（新教材）2022版高考数学人教B版一轮复习课件：4-1　任意角、弧度制及三角函数的概念 .pptx

1、4.1 任意角、弧度制及三角函数的概念 第四章 2022内容索引 010203必备知识 预案自诊 关键能力 学案突破 素养提升微专题4 审题线路图挖掘隐含条件寻找等量关系 必备知识 预案自诊【知识梳理】1.角的概念的推广(1)角的定义:一条射线绕其 旋转到另一条射线所形成的图形称为角.(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角组成一个集合,这个集合记为S=|=+k360,kZ.即集合S的每一个元素的终边都与的终边相同,k=0时对应元素为.(2)角的分类 按旋转方向不同分为 、.按终边位置不同分为 和轴 线角.端点 正角 负角 零角 象限角 2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于 的圆弧所对

2、的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.(2)公式:角的弧度数公式=(弧长用l表示),l=角度与弧度的换算 180=rad,(n为角度数,为弧度数)弧长公式 弧长l=扇形面积公式 180=半径长 r r S=12lr=12 r23.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定 义 设是一个任意角,P(x,y)是终边上异于原点的任意一点,称 为角的正弦,记作sin 称 为角的余弦,记作cos 当角的终边不在y轴上时,称为角的正切,记作tan 各象 限符 号 +-+-+-r=x2+y2 温馨提示三角函数值符号在各象限的口诀记忆:一全正、二正弦、三正切、四余弦.常用结论1.象限角 常用结论2.轴

3、线角 3.若(0,2),则 sin 1;若 0,2,则 tan sin.()【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)小于90的角是锐角.()(2)若sin 0,则是第一、第二象限的角.()(3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.()2.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是()A.23B.32C.23D.32答案 B 解析 由题意知 l=|r,|=1812=32.3.sin 2cos 3tan 4的值()A.小于0B.大于0 C.等于0D.不存在 答案 A 解析 sin 20,cos 30,sin 2cos 3tan 4

4、0.4.设角 的终边与单位圆相交于点 P(35,-45),则 sin-cos 的值是()A.-75B.-15C.15D.75答案 A 解析 由题意知 sin=-45,cos=35,所以 sin-cos=-45 35=-75.故选 A.5.与1 680角终边相同的最大负角是 .答案-120 解析 1 680=5360-120,故与1 680角终边相同的最大负角是-120.关键能力 学案突破 考点1 角的表示及象限的判定【例1】(1)(2020江西九江一模)若sin 0,则角是()A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角(2)终边在直线 y=3x 上的角的集合为 .(3)若角

5、 的终边与67 角的终边相同,则在0,2)内终边与3角的终边相同的角为 .答案(1)D(2)=3+k,kZ(3)27,2021,3421 解析(1)-1cos 1,且 sin(cos)0,0cos 1,又 sin 0,角 为第四象限角,故选 D.(2)在(0,2)内终边在直线 y=3x 上的角是3,43,与角3,43 终边相同的角分别为 2k+3,2k+43=(2k+1)+3,kZ,终边在直线 y=3x 上的角的集合为 =3+,Z.(3)=67+2k(kZ),3=27+23(kZ).依题意,027+23 2,kZ,解得-37k0,tan 0,tan 0,知 为第二象限角,2k+22k+(kZ)

6、,k+4 2k+2(kZ),2为第一或第三象限角.(3)由 是第三象限角,得+2k32+2k(kZ),则 2+4k20 时,r=5a,sin=35,cos=-45,tan=-34,5sin+5cos+4tan=3-4-3=-4;当 a0,m=12.考向3 利用定义判定三角函数值的符号 【例 4】若角 的终边落在直线 y=-x 上,则sin|cos|+|sin|cos 0(填“”“”“”或“=”)答案 解析 是第二象限角,-1cos 0,0sin 1.sin(cos)0.sin(cos)cos(sin)0.考点3 扇形弧长、面积公式的应用【例5】(1)(2020山东历城二中模拟四,4)如图2,在

7、半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为()512 A.5+14B.5-12C.3-5D.5-2(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角(正角)=弧度时,其面积最大,最大面积是 .答案(1)B(2)2 216 解析(1)设AOB=,半圆 O 的半径为 r,扇形 OCD 的半径为 r1,依题意,有122-1212122=5-12,即2-122=5-12,故122=3-52=6-254=(5-12)2,得1=5-

8、12.(2)设扇形的半径为 r,弧长为 l,面积为 S.(方法 1)c=2r+l,r=-2(lc),S=12rl=12 -2 l=-14(l-2)2+216,当 l=2时,Smax=216,r=4,此时=2.(方法 2)S=12rl=14(c-l)l14(-+2)2=216,当且仅当 c-l=l,即 l=2时等号成立,此时Smax=216,r=4,=2.解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于的函数,再利用均值不等式或二次函数求最值.对点训练5(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角(正角)是 弧度,

9、扇形的面积是 .(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角的大小为 ,所在的扇形弧长l为 ,弧所在的弓形的面积S为 .答案(1)-2 12(-2)r2(2)3 103 50(3 32)解析(1)设扇形的圆心角为,则扇形的周长是 2r+r.由题意知 2r+r=r,=-2.扇形的面积 S=12r2=12(-2)r2.(2)在AOB 中,AB=OA=OB=10,故AOB 为等边三角形.因此弦 AB 所对的圆心角 的大小为3.故 所在的扇形弧长为l=310=103,S 弓=S 扇-SAOB=12 103 10-12102sin3=503-5032=50(3 32).素养提升

10、微专题4 审题线路图挖掘隐含条件寻找等量关系 【例】如图,在平面直角坐标系xOy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为 .审题要点(1)已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径长为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:求点P坐标可借助已知坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义求出.答案(2-sin 2,1-cos 2)解析如图,作 CQx 轴,PQCQ,Q 为垂足.根据题意得劣弧 的长为 2,故DCP=2.则在PCQ 中,PCQ=2-2,|CQ|=cos 2-2=sin 2,|PQ|=sin 2-2=-cos 2,所以点 P 的横坐标为 2-|CQ|=2-sin 2,点 P 的纵坐标为 1+|PQ|=1-cos 2,所以点 P的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).故 =(2-sin 2,1-cos 2).反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解直角三角形等知识来解决.2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.本 课 结 束