（新高考）2023版高考数学一轮总复习 第5章 第4讲 平面向量的综合应用课件.pptx

1、第五章 平面向量与复数第四讲 平面向量的综合应用 知识梳理双基自测 考点突破互动探究 名师讲坛素养提升 知识梳理双基自测 知识点一 向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 ab_，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0 ab x1y2x2y10 问题类型 所用知识 公式表示 垂直问题 数量积的运算性质 ab_，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos _(为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义|a|_，其中a(x，y)，a为

2、非零向量 ab0 x1x2y1y2 0ab|a|b|a2 x2y2 用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题设向量 向量问题运算 解决向量问题还原 解决几何问题知识点二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体知识点三 向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题 1若 G 是ABC 的重心，则GA GB GC 0.2若直线 l 的方程为 AxByC0，

3、则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(B，A)与直线 l 平行题组一 走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若ABAC，则 A，B，C 三点共线()(2)在ABC 中，若ABBC0，则AC(xc，y)，BC(xc，y)，由ACBC1，得(xc)(xc)yy1，即 x2y2c210，点 C 的轨迹为圆故选 A(2)解法 1：由题意，得 F(1,0)，设 P(x0，y0)，则有x204y2031，解得 y2031x204，因为FP(x01，y0)，OP(x0，y0)，所以OP FPx0(x01)y20 x20 x031x204 x204x03，对应的抛物线的对称轴方程为

4、x02，因为2x02，故当 x02 时，OP FP取得最大值224 236.解法 2：设 A 为椭圆右顶点，则OP FPPO PF|AF|AO|326.向量在解析几何中的“两个”作用：载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；工具作用，利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法 MING SHI DIAN BO 变式训练 2如图，在

5、平面直角坐标系 xOy 中，点 A(3，1)在以原点 O 为圆心的圆上已知圆 O 与 y 轴正半轴的交点为 P，延长 AP 至点 B，使得AOB90，则BPOA _，|BPOA|_.2 2 3 解析 由题可得圆 O 的半径 r 312，所以 P(0，2)，则 AP所在直线方程为 y2 210 3(x0)，即 y 33 x2.设 Bx，33 x2，则OA(3，1)，OB x，33 x2.由AOB90可得OA OB 0，所以 3x 33 x22 33 x20，解得 x 3，所以 B(3，3)，所以BP(3，1)，所以BPOA 3 31(1)2，|BPOA|(2 3，0)|2 3.例3考点三向量与其

6、他知识的交汇师生共研(2021吉林省实验中学高三上第四次月考)已知向量 a(sin x，1)，b3cos x，12，函数 f(x)(ab)a2.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，其中 A 为锐角，a 3，c1，且 f(A)1，求ABC 的面积 S.解析(1)f(x)(ab)a2|a|2ab2sin2x1 3sin xcos x1221cos 2x2 32 sin 2x12 32 sin 2x12cos 2xsin2x6，则22k2x622k(kZ)解得6kx3k(kZ)函数 f(x)的单调递增区间为k6，k3(kZ)(2)f(

7、A)sin2A6 1，A0，2，2A66，56，2A62，A3.又 a2b2c22bccos A，b2，从而 S12bcsin A 32.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值 MING SHI DIAN BO 变式训练 3 在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量mcos B，2cos2C21，n(c，b2a)，且 mn0.

8、(1)求C 的大小；(2)若点 D 为边 AB 上一点，且满足AD DB，|CD|7，c2 3，求ABC 的面积解析(1)因为 m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0，所以ccos B(b2a)cos C0，在ABC 中，由正弦定理得，sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，sin A2sin Acos C，又 sin A0，所以 cos C12，而 C(0，)，所以C3.(2)由AD DB 知，CD CACBCD，所以 2CD CACB，两边平方得4|CD|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又 c2a2b22abcosACB，所以 a2b2ab

9、12.由得 ab8，所以 SABC12absinACB2 3.名师讲坛素养提升 三角形的四“心”及三角形形状的判定一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是ABC 的重心OA OB OC 0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)O 是ABC 的外心|OA|OB|OC|(或OA 2OB 2OC 2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是ABC 的内心OA AB|AB|AC|AC|OB BA|BA|BC|BC|OC CA|

