（新教材）2021秋数学人教A版选择性必修第一册课件：1-4-1 第2课时　空间中直线、平面的平行 .ppt

1、第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第 2 课时 空间中直线、平面的平行 学习目标 1.能用向量的语言表述线线、线面、面面的平行关系,积累直观想象经验.2.能用向量的方法证明空间线面平行的有关定理.3.能用向量的方法判断并证明空间中的直线、平面平行关系,提升逻辑推理和数学运算素养.空间中直线、平面的平行 新知探究 情境:空间中的平行关系本质上是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量 ab,即 a=b(R).此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.证明面面

2、平行也可用证明平面的法向量平行的方法.【思考】(1)如果直线 l 的方向向量为 u,平面 的一个法向量为 v,且 uv,那么 l 与 平行吗?提示:不一定,l 也可能在平面 内.(2)若直线 l 的一个方向向量为 a,向量 b平面,c平面,且 ab,ac,则 l 与平面 有怎样的位置关系?提示:当 b 与 c 不共线时,可得 l;当 b 与 c 共线时,l与 的位置关系不确定.知识梳理 1.直线与直线平行如图,设 u1,u2分别是直线 l1,l2的方向向量.由方向向量的定义可知,如果两条直线平行,那么它们的方向向量一定平行;反过来,如果两条直线的方向向量平行,那么这两条直线也平行,所以 l1l

3、2 1 ,使得.2.直线与平面平行如图,设 u 是直线 l 的方向向量,n 是平面 的法向量,l,则 l .3.平面与平面平行如图,设 n1,n2分别是平面,的法向量,则 1 ,使得.u1u2 R u1=u2 un un=0 n1n2 R n1=n2 基础测试1.已知直线 l1的方向向量为 v1=(1,2,3),直线 l2的方向向量为 v2=(,4,6).若 l1l2,则=()A.1B.2C.3D.42.已知平面 的一个法向量是(2,-1,1),下列向量可作为平面 的一个法向量的是()A.(4,2,-2)B.(2,0,4)C.(2,-1,-5)D.(4,-2,2)解析:因为 l1l2,所以 v

4、1v2,所以1=42=63,所以=2.答案:B解析:因为,所以 的法向量与 的法向量平行,而(4,-2,2)=2(2,-1,1),故选 D.答案:D3.若 u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3)分别为两个不同平面,的一个法向量,则()A.B.C.,相交但不垂直D.以上均不正确解析:因为 v=-3u,所以.答案:A探索点一 利用空间向量证明线线平行【例 1】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别为DD1和 BB1的中点.求证:四边形 AEC1F 是平行四边形.证明:如图,以 D 为坐标原点,1 为正交基底建立空间直角坐标系.设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为

5、1,则 A(1,0,0),E 0,0,12,C1(0,1,1),F 1,1,12,所以 =-1,0,12,1 =-1,0,12,1 =0,1,12,=0,1,12,所以 =1 ,1 =,所以 1 ,1 .因为 FAE,FEC1,所以 AEFC1,EC1AF,所以四边形AEC1F 是平行四边形.方法规律 1.证明空间两直线平行的思路(1)把证明空间两直线平行的问题转化为判断空间两直线的方向向量共线;(2)在建立空间直角坐标系后,主要问题是求出空间两直线的方向向量的坐标.2.利用空间向量证明线线平行的方法步骤(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标.(2)求出直线的方向向量.(3)证明两向

6、量共线.(4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的有向线段不共线,从而得证.【跟踪训练】1.如图,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 O 在线段 AD 上,OA=1,OD=2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形.求证:直线 BCEF.证明:如图,过点 F 作 FQAD,交 AD 于点 Q,连接 QE,由平面 ABED平面 ACFD,知 FQ平面 ABED,以 Q 为坐标原点,为 x 轴正方向,为 y 轴正方向,为 z 轴正方向建立空间直角坐标系.由 OA=1,OD=2,OAB,OAC,ODE,ODF 都是正三角形,

7、可得 E(3,0,0),F(0,0,3),B 32,-32,0,C 0,-32,32 .所以 =-32,0,32 ,=(-3,0,3).所以 =2 ,所以 BCEF.探索点二 利用空间向量证明线面平行【例 2】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是 CC1,B1C1的中点.求证:MN平面 A1BD.证明:方法一:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M 0,1,12,N 12,1,1,所以1 =(1,0,1),=(1,1,0),=1

8、2,0,12.设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n1 ,n ,所以 1 =0,=0,即 +=0,+=0,所以 =-,=-.取 x=1,则 y=-1,z=-1.所以平面 A1BD 的一个法向量为 n=(1,-1,-1).因为 n=12,0,12(1,-1,-1)=0,所以 n.又因为 MN平面 A1BD,所以 MN平面 A1BD.方法二:因为 =1 -1 =12 11 -12 1 =12(11 -1 )=12 1 ,所以 1 .又因为 MN平面 A1BD,DA1平面 A1BD,所以 MN平面 A1BD.方法三:因为 =1 -1 =12 11 -12 1 =12 -12 1 =

