，其速度是_.q10微课2：对数型函数的应用10 15m/s【解析】由题意，燕子静止时v=0，即5log2 =0，解得q=10；当q=80时，v=5log2 =15(m/s).答案：10 15m/s q108010【提升总结】对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表 身高(cm)体重(kg)60 70 80

11、90 100 110 120 130 140 150 160 170 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 26.86 20.92 31.11 38.85 47.25 55.05 根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式 微课3：数据拟合函数的应用 若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）根据散点图选择合适的函

12、数模型(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，我们可以考虑用函数y=abx来近似反映.解：将已知数据输入计算机，画出图象；如果取其中的两组数据（70，7.90）,（160，47.25）xya b根据图象，选择函数 进行拟合 代入函数 xya b由计算器得 a2,b1.02xy2 1.02.从而函数模型为 701607.9a b47.25a b得将已知数据代入所得函数关系式，或作出所得 函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区 未成年男性体重与身高的关系 所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数 关系式可以选为 xy2 1.02.xy2 1.02 175y2

13、 1.02 将x=175代入 得 由计算器计算得 y63.98，所以，这个男生偏胖 781.221.263.98 由于 1.今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是()A.ulog2t B.u2t2C.ut212D.u2t2C 【变式练习】【解析】选 C.由散点图可知，图象不是直线，排除 D；图象不符合对数函数的图象特征，排除 A；当 t3 时，2t22326，t21232124，由表格知当 t3 时，u4.04，模型 ut212能较好地体现这些数据关系 函数拟合与预测的步骤 能够根据原始数据、表格,

14、绘出散点图.通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲 线，即拟合直线或拟合曲线 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在 实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的【提升总结】因此，使所有的点尽可能均匀分布在直线或曲线两 侧，使两侧的点大致相等，得出的拟合直线或拟合 曲线就是“最贴近”的了 根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的 函数关系式 利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测 和控制，为决策和管理提供依据 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 1.指数型函数 2.对数型函数 2.熟悉数学建模的步骤。1.收集数据信息，建立拟合函数解决实际问

15、题。读懂数学问题构建正确的数学模型 数学建模：收集数据建立数学模型，体验生活中的数学问题。1.某种细胞,每 15 分钟分裂一次(12)这种细胞由 1个分裂成 4096 个需经过()A.12 小时 B.4 小时 C.3 小时 D.2 小时 C 【解析】选 C.212=4096,分裂了 12 次.2.为增加绿色植被,某林场计划第一年造林 10 000亩,以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林()A.14 400 亩 B.172 800 亩 C.17 280 亩 D.20 736 亩 【解析】选 C.y=10 000(1+20%)3=17 280.C 3.按复利计算利率的储蓄,银行整存一年,年

16、息 8%,零存每月利息 2%,现把 2 万元存入银行 3 年半,取出后本利和应为人民币()A.2(1+8%)3.5 万元 B.2(1+8%)3(1+2%)6万元 C.2(1+8%)3+22%5 万元 D.2(1+8%)3+2(1+8%)3(1+2%)6万元 【解析】选 B.2 万元存入银行 3 年,得本利和 2(1+8%)3万元,再存入银行半年,即 6 个月,则 2(1+8%)3(1+2%)6万元.B 4.(2019北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m2-m1=lg,其中星等为 mk 的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,

17、天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1【解析】选 A.令 m1=-26.7,m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,lg=10.1,=1010.1.5.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在 30 人或 30 人以下,飞机票每张收费 900 元;若每团人数多于 30 人,则给予优惠:每多 1 人,机票每张减少10 元,直到达到规定人数 75 人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费 15000 元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时

18、,旅行社可获得最大利润?【解析】(1)设旅行团人数为 x 人,由题得 0 x75 飞机票价格为 y 元,则 y=900,030,900 1030,3075xxx 即y=900,030,1200 10,3075.xxx(2)设旅行社获利 S 元,则S=90015000,030,1200 1015000,3075,xxxxx 即 S=290015000,030,106021000,3075.xxxx 因为 S=900 x-15000 在区间(0,30上为单调增函数,故当 x=30 时,S 取最大值 12000 元,又 S=-10(x-60)2+21000 在区间(30,75上当 x=60 时,取得最大值 21000.故当 x=60 时,旅行社可获得最大利润.（2）利用待定系数法，确定具体函数模型.1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法（3）对所确定的函数模型进行适当评价.（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系.（4）根据实际问题对模型进行适当修正.2.函数应用的基本过程（5）用得到的函数模型解决相应的问题.（1）收集数据.（2）作出散点图.（3）通过观察图象判断问题所适用的函数模型.（4）用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式.勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。