（全国I）2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学（四） WORD版含答案.doc

1、2021 届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（四）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数，则 z （）A2B 2C1D222已知

2、全集U，集合 M，N 是U 的子集，且 MN，则下列结论中一定正确的是（）A UUMNU痧BUMN CUMNUDUMN 3已知等比数列 na的前 n 项和为nS，则“1nnSS”是“na单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，则输出的n（）A19B21C23D255上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰”茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量 x 克与食客的满意率 y的关系，抽样得一组数据如下表：x(克)24568y(%)30m507060根据表中的全

3、部数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 6.517.5yx，则表中m 的值为（）A39 5B40C435D456若实数 x，y 满足不等式组10210240 xyxyxy ，且 zxy，则maxminzz（）A4B3C2D17当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时透光度T 的数学表达式为1lgkclT，其中系数k 与吸光物质的性质及入射光线的波长有关，c 为吸光物质的浓度（单位：mol/L），l 为吸收介质的厚度（单位：cm）已知吸光物质及入射光线保持恒定，当吸收介质的厚度为20 cm 时，透光度为 110，则当吸收介质的厚度增加20 cm 时，透光度为原来的（）A

4、 12B 15C 110D 1208向量ae（e 是单位向量）若 t R，taeae，则（）AaeBaaeCeaeDaeae9在等差数列 na中，111a ，45a 记12(1,2,)nnTa aa n，则数列 nT（）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项10已知圆22:2210C xyxy，直线:40l xy，若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线 MA，MB，切点分别为 A，B，则ACB最小时，原点O 到直线 AB 的距离为（）A 3 22B 2C22D2 211已知函数211()(0)42f xxxa x，()ln(0)g xx x，其中 a

5、R 若()f x 的图象在点 11,A xf x处的切线与 g x 的图象在点22,B x g x处的切线重合，则 a 的取值范围为（）A(1ln2,)B(1 ln2,)此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号C3,4D(ln2ln3,)12已知四边形 ABCD 是边长为 5 的菱形，对角线8BD（如图 1），现以 AC 为折痕将菱形折起，使点 B 达到点 P 的位置棱 AC，PD的中点分为 E，F，且四面体 PACD 的外接球球心落在四面体内部（如图 2），则线段 EF 长度的取值范围为（）A14,42B141,2C14,62D3,4第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 1

6、3已知函数()sin(0)f xx，在2,43上单调递增，那么常数 的一个取值_14如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山底 C 在西偏北30的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山底 C 在西偏北75的方向上，山顶 D 的仰角为30，则此山的高度CD _m15已知抛物线22(0)ypx p的焦点为 F，点,02pM，过点 F 的直线与此抛物线交于,A B两点，若|24AB，且 tan2 2AMB，则 p _16已知函数 f x 的定义域为R，导函数为()fx，若 cosf xxfx，且 sin2xfx0，则满足 0f xf x的 x 的取值范围为_

7、三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）如图，四棱锥OABCD的底面是边长为 1 的正方形，2OA，OA 平面 ABCD，M、N 分别是OA、BC 的中点（1）求证：直线/MN平面OCD；（2）求三棱锥 MOCD的体积18（12 分）已知函数 233cos2sin cos62f xxxx（1）求函数 f x的单调递增区间；（2）设锐角ABC的内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知 14f A，1a，求ABC的面积的取值范围19（12 分）为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各 10 人，并测量他们的身

8、高，测量结果如下（单位：厘米）：男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值；（2）请根据测量结果得到 20 名学生身高的中位数 h（单位：厘米），将男、女生身高不低于 h 和低于 h 的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？人数男生女生合计身高h身高h合计（3）若男生身高低于 165 厘米为偏矮，不低于 165 厘米且低于 175 厘米为正常，不低于 175 厘米为偏高

