（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 等腰三角形.doc

1、等腰三角形 1、（2013新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）A 12 B 15 C 12 或 15 D 18 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析：因为已知长度为 3 和 6 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论 解答：解：当 3 为底时，其它两边都为 6，3、6、6 可以构成三角形，周长为 15；当 3 为腰时，其它两边为 3 和 6，3+3=6=6，不能构成三角形，故舍去，答案只有 15 故选 B 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况

2、是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 2、(2013 年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点 A1，A2在 x 轴上，点 B1，B2在 y 轴上，其坐标分别为 A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以 A1A2B1B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A）3 4.(B)1 3.(C)23.(D)1 2.答案：D 解析：以 A1A2B1B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，能作 4 个，其中 A1B1O，A2B2O 为等腰三角形，共 2 个，故概率为：1 2 3、(2013 年武汉)如图，ABC 中，ABAC，A3

3、6，BD 是 AC边上的高，则DBC 的度数是（）A18 B24 C30 D36 第6题图DCBA答案：A 解析：因为 ABAC，所以，CABC 12（18036）72，又 BD 为高，所以，DBC907218 4、（2013 四川南充，3，3 分）如图，ABC 中，AB=AC,B=70，则A 的度数是（）A.70 B.55 C.50 D.40 答案：D 解析：因为 AB=AC，所以CB=70，A=180707040 5、（2013宁波）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=，BC=4，连结 BD，BAD 的平分线交 BD 于点 E，且 AECD，则 AD 的长为（）考点：梯形；等腰三角形

4、的判定与性质 分析：延长 AE 交 BC 于 F，根据角平分线的定义可得BAF=DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得DAF=AFB，然后求出BAF=AFB，再根据等角对等边求出 AB=BF，然后求出 FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形 AFCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答 解答：解：延长 AE 交 BC 于 F，AE 是BAD 的平分线，BAF=DAF，AECD，DAF=AFB，BAF=AFB，AB=BF，AB=，BC=4，CF=4=，ADBC，AECD，四边形 AFCD 是平行四边形，AD=CF=故选 B 点评：本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质

5、，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线 6、（2013攀枝花）如图，在ABC 中，CAB=75，在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到ABC的位置，使得 CCAB，则BAB=（）A 30 B 35 C 40 D 50 考点：旋转的性质 分析：根据旋转的性质可得 AC=AC，BAC=BAC，再根据两直线平行，内错角相等求出ACC=CAB，然后利用等腰三角形两底角相等求出CAC，再求出BAB=CAC，从而得解 解答：解：ABC 绕点 A 旋转到ABC的位置，AC=AC，BAC=BAC，CCAB，CAB=75，ACC=CAB=75，CAC=1802ACC=180275=30，

6、BAB=BACBAC，CAC=BACBAC，BAB=CAC=30 故选 A 点评：本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质 7、（2013广安）等腰三角形的一条边长为 6，另一边长为 13，则它的周长为（）A 25 B 25 或 32 C 32 D 19 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系3718684 分析：因为已知长度为 6 和 13 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论 解答：解：当 6 为底时，其它两边都为 13，6、13、13 可以构成三角形，周长为 32；当 6 为腰时，其

7、它两边为 6 和 13，6+613，不能构成三角形，故舍去，答案只有 32 故选 C 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 8、（2013 泰安）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，BAD 的平分线与 BC 的延长线交于点E，与 DC 交于点 F，且点 F 为边 DC 的中点，DGAE，垂足为 G，若 DG=1，则 AE 的边长为（）A2 B4 C4 D8 考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理

8、专题：计算题 分析：由 AE 为角平分线，得到一对角相等，再由 ABCD 为平行四边形，得到 AD 与 BE 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到 AD=DF，由 F 为 DC中点，AB=CD，求出 AD 与 DF 的长，得出三角形 ADF 为等腰三角形，根据三线合一得到 G 为AF 中点，在直角三角形 ADG 中，由 AD 与 DG 的长，利用勾股定理求出 AG 的长，进而求出 AF的长，再由三角形 ADF 与三角形 ECF 全等，得出 AF=EF，即可求出 AE 的长 解答：解：AE 为ADB 的平分线，DAE=BAE，DCAB，BAE=DFA，DAE=D

9、FA，AD=FD，又 F 为 DC 的中点，DF=CF，AD=DF=DC=AB=2，在 RtADG 中，根据勾股定理得：AG=，则 AF=2AG=2，在ADF 和ECF 中，ADFECF（AAS），AF=EF，则 AE=2AF=4 故选 B 点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键 9、（2013莱芜）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（1，），M 为坐标轴上一点，且使得MOA 为等腰三角形，则满足条件的点 M 的个数为（）A 4 B 5 C 6 D 8 考点：等腰三角形的判定；坐