9、12(+)-12(1 +)=12 -12 1 ,所以 与1 ,共面,又因为 MN平面 A1BD,所以 MN平面 A1BD.方法规律 利用空间向量证明线面平行的方法 方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基底表示.方法二:证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.方法三:先求直线的方向向量,再求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.【跟踪训练】2.变式练如图,在多面体 BCFEAD 中,EF平面 AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC=2AD=4,AE=BE=2,G 是 BC 的中点.求证:AB平面

10、 DEG.证明:因为 EF平面 AEB,AE平面 AEB,BE平面 AEB,所以 EFAE,EFBE.又因为 AEEB,所以 EB,EF,EA 两两垂直.如图,以 E 为坐标原点,EB,EF,EA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.由已知,得 E(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,2),G(2,2,0),所以 =(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,-2).设平面 DEG 的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0,即 2+2=0,2+2=0,所以 =-,=-.取 y=1,则 z=-1,x=-1,则 n=(-1

11、,1,-1),所以 n=-2+0+2=0,即 n.因为 AB平面 DEG,所以 AB平面 DEG.3.同类练如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G 分别为 A1B1,B1C1,C1D1的中点.求证:AG平面 BEF.证明:以 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系(图略),则 A(1,0,0),B(1,1,0),E 1,12,1,F 12,1,1,G 0,12,1,所以 =-12,12,0,=-12,0,1,=-1,12,1,所以 =+,所以 与 ,共面.因为 AG 不在平面 BEF 内,所以 AG平面 B

12、EF.4.拔高练如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形,ABC=BAD=90,PB 与底面所成的角为 45,PA=BC=12AD=1.在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE平面 PAB?若存在,求出点 E 的位置;若不存在,请说明理由.解:在棱 PD 上存在点 E,使 CE平面 PAB.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.因为PB 与底面所成的角为 45,所以PBA=45,所以 PA=AB.因为 PA=BC=12AD=1,所以 AD=2,所以 P(0,0,1),C(1,1,0),D(

13、0,2,0).设 E(0,y,z),则 =(0,y,z-1),=(0,2,-1).因为 ,所以(-1)y-2(z-1)=0.易知 =(0,2,0)是平面 PAB 的一个法向量.因为 =(-1,y-1,z),CE平面 PAB,所以 ,所以 =0.所以 y=1.把 y=1 代入式,得 z=12,即 E 0,1,12,所以 E 是 PD 的中点.所以在棱 PD 上存在点 E,使 CE平面 PAB,此时 E 为 PD 的中点.探索点三 利用空间向量证明面面平行 【例 3】如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F 分别为棱 A1D1,A1B1,D1C1

14、,B1C1的中点.求证:平面 AMN平面 EFBD.证明:方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N 2,32,4,E 0,32,4,F(1,3,4).所以 =1,32,0,=1,32,0,=(-1,0,4),=(-1,0,4).所以 =,=,所以 MNEF,AMBF,所以 MN平面 EFBD,AM平面 EFBD.又因为 MN平面 AMN,AM平面 AMN,且 MNAM=M,所以平面 AMN平面 EFBD.方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),M(1,0,4),N 2,32,4,D(0,0,0),E 0,32,4,F(1

15、,3,4),则 =(-1,0,4),=0,32,4,=0,32,4,=(1,3,4).设平面 AMN 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),则 1 =0,1 =0,即-1+41=0,32 1+41=0.取 x1=1,则 z1=14,y1=-23.所以 n1=1,-23,14.设平面 EFBD 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),则 2 =0,2 =0.即 32 2+42=0,2+32+42=0.取 y2=-1,则z2=38,x2=32.所以 n2=32,-1,38.所以 n1=23n2,即 n1n2,所以平面AMN平面 EFBD.方法规律 空间向量证明两个平面平行的思路方法(1)直接证明

16、法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,证明两个法向量平行.(2)转化的思路:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.【跟踪训练】5.如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1 D1中,底面 ABCD 为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F 是棱 AB 的中点.试用向量的方法证明:平面 AA1D1D平面 FCC1.证明:因为底面 ABCD 为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,所以BCF 为正三角形.所以BAD=ABC=60.如图,取 AF 的中点

17、M,连接 DM,则 DMAB,所以 DMCD.所以以 D 为原点,DM,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(3,-1,0),F(3,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),所以1 =(0,0,2),=(3,-1,0),=(3,-1,0),1 =(0,0,2).设平面 FCC1的法向量为n=(x1,y1,z1),则 =0,1 =0,所以 31-1=0,21=0.取y1=3,则 x1=1,z1=0,所以 n=(1,3,0).设平面 AA1D1D 的法向量为 m=(x2,y2,z2),则 1 =0,1 =0,所以