9、采用分层抽样的方法从以上男生中抽取 5 人作为样本若从样本中任取 2 人，试求恰有 1 人身高属于正常的概率20P Kk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828参照公式：22n adbckabcdacbd20（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率12e，左、右焦点分别为1F，2F，抛物线28yx的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点（1）求椭圆 C 的方程；（2）记椭圆 C 与 x 轴交于 A，B 两点，M 是直线1x 上任意一点，直线MA，MB 与椭圆 C 的另一个交点分别为 D，E求证：直线

10、 DE 过定点(4,0)H21（12 分）已知函数 ln11xaF xxx（1）设函数 1h xxF x，当2a 时，证明：当1x 时，0h x；（2）若 F x 有两个不同的零点，求 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos2sinxy（为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线2C 的极坐标方程为4sin（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为4,0，射线04分别交1C、2C

11、 于 A、B 两点（异于极点），当4AMB时，求tan 23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知2(2)f xaxx（1）在2a 时，解不等式()1f x ；（2）若关于 x 的不等式 4()4f x 对 xR 恒成立，求实数a 的取值范围 _文 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【答案】B【解析】因为22(1 i)1 i1 i(1 i)(1 i)z ，所以22(1)(1)2z ，故选 B2【答案】B【解析】集合 M，N 是U 的子集，且 MN，对于 A，UUUMNM痧?，故 A 不正确；对于

12、B，UMN ，故 B 正确；对于 C，UMNU，不包括属于 N 且不属于M 的部分，故 C 不正确；对于 D，UMN ，其交集为属于 N 且不属于M 的部分，故 D 不正确，故选 B3【答案】D【解析】110nnnSSa，例如102nna，但是数列 na不单调递增，故不充分；数列 na单调递增，例如12nna ，但是1nnSS，故不必要，故选 D4【答案】C【解析】当输入1n 时，则1S，2,3in，121S 成立；当输入3n 时，则1 34S ，3,5in，121S 成立；当输入5n 时，则1 3 59S ，4,7in，121S 成立，由程序框图可知程序的规律为21ni，21Si，则2212

13、1Sniii，_由条件2121Sni，解得11i，即12i 时程序结束，此时2 12 123n ，故选 C5【答案】B【解析】由表中数据，计算可得2456855x ，3050706021055mmy，因为回归直线方程 6.517.5yx过样本中心点，所以有 2106.5 5 17.55m，解得40m，故选 B6【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中 3,2A ，1,2B，1,0C在直线 zxy中，yxz，z 表示直线的纵截距作出直线 yx并平移，数形结合知当平移后的直线经过点 1,2B 时，z 取得最小值，且min1 23z ；当平移后的直线经过点1,0C时，z

14、取得最大值，且max1 01z ，所以maxmin134zz，故选 A7【答案】C【解析】因为20l 时，110T，所以120lg1110kc，120kc，所以2010lT_设吸收介质的厚度增加20 cm 时，透光度为T，则2012020110101010llTT，故选 C8【答案】C【解析】因为taeae，所以22()()taeae，所以22210tt a ea e对 t R 恒成立，所以2(2)4(21)0 a ea e，即2(1)0 a e，所以10 a e，所以0 a ee e，所以()0eae，所以eae，故选 C9【答案】C【解析】依题意可得公差415 1124 13aad，1(1

15、)11 22213naandnn，所以当6n 时，0na；当7n 时，0na，因为1110T ，211(9)990T ，311(9)(7)6930T ，411(9)(7)(5)34650T ，53465(3)103950T ，610395(1)103950T ，又当6n 时，1234560nnTa a a a a aa，且1121112211 1nnnnnTa aaanTa aa，即1nnTT，所以当6n 时，数列 nT单调递增，所以数列 nT无最大项，数列 nT有最小项510395T ，故选 C10【答案】A【解析】由222210 xyxy，得22(1)(1)1xy，所以圆心(1,1)C，半