10、标与图形性质 专题：数形结合 分析：作出图形，利用数形结合求解即可 解答：解：如图，满足条件的点 M 的个数为 6 故选 C 点评：本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观 10、（2013 德州）如图，ABCD，点 E 在 BC 上，且 CD=CE，D=74，则B 的度数为（）A 68 B 32 C 22 D 16 考点：平行线的性质；等腰三角形的性质 分析：根据等腰三角形两底角相等求出C 的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可 解答：解：CD=CE，D=DEC，D=74，C=180742=32，ABCD，B=C=32 故选 B 点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性

11、质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键 11、（2013徐州）若等腰三角形的顶角为 80，则它的底角度数为（）A 80 B 50 C 40 D 20 考点：等腰三角形的性质 分析：根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解 解答：解：等腰三角形的顶角为 80，它的底角度数为（18080）=50 故选 B 点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题 12、（2013张家界）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（）A 矩形 B 正方形 C 菱形 D 直角梯形 考点：中点四边形3718684 分析：根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形 解答：

12、解：如图，已知：等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H 分别是各边的中点，求证：四边形 EFGH 是菱形 证明：连接 AC、BD E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF=AC 同理 FG=BD，GH=AC，EH=BD，又四边形 ABCD 是等腰梯形，AC=BD，EF=FG=GH=HE，四边形 EFGH 是菱形 故选 C 点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形 13、（2013淮安）若等腰三角形有两条边的长度为 3 和 1，则此等腰三角形

13、的周长为（）A 5 B 7 C 5 或 7 D 6 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系3718684 分析：因为已知长度为 3 和 1 两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论 解答：解：当 3 为底时，其它两边都为 1，1+13，不能构成三角形，故舍去，当 3 为腰时，其它两边为 3 和 1，3、3、1 可以构成三角形，周长为 7 故选 B 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 14、（2013孝感）如图，在ABC 中，AB=A

14、C=a，BC=b（ab）在ABC 内依次作CBD=A，DCE=CBD，EDF=DCE则 EF 等于（）A B C D 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 分析：依次判定ABCBDCCDEDFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出 EF 的长度 解答：解：AB=AC，ABC=ACB，又CBD=A，ABCBDC，同理可得：ABCBDCCDEDFE，=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=故选 C 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错 15、（2013 成都市）如图，在中，BC，

15、AB=5,则 AC 的长为（）A.2 B.3 C.4 D.5 答案：D 解析：由BC，得 ACAB5（等角对等边），故选 D 16、（2013宜昌）如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，AC，BD 相交于点 O，则图中等腰三角形的个数是（）A 8 B 6 C 4 D 2 考点：等腰三角形的判定；矩形的性质 分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得 AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形 解答：解：四边形 ABCD 是矩形，AO=BO=CO=DO，ABO，BCO，DCO，ADO 都是等腰三角形，故选：C 点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平

16、分 17、（2013 哈尔滨）如图，在ABCD 中，AD=2AB，CE 平分BCD 交 AD 边于点 E，且 AE=3，则 AB 的长为()(A)4 (B)3 (C)52 (D)2 考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定 分析：本题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键 解答：根据 CECE 平分BCD 得BCE=ECD,ADBC 得BCE=DEC 从而DCE 为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得 AB=3 故选 B 18、（2013毕节地区）已知等腰三角形的一边长为 4，

17、另一边长为 8，则这个等腰三角形的周长为（）A 16 B 20 或 16 C 20 D 12 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析：因为已知长度为 4 和 8 两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论 解答：解：当 4 为底时，其它两边都为 8，4、8、8 可以构成三角形，周长为 20；当 4 为腰时，其它两边为 4 和 8，4+4=8，不能构成三角形，故舍去，答案只有 20 故选 C 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 1

18、9、（2013钦州）等腰三角形的一个角是 80，则它顶角的度数是（）A 80 B 80或 20 C 80或 50 D 20 考点：等腰三角形的性质3718684 专题：分类讨论 分析：分 80角是顶角与底角两种情况讨论求解 解答：解：80角是顶角时，三角形的顶角为 80，80角是底角时，顶角为 180 802=20，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80或 20 故选 B 点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解 20、（2013 年广州市）如图 5，四边形 ABCD 是梯形，ADBC，CA 是BCD的平分线，且,4,6,ABAC ABAD则 tan B=（）A2

19、 3 B2 2 C114 D 5 54 分析：先判断 DA=DC，过点 D 作 DEAB，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，由等腰三角形的性质，可得点 F 是 AC 中点，继而可得 EF 是CAB 的中位线，继而得出 EF、DF 的长度，在 RtADF 中求出 AF，然后得出 AC，tanB 的值即可计算 解：CA 是BCD 的平分线，DCA=ACB，又ADBC，ACB=CAD，DAC=DCA，DA=DC，过点 D 作 DEAB，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，ABAC，DEAC（等腰三角形三线合一的性质），点 F 是 AC 中点，AF=CF，EF 是CAB 的中位线，EF=AB

20、=2，=1，EF=DF=2，在 RtADF 中，AF=4，则 AC=2AF=8，tanB=2故选 B 点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点 F 是 AC 中点，难度较大 21、（2013 台湾、31）如图，甲、乙两人想在正五边形 ABCDE 内部找一点 P，使得四边形 ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接 BD、CE，两线段相交于 P 点，则 P 即为所求（乙）先取 CD 的中点 M，再以 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 AM 于 P 点，则 P 即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A两人皆正确