10、CA|CB|CB|0.注意：向量 AB|AB|AC|AC|(0)所在直线过ABC 的内心(是BAC的角平分线所在直线)类型一 平面向量与三角形的“重心”问题已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点 P 满足OP 13(1)OA(1)OB(12)OC，R，则点 P 的轨迹一定经过()AABC 的内心BABC 的垂心CABC 的重心DAB 边的中点C 例4解析 取 AB 的中点 D，则 2OD OA OB，OP 13(1)OA(1)OB(12)OC，OP 132(1)OD(12)OC 213OD 123OC，而2131231，P，C，D 三点共线，点 P 的轨迹一定经过ABC

11、的重心类型二 平面向量与三角形的“外心”问题设 P 是ABC 所在平面内一点，若AB(CBCA)2ABCP，且AB 2AC 22BCAP，则点 P 是ABC 的()A外心B内心C重心D垂心A 例5解析 由AB(CBCA)2ABCP，得AB(CBCA2CP)0，即AB(CBCP)(CACP)0，所以AB(PBPA)0.设 D 为 AB 的中点，则AB2PD 0，故ABPD 0.由AB 2AC 22BCAP，得(ABAC)(ABAC)2BCAP，即(ABAC2AP)BC0.设 E 为 BC 的中点，则(2AE2AP)BC0，则 2PEBC0，故BCPE0.所以 P 为 AB 与 BC 的垂直平分线

12、的交点，所以 P 是ABC 的外心故选 A类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题已知 O 是平面上的一个定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB|AB|cos BAC|AC|cos C，(0，)，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A重心B垂心C外心D内心B 例6解析 因为OP OA AB|AB|cos BAC|AC|cos C，所以APOP OA AB|AB|cos BAC|AC|cos C，所以BCAPBCAB|AB|cos BAC|AC|cos C(|BC|BC|)0，所以BCAP，所以点 P 在 BC 的高线上，即动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂

13、心类型四 平面向量与三角形的“内心”问题在ABC 中，|AB|3，|AC|2，AD 12AB34AC，则直线AD 通过ABC 的()A重心B外心C垂心D内心D 例7解析|AB|3，|AC|2，12|AB|34|AC|32.设AE12AB，AF34AC，则|AE|AF|.AD 12AB34ACAEAF，AD 平分EAF，AD 平分BAC，直线 AD 通过ABC 的内心二、三角形形状的判断在ABC 中，若|AB|AC|，则ABC 为等腰三角形；若ABAC0，则ABC 为直角三角形；若ABAC0，BABC0，且CACB0，则ABC 为锐角三角形；若|ABAC|ABAC|，则ABC 为直角三角形；若(

14、ABAC)BC0，则ABC 为等腰三角形(2022驻马店质检)若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OB OC)(OB OC 2OA)0，则ABC 的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形C 例8分析 通过向量运算从算式中消掉 O.解析 由题意知CB(ABAC)0.所以(ABAC)(ABAC)0，即|AB|AC|，所以ABC 是等腰三角形，故选 C引申(1)若条件改为“|OB OC|OB OC 2OA|”结果如何？(2)若条件改为“AB 2ABACBABCCACB”结果如何？解析(1)OB OC 2OA OB OA OC OA ABAC，OB OC CB ABAC，

15、|ABAC|ABAC|ABAC|2|ABAC|2ABAC0，三角形为直角三角形，故选 B(2)AB 2ABACBABCCACB，AB(ABAC)BC(BACA)，ABCBBC 2，BC(BCAB)0，即BCAC0BCAC，即 C2.ABC 为直角三角形，故选 B变式训练 4(1)若 P 为ABC 所在平面内一点若(OP OA)(ABAC)0，则动点 P 的轨迹必过ABC 的_.若OP OA(ABAC)(0)，则动点 P 的轨迹必过ABC 的_.若CA 2CB 22ABCP，则动点 P 的轨迹必过ABC 的_.垂心 重心 外心(2)已知非零向量AB与AC满足AB|AB|AC|AC|BC0 且 A

16、B|AB|AC|AC|12，则ABC 为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形D 解析(1)由题意知APCB0，APBC，动点 P 必过ABC的垂心；由题意知AP(ABAC)2AM(M 为 BC 中点)P、A、M 共线，P 必过ABC 的重心；2AB CP CB 2CA 2(CB CA)(CB CA)AB(CB CA)，即2ABCP AB(CB CA)，AB(2CP CB CA)AB(BPAP)0.以BP，AP为邻边的平行四边形的对角线互相垂直点 P 在线段 AB 的中垂线上，P 必过ABC 的外心(2)因为非零向量AB与AC 满足AB|AB|AC|AC|BC 0，所以BAC 的平分线垂直于 BC，所以 ABAC又 cos BAC AB|AB|AC|AC|12，所以BAC3.所以ABC 为等边三角形故选 D