16、径1r ，在CAMRt中，cosACACMMC1MC，当ACB最小时，ACM最小，cosACM最大，MC 最小，此时 MCl，_MC 的最小值为圆心C 到直线l 的距离|1 1 4|21 1，此时12cos22ACM，4ACM，因为 MCAB，所以 ABl，所以圆心C 到直线 AB 的距离为22，所以两平行直线l 与 AB 之间的距离为22222，因为原点O 到直线l 的距离为|004|2 21 1，所以原点O 到直线 AB 的距离为23 22 222，故选 A11【答案】A【解析】211()(0)42f xxxa x，()ln(0)g xx x，11022fxxx，10gxxx，函数 f x

17、 在点 11,A xf x处的切线方程为2111111114222yxxaxxx，函数 g x 在点22,B xf x处的切线方程为2221lnyxxxx，两直线重合的充要条件是1211122xx，2121ln14 xax，由及120 xx，得21102x，故22222211111ln1ln122axxxx，令21tx，则102t，且21ln12att，设 21ln12h ttt，102t，221112121tttth ttttt ，_当102t 时，0h t恒成立，即 h t 单调递减，11 ln 22h th ，0 x 时，h t ，即 a 的取值范围为(1ln2,)，故选 A12【答案】

18、A【解析】如图，由题意可知APC的外心1O 在中线 PE 上，设过点1O 的直线 1l 平面 APC，易知 1l 平面 PED，同理，ADC的外心2O 在中线 DE 上设过点2O 的直线 2l 平面 ADC，则 2l 平面 PED 由对称性易知直线 1l，2l 的交点O 在直线 EF 上根据外接球的性质，点O 为四面体 APCD 的外接球球心易知3EA，4PE，而22211O AO EEA，114O AO EPE，178O E 令PEF，显然02，cos4cos4EFPE1cosEFO EPEOE，172OE EFO E PE，又OEEF，272EF，即142EF，综上所述，1442EF，故选

19、 A_第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13【答案】12（答案不唯一）【解析】()2sin(0)f xx在2,43上单调递增，则223，()42 ，304，取一个该范围内的值即可，如12，故答案为12 14【答案】100 6【解析】在ABC中，30BAC，600AB，18075105ABC ，45ACB，sinsinABBCACBBAC，即 600sin45sin30BC，解得300 2BC 又在BCDRt中，30CBD，3tan300 2100 63CDBCCBD，即山高CD 为100 6 m，故答案为100 6 15【答案】6【解析】设 AB 的方程为2pxmy，11,A

20、 x y，22,B xy，则由222ypxpxmy，得2220ypmyp，122yypm，212y yp，1221121212121222MAMBy mypymypyyyykkppmypmypmypmypxx22121212122220mpmpmy yp yymypmypmypmyp，_AMFBMF，22tantan2 21 tanAMFAMBAMF，又AMF为锐角，2tan2AMF不妨设 AFBF，如图，作 AHx轴，垂足为 H，过 M 作直线lx轴，AAl，垂足为 A，则 AAAF，tansinAHAHAHAMFAFHMHAAAF，2sin2AFH，45AFH，1m，222121212|1

21、14424ABmyymyyy yp，故6p=，故答案为 616【答案】,2【解析】令 cos2xg xf x，又 cosf xxfx，则 coscos22xxf xfx，即 g xgx，故函数 g x 为奇函数 cossin022xxgxf xfx，故函数 g x 在R 上单调递减，则 coscos0022xxf xf xf xf x，_即 0g xg x，即 g xg xgx，即xx ，故2x，所以 x 的取值范围为 ,2，故答案为 ,2三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】（1）证明见解析；（2）16【解析】（1）证明：取 OD