21、 B两人皆错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确 考点：平行四边形的判定 分析：求出五边形的每个角的度数，求出ABP、AEP、BPE 的度数，根据平行四边形的判定判断即可 解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，正五边形的每个内角的度数是=108，AB=BC=CD=DE=AE，DEC=DCE=（180108）=36，同理CBD=CDB=36，ABP=AEP=10836=72，BPE=3601087272=108=A，四边形 ABPE 是平行四边形，即甲正确；BAE=108，BAM=EAM=54，AB=AE=AP，ABP=APB=（18054）=63，AEP=APE=63，BPE=360108

22、6363108，即ABP=AEP，BAEBPE，四边形 ABPE 不是平行四边形，即乙错误；故选 C 点评：本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形 22、（2013 台湾、20）如图，长方形 ABCD 中，M 为 CD 中点，今以 B、M 为圆心，分别以 BC长、MC 长为半径画弧，两弧相交于 P 点若PBC=70，则MPC 的度数为何？（）A20 B35 C40 D55 考点：矩形的性质；等腰三角形的性质 分析：根据等腰三角形两底角相等求出BCP，然后求出MCP，再根据等边对等角求解即可 解答

23、：解：以 B、M 为圆心，分别以 BC 长、MC 长为半径的两弧相交于 P 点，BP=PC，MP=MC，PBC=70，BCP=（180PBC）=（18070）=55，在长方形 ABCD 中，BCD=90，MCP=90BCP=9055=35，MPC=MCP=35 故选 B 点评：本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，是基础题 23、（2013滨州）在等腰ABC 中，AB=AC，A=50，则B=65 考点：等腰三角形的性质 分析：根据等腰三角形性质即可直接得出答案 解答：解：AB=AC，B=C，A=50，B=（18050）2=65 故答案为：65 点评：本

24、题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题 24、（2013雅安）若（a1）2+|b2|=0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 5 考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系 专题：分类讨论 分析：先根据非负数的性质列式求出 a、b 再分情况讨论求解即可 解答：解：根据题意得，a1=0，b2=0，解得 a=1，b=2，若 a=1 是腰长，则底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2，1+1=2，不能组成三角形，若 a=2 是腰长，则底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5 故答案为：5

25、 点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解 25、（2013黄冈）已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点 A 在其图象上，点 B为 x 轴正半轴上一点，连接 AO、AB，且 AO=AB，则 SAOB=6 考点：反比例函数系数 k 的几何意义；等腰三角形的性质3481324 分析：根据等腰三角形的性质得出 CO=BC，再利用反比例函数系数 k 的几何意义得出 SAOB即可 解答：解：过点 A 作 ACOB 于点 C，AO=AB，CO=BC，点 A 在其图象上，ACCO=3，ACBC=3，SAOB=6 故答案为：6 点评：此题主要考查了等腰三角形

26、的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确分割AOB是解题关键 26、（2013绍兴）如图钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，则A 的度数是 12 考点：等腰三角形的性质3718684 分析：设A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出AP7P8，AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解 解答：解：设A=x，AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，A=AP2P1=AP13P14=x，P2P1P3=P13P14P12=2x，P2P3P4=P13P12P10=3x，P7P

27、6P8=P8P9P7=7x，AP7P8=7x，AP8P7=7x，在AP7P8中，A+AP7P8+AP8P7=180，即 x+7x+7x=180，解得 x=12，即A=12 故答案为：12 点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大 27、（2013黄冈）已知ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长 BC 至 E，使 CE=CD=1，连接DE，则 DE=考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质3481324 分析：根据等腰三角形和三角形外角性质求出 BD=DE，求出 BC，在 RtBDC 中，由勾股定理求出 BD 即

28、可 解答：解：ABC 为等边三角形，ABC=ACB=60，AB=BC，BD 为中线，DBC=ABC=30，CD=CE，E=CDE，E+CDE=ACB，E=30=DBC，BD=DE，BD 是 AC 中线，CD=1，AD=DC=1，ABC 是等边三角形，BC=AC=1+1=2，BDAC，在 RtBDC 中，由勾股定理得：BD=，即 DE=BD=，故答案为：点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出 DE=BD 和求出 BD 的长 28、（2013昆明）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，3），在坐标轴上找一点 P，使得AOP 是等

29、腰三角形，则这样的点 P 共有 8 个 考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质 专题：数形结合 分析：建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点 P 的位置，即可得解 解答：解：如图所示，使得AOP 是等腰三角形的点 P 共有 8 个 故答案为：8 点评：本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观 29、（2013荆门）若等腰三角形的一个角为 50，则它的顶角为 80或 50 考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理3718684 分析：已知给出了一个内角是 50，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立