18、 22=0,32-2=0.取 y2=3,则x2=1,z2=0,所以 m=(1,3,0).因为 m=n,所以平面 AA1D1D平面 FCC1.课堂评价1.已知向量 a=(2,4,5),b=(5,x,y)分别是直线 l1,l2的方向向量,若 l1l2,则()A.x=6,y=15B.x=3,y=152C.x=10,y=15D.x=10,y=252解析:因为 l1l2,所以 ab,所以52=4=5,所以 =10,=252.答案:D2.若两个不重合平面的法向量分别为 v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则这两个平面的位置关系是()A.平行B.相交不垂直C.垂直D.以上都不对解析:因为 v1=

19、(1,0,-1),v2=(-2,0,2),所以 v2=-2v1,所以这两个平面平行.答案:A3.已知直线 l 的方向向量为(2,m,1),平面 的一个法向量为 1,12,2,若 l,则 m=.4.设平面 的一个法向量为 m=(1,2,-2),平面 的一个法向量为 n=(-2,-4,k),若,则 k=.解析:因为 l,所以 l 的方向向量与 的法向量垂直,所以(2,m,1)1,12,2=2+12m+2=0,解得 m=-8.-8 解析:由,得 mn,所以-21=-42=-2,解得 k=4.4 5.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=6,E,F 分别为 A1D1,D

20、1C1的中点,以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.(1)求点 E,F 的坐标;(2)求证:EF平面 ACD1.(1)解:由 AD=AA1=2,AB=6,E,F 分别为 A1D1,D1C1的中点,得 E(1,0,2),F(0,3,2).(2)证明:因为 A(2,0,0),C(0,6,0),所以 =(-2,6,0).因为 E(1,0,2),F(0,3,2),所以 =(-1,3,0),所以 =2 ,所以 ACEF.因为 EF平面 ACD1,AC平面 ACD1,所以 EF平面 ACD1.课堂建构 素养发展 学习情境利用转化思想解决线面位置关系

21、的探究问题问题情境如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,ABC=60,PA=AC=a,PB=PD=2a,点 E 在 PD 上,且 PEED=21.在棱PC 上是否存在一点 F,使 BF平面 AEC?证明你的结论.解:在棱 PC 上存在点 F,使 BF平面 AEC.证明:如图,以 A 为坐标原点,直线 AD,AP 分别为 y 轴、z轴,过点 A 垂直平面 PAD 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系.由题设条件知相关各点的坐标分别为A(0,0,0),B 32,-12,0,C 32,12,0,D(0,a,0),P(0,0,a),E 0,23,13 ,所以 =0,23,13 ,=32,12,

22、0,=32,12,-,=-32,12,.因为棱 PC 上的点 F 满足要求,所以 =32,12,-,其中 01,则 =+=-32,12,+32,12,-=32(-1),12(1+),(1-).令 =1 +2 ,则 32(-1)=32 1,12(1+)=12 1+23 2,(1-)=13 2,即-1=1,1+=1+43 2,1-=13 2,解得 =12,1=-12,2=32,所以当=12时,=-12 +32 ,故当 F 是 PC 的中点时,共面.又因为 BF平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中点时,BF平面 AEC.能力发展1.方法技巧“存在性”问题的解题思路:(1)先假设存在,再经过正确

23、的推导,若得出的结论符合题意即为存在,若得出的结论与题设、定理、事实相矛盾即为不存在.由于解法构思巧妙、方法灵活,因此对学生逻辑思维能力要求很高.(2)本题利用转化思想将探究点是否存在问题转化为在直角坐标系中的空间向量是否共面问题,再进一步转化为方程组是否有解问题.若有解,则存在此点,且将向量运算结果转化为原几何问题;若无解,则此点不存在.2.关键能力(逻辑推理)通过线面平行的证明,提升逻辑推理能力.迁移应用如图,已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面 ABCD,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点.试判断 PA 上是否存在点 G,使得 EG平

24、面 PFD,并说明理由.解:PA 上存在点 G,使得 EG平面 PFD.理由如下:因为 PA平面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,AB=1,AD=2,建立空间直角坐标系,如图所示,所以 A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).令P(0,0,t),所以 =(1,1,-t),=(1,-1,0).设平面PFD 的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0,即 +-=0,-=0,取 z=1,则 x=y=2,所以 n=2,2,1.设点 G 的坐标为(0,0,m).由题意知 E 12,0,0,则 =-12,0,.要使 EG平面 PFD,只需 n=0,所以-12 2+02+m1=0,即 m-4=0,解得 m=14t,所以满足 AG=14AP 的点 G 即为所求.