30、解答：解：当该角为顶角时，顶角为 50；当该角为底角时，顶角为 80 故其顶角为 50或 80 故填 50或 80 点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键 30、（2013 凉山州）已知实数 x，y 满足，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系 专题：分类讨论 分析：先根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，再分 4 是腰长与底边两种情况讨论求解 解答：解：根据题意得，x4=0，y8=0，解

31、得 x=4，y=8，4 是腰长时，三角形的三边分别为 4、4、8，4+4=8，不能组成三角形，4 是底边时，三角形的三边分别为 4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为 20 故答案为：20 点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都等于 0 求出 x、y 的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断 31、（2013白银）等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边为 6，4 或 5，5 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析：此题分为两种情况：6 是等

32、腰三角形的腰或 6 是等腰三角形的底边然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形 解答：解：当腰是 6 时，则另两边是 4，6，且 4+66，满足三边关系定理；当底边是 6 时，另两边长是 5，5，5+56，满足三边关系定理，故该等腰三角形的另两边为：6，4 或 5，5 故答案为：6，4 或 5，5 点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中 32、（2013 凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动，当ODP 是腰长为 5

33、 的等腰三角形时，点 P 的坐标为 考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理 专题：动点型 分析：当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论 解答：解：由题意，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图所示，PD=OD=5，点 P 在点 D 的左侧 过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=4 在 RtPDE 中，由勾股定理得：DE=3，OE=ODDE=53=2，此时点 P 坐标为（2，4）；（2）如答图所示，OP=OD=5 过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=4 在 RtPOE 中，由勾股定理得：OE=3，此时点 P

34、坐标为（3，4）；（3）如答图所示，PD=OD=5，点 P 在点 D 的右侧 过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=4 在 RtPDE 中，由勾股定理得：DE=3，OE=OD+DE=5+3=8，此时点 P 坐标为（8，4）综上所述，点 P 的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏 33、（2013牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为 8 厘米，底边为 6 厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是 1：2 的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的

35、其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm 或cm 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质3718684 专题：分类讨论 分析：设平行四边形的短边为 xcm，分两种情况进行讨论，若 BE 是平行四边形的一个短边，若 BD 是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出 x 的值 解答：解：如图 AB=AC=8cm，BC=6cm，设平行四边形的短边为 xcm，若 BE 是平行四边形的一个短边，则 EFBC，=，解得 x=2.4 厘米，若 BD 是平行四边形的一个短边，则 EFAB，=，解得 x=cm，综上所述短边为 2.4cm 或cm 点评：

36、本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形，结合图形很容易解答 34、（2013眉山）如图，BAC=DAF=90，AB=AC，AD=AF，点 D、E 为 BC 边上的两点，且DAE=45，连接 EF、BF，则下列结论：AEDAEF；ABEACD；BE+DCDE；BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个 A 1 B 2 C 3 D 4 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 分析：根据DAF=90，DAE=45，得出FAE=45，利用 SAS 证明AEDAEF，判定正确；如果ABEACD，那么BAE=CAD，由ABE=C=45，则AED=

37、ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定错误；先由BAC=DAF=90，得出CAD=BAF，再利用 SAS 证明ACDABF，得出CD=BF，又知 DE=EF，那么在BEF 中根据三角形两边之和大于第三边可得 BE+BFEF，等量代换后判定正确；先由ACDABF，得出C=ABF=45，进而得出EBF=90，然后在 RtBEF 中，运用勾股定理得出 BE2+BF2=EF2，等量代换后判定正确 解答：解：DAF=90，DAE=45，FAE=DAFDAE=45 在AED 与AEF 中，AEDAEF（SAS），正确；BAC=90，AB=AC，ABE=C=45 点 D、E 为 BC 边上的两点，

38、DAE=45，AD 与 AE 不一定相等，AED 与ADE 不一定相等，AED=45+BAE，ADE=45+CAD，BAE 与CAD 不一定相等，ABE 与ACD 不一定相似，错误；BAC=DAF=90，BACBAD=DAFBAD，即CAD=BAF 在ACD 与ABF 中，ACDABF（SAS），CD=BF，由知AEDAEF，DE=EF 在BEF 中，BE+BFEF，BE+DCDE，正确；由知ACDABF，C=ABF=45，ABE=45，EBF=ABE+ABF=90 在 RtBEF 中，由勾股定理，得 BE2+BF2=EF2，BF=DC，EF=DE，BE2+DC2=DE2，正确 所以正确的结论

39、有 故选 C 点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度 35、（2013黔西南州）如图，已知ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E=15 度 考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质 分析：根据等边三角形三个角相等，可知ACB=60，根据等腰三角形底角相等即可得出E的度数 解答：解：ABC 是等边三角形，ACB=60，ACD=120，CG=CD，CDG=30，FDE=150，DF=DE，E=15 故答

40、案为：15 点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180以及等腰三角形的性质，难度适中 36、（2013玉林）如图，在直角坐标系中，O 是原点，已知 A（4，3），P 是坐标轴上的一点，若以 O，A，P 三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 6 个，写出其中一个点 P 的坐标是（5，0）考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质3718684 专题：数形结合 分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点 P 的坐标即可 解答：解：如图所示，满足条件的点 P 有 6 个，分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（5，0）（0，5）故答案为：

41、6；（5，0）（答案不唯一，写出 6 个中的一个即可）点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便 37、（2013宁夏）如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=，将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转后得到EDC，此时点 D 在 AB 边上，则旋转角的大小为 2a 考点：旋转的性质3718684 分析：由在 RtABC 中，ACB=90，A=，可求得：B=90，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得CDB=B=90，然后由三角形内角和定理，求得答案 解答：解：在 RtABC 中，ACB=90，A=，B=90，由旋转的性质可得：CB=CD，

42、CDB=B=90，BCD=180BCDB=2 即旋转角的大小为 2 故答案为：2 点评：此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用 38、（2013 菏泽）如图，ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，AEB=45，BD=2，将ABC沿 AC 所在直线翻折 180到其原来所在的同一平面内，若点 B 的落点记为 B，则 DB的长为 考点：平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）分析：如图，连接 BB根据折叠的性质知BBE 是等腰直角三角形，则 BB=BE又BE 是 BD 的中垂线，则 D

43、B=BB 解答：解：四边形 ABCD 是平行四边形，BD=2，BE=BD=1 如图 2，连接 BB 根据折叠的性质知，AEB=AEB=45，BE=BE BEB=90，BBE 是等腰直角三角形，则 BB=BE=又BE=DE，BEBD，DB=BB=故答案是：点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）推知 DB=BB是解题的关键 39、（2013 菏泽）如图所示，在ABC 中，BC=6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，动点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于 D，CBP 的平分线交 CE 于 Q，当 CQ=CE 时，EP+BP=12 考点：相似三角形

44、的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理 分析：延长 BQ 交射线 EF 于 M，根据三角形的中位线平行于第三边可得 EFBC，根据两直线平行，内错角相等可得M=CBM，再根据角平分线的定义可得PBM=CBM，从而得到M=PBM，根据等角对等边可得 BP=PM，求出 EP+BP=EM，再根据 CQ=CE 求出 EQ=2CQ，然后根据MEQ 和BCQ 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可 解答：解：如图，延长 BQ 交射线 EF 于 M，E、F 分别是 AB、AC 的中点，EFBC，M=CBM，BQ 是CBP 的平分线，PBM=CBM，M=PBM，BP=PM，EP+BP=E

45、P+PM=EM，CQ=CE，EQ=2CQ，由 EFBC 得，MEQBCQ，=2，EM=2BC=26=12，即 EP+BP=12 故答案为：12 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长 BQ 构造出相似三角形，求出 EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点 40、(2013 年江西省)如图，ABCD 与DCFE 的周长相等，且BAD=60，F=110，则DAE 的度数为 【答案】25.【考点解剖】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质【解题思路】已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边 CD,则有 AD=DE,即ADE 为等腰

46、三角形，顶角ADE=BCF=60+70=130,DAE=25【解答过程】ABCD 与DCFE 的周长相等，且有公共边 CD，AD=DE,ADE=BCF=60+70=130.DAE=11(180)502522ADE .【方法规律】先要明确DAE 的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，分别将BAD=130转化为BCD=130,F=110转化为DCF=70,从而求得ADE=BCF=130.【关键词】平行四边形 等腰三角形 周长 求角度 41、（2013十堰）如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，AB=AC，BD=CE求证：AD=AE 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角

47、形的性质3718684 专题：证明题 分析：利用等腰三角形的性质得到B=C，然后证明ABDACE 即可证得结论 解答：证明：AB=AC，B=C，在ABD 与ACE 中，ABDACE（SAS），AD=AE 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到B=C 42、（2013株洲）已知在ABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P（1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：APQABC；（2）当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的

48、长 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理3718684 分析：（1）由两对角相等（APQ=C，A=A），证明APQABC；（2）当PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论（I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示由三角形相似（APQABC）关系计算 AP 的长；（II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示利用角之间的关系，证明点 B为线段 AP 的中点，从而可以求出 AP 解答：（1）证明：A+APQ=90，A+C=90，APQ=C 在APQ 与ABC 中，APQ=C，A=A，APQABC （2）解：在 RtABC

49、 中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5 BPQ 为钝角，当PQB 为等腰三角形时，只可能是 PB=PQ（I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示 由（1）可知，APQABC，即，解得：PB=，AP=ABPB=3=；（II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示 BP=BQ，BQP=P，BQP+AQB=90，A+P=90，AQB=A，BQ=AB，AB=BP，点 B 为线段 AB 中点，AP=2AB=23=6 综上所述，当PQB 为等腰三角形时，AP 的长为 或 6 点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大第（2）问中，当PQB 为等腰三角形时，有

50、两种情况，需要分类讨论，避免漏解 43、（2013 杭州）（1）先求解下列两题：如图，点 B，D 在射线 AM 上，点 C，E 在射线AN 上，且 AB=BC=CD=DE，已知EDM=84，求A 的度数；如图，在直角坐标系中，点 A 在 y 轴正半轴上，ACx 轴，点 B，C 的横坐标都是 3，且BC=2，点 D 在 AC 上，且横坐标为 1，若反比例函数的图象经过点 B，D，求 k的值（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出 考点：等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 分析：（1）根据等边对等角可得A=BCA，CBD=BDC，ECD=CED，再根据三角形的一个外角等

51、于与它不相邻的两个内角的和可得A+BCA=CBD，A+CDB=ECD，A+CED=EDM，然后用A 表示出EDM，计算即可求解；先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点 B 的坐标，再表示出点 C 的坐标，然后根据 ACx 轴可得点 C、D 的纵坐标相同，从而表示出点 D 的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解（2）从数学思想上考虑解答 解答：解：（1）AB=BC=CD=DE，A=BCA，CBD=BDC，ECD=CED，根据三角形的外角性质，A+BCA=CBD，A+CDB=ECD，A+CED=EDM，又EDM=84，A+3A=84，解得，A=21；点 B 在反比例函数 y=图象上，

52、点 B，C 的横坐标都是 3，点 B（3，），BC=3，点 C（3，+2），ACx 轴，点 D 在 AC 上，且横坐标为 1，A（1，+2），点 A 也在反比例函数图象上，+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法（开放题）点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题 44、（13 年安徽省 4 分、14）已知矩形纸片 ABCD 中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕 EF 不经过 A 点（E、F 是该矩形边界上的点），折叠后点 A 落在 A，

53、处，给出以下判断：（1）当四边形 A，CDF 为正方形时，EF=2 （2）当 EF=2 时，四边形 A，CDF 为正方形（3）当 EF=5 时，四边形 BA，CD 为等腰梯形；（4）当四边形 BA，CD 为等腰梯形时，EF=5。其中正确的是 （把所有正确结论序号都填在横线上）。45、（2013益阳）如图 1，在ABC 中，A=36，AB=AC，ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，将AEF 绕点 A 逆时针旋转角（0144）得到AEF，连结 CE，BF，求证：CE=BF；（3）在（2）的旋转过程中是否存在 C

54、EAB？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由 考点：旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定 分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：EAC=FAB，AE=AF，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据当点 E 的像 E与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，当点E 的像 E与点 N 重合时，求出 即可 解答：（1）证明：AB=BC，A=36，ABC=C=72，又BE 平分ABC，ABE=CBE=36，BEC=180CCBE=72，ABE=A，BEC=C，AE=BE，BE=BC，AE=BC （2）

55、证明：AC=AB 且 EFBC，AE=AF；由旋转的性质可知：EAC=FAB，AE=AF，在CAE和BAF中，CAEBAF，CE=BF （3）存在 CEAB，理由：由（1）可知 AE=BC，所以，在AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，E 点经过的路径（圆弧）与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 交于 M、N 两点，如图：当点 E 的像 E与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，BAM=ABC=72，又BAC=36，=CAM=36 当点 E 的像 E与点 N 重合时，由 ABl 得，AMN=BAM=72，AM=AN，ANM=AMN=72，MAN=180272=36，=CAN=CAM+

56、MAN=72 所以，当旋转角为 36或 72时，CEAB 点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键 46、（2013嘉兴）小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图 1，直线 a，b 所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图 2，画 PCa，量出直线 b 与 PC 的夹角度数，即直线 a，b 所成角的度数 （1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图 3）：以 P 为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线 b，PC 于点 A，D；连结 AD 并延长

57、交直线 a 于点 B，请写出图 3 中所有与PAB 相等的角，并说明理由；（3）请在图 3 画板内作出“直线 a，b 所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹 考点：作图应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质 分析：（1）根据平行线的性质得出即可；（2）根据题意，有 3 个角与PAB 相等由等腰三角形的性质，可知PAB=PDA；又对顶角相等，可知BDC=PDA；由平行线性质，可知PDA=1因此PAB=PDA=BDC=1；（3）作出线段 AB 的垂直平分线 EF，由等腰三角形的性质可知，EF 是顶角的平分线，故 EF 即为所求作的图形 解答：解：

58、（1）PCa（两直线平行，同位角相等）；（2）PAB=PDA=BDC=1，如图，PA=PD，PAB=PDA，BDC=PDA（对顶角相等），又PCa，PDA=1，PAB=PDA=BDC=1；（3）如图，作线段 AB 的垂直平分线 EF，则 EF 是所求作的图形 点评：本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质，（2）等腰三角形的性质，（3）对顶角的性质，（4）垂直平分线的性质等本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答 47、（2013 杭州）如图，

59、在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，线段 AG，BG 分别交 CD 于点 E，F，DE=CF 求证：GAB 是等腰三角形 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定 专题：证明题 分析：由在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，DE=CF，利用 SAS，易证得ADEBCF，即可得DAE=CBF，则可得GAB=GBA，然后由等角对等边，证得：GAB 是等腰三角形 解答：证明：在等腰梯形中 ABCD 中，AD=BC，D=C，DAB=CBA，在ADE 和BCF 中，ADEBCF（SAS），DAE=CBF，GAB=GBA，GA=GB，即GAB 为等腰三角形 点评：此题考查了等腰梯形的性

60、质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 48、（2013荆门）如图 1，在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上（1）求证：BE=CE；（2）如图 2，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BFAC，垂足为 F，BAC=45，原题设其它条件不变求证：AEFBCF 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质3718684 专题：证明题 分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得BAE=EAC，然后利用“边角边”证明ABE 和ACE 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）先判定ABF 为等腰直角三角

61、形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出EAF=CBF，然后利用“角边角”证明AEF 和BCF 全等即可 解答：证明：（1）AB=AC，D 是 BC 的中点，BAE=EAC，在ABE 和ACE 中，ABEACE（SAS），BE=CE；（2）BAC=45，BFAF，ABF 为等腰直角三角形，AF=BF，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，ADBC，EAF+C=90，BFAC，CBF+C=90，EAF=CBF，在AEF 和BCF 中，AEFBCF（ASA）点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角

62、相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键 49、（2013 哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点 0 为坐标原点，A 点的坐标为(3，0)，以 0A 为边作等边三角形 OAB，点 B 在第一象限，过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C动点 P从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动，动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动，P,Q 两点同时出发，速度均为 1 个单位秒。设运动时间为 t 秒 (1)求线段 BC 的长；(2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E，过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。设线段 EF 的长为 m，求 m 与 t 之间的

63、函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围：(3)在(2)的条件下，将BEF 绕点 B 逆时针旋转得到BE1F1,使点 E 的对应点 E1落在线段 AB 上，点 F 的对应点是 F1，E1F1交 x 轴于点 G，连接 PF、QG，当 t 为何值时，2BQ-PF=33QG?考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程 分析：（1）由AOB 为等边三角形得ACB=OBC=300，由此 CO=OB=AB=OA=3，在 RTABC 中，AC 为 6，从而 BC=3 3 （2）过点 Q 作 QN0B 交 x轴于点 N，先证AQN 为等边

64、三角形，从而 NQ=NA=AQ=3-t，NON=3-(3-t)=t PN=t+t=2t，再由POEPNQ 后 对应边成比例计算得3122OEt再由 EF=BE 易得出 m与 t 之间的函数关系式(3)先证AEG 为等边三角形，再证QGA=900 通过两边成比例夹角相等得FCPBCA 再用含 t 的式子表示 BQ、PF、QG 通过解方程求出 解答：(1)解：如图 lAOB 为等边三角形 BAC=AOB=60。BCAB ABC=900 ACB=300OBC=300 ACB=OBC CO=OB=AB=OA=3 AC=6 BC=32AC=3 3 (2)解：如图 l 过点 Q 作 QN0B 交 x 轴于

65、点 N QNA=BOA=600=QAN QN=QA AQN 为等边三角形 NQ=NA=AQ=3-t NON=3-(3-t)=t PN=t+t=2t OEQNPOEPNQ OEPOQNPN 132OEt 3122OEt EFx 轴 BFE=BCO=FBE=300 EF=BEm=BE=OB-OE1322t(0t3)(3)解：如图 2 11180120BE FBEFEBFEFB AEG=600=EAG GE1=GA AEG 为等边三角形 1113312222QEBEBQmtttt 11113122QEGAAEABBEBQtQE l=2 3=4 l+2+3+4=18002+3=900 即QGA=900

66、 EFOC BFBEBCBO33 333223 3BFmBFmt313322BCCF 3CPCOOPt 313332263 3tCFtCPCBCA FCP=BCA FCPBCA 32PFCPtPFABCA2BQPF=33QG 33312(33)2322tttt=1当 t=1 时，2BQPF=33QG 50、（2013牡丹江）已知ACD=90，MN 是过点 A 的直线，AC=DC，DBMN 于点 B，如图（1）易证 BD+AB=CB，过程如下：过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E ACB+BCD=90，ACB+ACE=90，BCD=ACE 四边形 ACDB 内角和为 360，B

67、DC+CAB=180 EAC+CAB=180，EAC=BDC 又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB 为等腰直角三角形，BE=CB 又BE=AE+AB，BE=BD+AB，BD+AB=CB（1）当 MN 绕 A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明（2）MN 在绕点 A 旋转过程中，当BCD=30，BD=时，则 CD=2，CB=+1 考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质3718684 分析：（1）过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E，证明ACEDCB，则ECB 为等

68、腰直角三角形，据此即可得到 BE=CB，根据 BE=ABAE 即可证得；（2）过点 B 作 BHCD 于点 H，证明BDH 是等腰直角三角形，求得 DH 的长，在直角BCH 中，利用直角三角形中 30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得 解答：（1）如图（2）：ABBD=CB 证明：过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E，ACD=90，ACE=90DCE，BCD=90ECD，BCD=ACE DBMN，CAE=90AFC，D=90BFD，AFC=BFD，CAE=D，又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB 为等腰直角三角形，BE=CB 又BE=ABAE，B

69、E=ABBD，ABBD=CB 如图（3）：BDAB=CB 证明：过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E，ACD=90，ACE=90+ACB，BCD=90+ACB，BCD=ACE DBMN，CAE=90AFB，D=90CFD，AFB=CFD，CAE=D，又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB 为等腰直角三角形，BE=CB 又BE=AEAB，BE=BDAB，BDAB=CB （2）如图（1），过点 B 作 BHCD 于点 H，ABC=45，DBMN，CBD=135，BCD=30，CBH=60，DBH=75，D=15，BH=BDsin45，BDH 是等腰直角三角形，

70、DH=BH=BD=1，BCD=30 CD=2DH=2，CH=，CB=CH+BH=+1；点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等 51、（2013绥化压轴题）如图，直线 MN 与 x 轴，y 轴分别相交于 A，C 两点，分别过 A，C两点作 x 轴，y 轴的垂线相交于 B 点，且 OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程 x214x+48=0 的两个实数根（1）求 C 点坐标；（2）求直线 MN 的解析式；（3）在直线 MN 上存在点 P，使以点 P，B，C 三点为顶点的三

71、角形是等腰三角形，请直接写出 P 点的坐标 考点：一次函数综合题 分析：（1）通过解方程 x214x+48=0 可以求得 OC=6，OA=8则 C（0，6）；（2）设直线 MN 的解析式是 y=kx+b（k0）把点 A、C 的坐标分别代入解析式，列出关于系数 k、b 的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（3）需要分类讨论：PB 为腰，PB 为底两种情况下的点 P 的坐标根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答 解答：解：（1）解方程 x214x+48=0 得 x1=6，x2=8 OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程 x214x+48=0 的两个实

72、数根，OC=6，OA=8 C（0，6）；（2）设直线 MN 的解析式是 y=kx+b（k0）由（1）知，OA=8，则 A（8，0）点 A、C 都在直线 MN 上，解得，直线 MN 的解析式为 y=x+6；（3）A（8，0），C（0，6），根据题意知 B（8，6）点 P 在直线 MNy=x+6 上，设 P（a，a+6）当以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：当 PC=PB 时，点 P 是线段 BC 的中垂线与直线 MN 的交点，则 P1（4，3）；当 PC=BC 时，a2+（a+66）2=64，解得，a=，则 P2（，），P3（，）；当 PB=BC 时，（a8）2+（

73、a+66）2=64，解得，a=，则 a+6=，P4（，）综上所述，符合条件的点 P 有：P1（4，3），P2（，）P3（，），P4（，）点评：本题考查了一次函数综合题其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想 52、（2013郴州）如图，ABC 中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P 为 AC 边上一动点，设 PC=x，作 PEAB 交 BC 于 E，PFBC 交 AB 于 F（1）证明：PCE 是等腰三角形；（2）EM、FN、BH 分别是PEC、AF

74、P、ABC 的高，用含 x 和 k 的代数式表示 EM、FN，并探究 EM、FN、BH 之间的数量关系；（3）当 k=4 时，求四边形 PEBF 的面积 S 与 x 的函数关系式x 为何值时，S 有最大值？并求出 S 的最大值 考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形3718684 分析：（1）根据等边对等角可得A=C，然后根据两直线平行，同位角相等求出CPE=A，从而得到CPE=C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出 CM=CP，然后求出 EM，同理求出 FN、BH的长，再根据结果整理可得 EM+FN=BH；（3）分别求出 EM、FN、BH，然后根据 SPCE

75、，SAPF，SABC，再根据 S=SABCSPCESAPF，整理即可得到 S 与 x 的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答 解答：（1）证明：AB=BC，A=C，PEAB，CPE=A，CPE=C，PCE 是等腰三角形；（2）解：PCE 是等腰三角形，EMCP，CM=CP=，tanC=tanA=k，EM=CMtanC=k=，同理：FN=ANtanA=k=4k，由于 BH=AHtanA=8k=4k，而 EM+FN=+4k=4k，EM+FN=BH；（3）解：当 k=4 时，EM=2x，FN=162x，BH=16，所以，SPCE=x2x=x2，SAPF=（8x）（162x）=（8x）2，SABC=

76、816=64，S=SABCSPCESAPF，=64x2（8x）2，=2x2+16x，配方得，S=2（x4）2+32，所以，当 x=4 时，S 有最大值 32 点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点 53、（13 年安徽省 14 分、23 压轴题）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图 1，四边形 ABCD 即为“准等腰梯形”。其中B=C。（1）在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。（2）如图 2，在“准等腰梯形”ABCD 中，B=C，E 为边 BC 上一点，若 ABDE，AEDC，求证：ECBEDCAB （3）在由不平行于 BC 的直线截PBC 所得的四边形 ABCD 中，BAD与ADC 的平分线交于点 E，若 EB=EC，请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时（即图 3 所示情形），四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点 E 不在四边形 ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）