22、 的中点 P，连接 PC、PM，M、N 分别是 OA、BC 的中点，PMAD，且12PMAD，NCAD，且12NCAD，PMNC，且 PMNC，则 PMNC 是平行四边形，得 MNPC，PC平面 OCD，MN 平面 OCD，直线 MN平面 OCD（2）OA 平面 ABCD，所以平面OAD 平面 ABCD，又CDAD，所以CD 平面OAD，1112 1222MODS ，又C 到平面 MOD 的距离为 1，所以三棱锥 MOCD的体积即为三棱锥OMCD的体积，为 1111326 18【答案】（1）,62 122kk，k Z；（2）1 12,24_【解析】（1）由题意知 2cos 213333cos2

23、sin cos3 sin 26222xf xxxxx3 13131cos2sin 2sin 2sin 2cos2sin 22224423xxxxxx令2,32xkk，k Z，则,62 122kkx，k Z，所以 f x的单调递增区间为,62 122kk，k Z（2）因为 14f A，所以 11sin 2234A，所以1sin 232A，所以22 36Ak或 52 6k，k Z，即12Ak 或 4k，k Z 又ABC为锐角三角形，故4A，因为1a，所以由正弦定理可知，2sinbB，2sincC所以1122sin2 sin2 sinsinsin2222ABCSbcABCBC2211sinsinsi

24、nsincossinsincos2422BBBBBBBB1 1 cos211121sin 2sin 2cos2sin 222244444BBBBB因为ABC是锐角三角形，所以0,2B，30,42CB，所以,4 2B，所以 32,444B，2sin 2,142B，所以211 12sin 2,44424ABCSB19【答案】（1）茎叶图见解析，男：171.1，女：163.4；（2）列联表见解析，有 90%把握认为；（3）0.6 _【解析】（1）茎叶图为男生平均身高为1 173 178 185 170 174 169 167 164 161 170171.110；女：1 165 166 156 17

25、0 163 162 158 153 169 172163.410（2）将20名 学 生 身 高 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 成 一 列：153,156,158,161,162,163,164,165,166,167,169,169,170,170,170,172,173,174,178,185，则 20 名学生身高的中位数167 1691682h，男、女身高的2 2列联表：人数男生女生合计身高h7310身高h3710合计101020因为2220 7 73 3323.22.7067337733710K ，所以有 90%把握认为男、女身高有差异（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生有6人

26、，身高属于不正常的男生有4 人，用分层抽样的方法从这10人抽取5人，其中身高正常的男生有 65310 人，记这三名男生为 a，b，c，身高不正常的男生有 45210 人，记这两名男生为 1，2，_从以上 5 名学生中任取 2 人的结果有ab，ac，1a，2a，bc，1b，2b，1c，2c，12共10 种，其中恰好一名身高属于正常的男生的事件有 1a，2a，1b，2b，1c，2c，共 6 种，所以恰有 1 人属于正常的概率为 60.610 20【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析【解析】（1）因为椭圆 C 的离心率12e，所以12ca，即2ac由28yx，得28p，所以4p，其焦点为(

27、2,0)F，因为抛物线28yx的焦点(2,0)F恰好是该椭圆的一个顶点，所以2a，所以1c ，3b 所以椭圆 C 的方程为22143xy（2）由（1）可得(2,0)A，(2,0)B，设点 M 的坐标为(1,)m，直线MA的方程为(2)3myx将(2)3myx与22143xy 联立，消去 y，整理得222242716161080mxm xm，设点 D 的坐标为,DDxy，则22161082427Dmxm，故2254 8427Dmxm，则23623427DDmmyxm直线 MB 的方程为(2)ym x 将(2)ym x 与22143xy 联立，消去 y 整理得2222431616120mxm xm

28、_设点 E 的坐标为,EExy，则221612243Emxm，故228643Emxm，则212243EEmym xm，直线 HD 的斜率为122236644954 84 427DDymmkxmmm，直线 HE 的斜率为2222126449864 43EEymmkxmmm ，因为12kk，所以直线 DE 经过定点 H21【答案】（1）证明见解析；（2）2a【解析】（1）ln22(1)1()ln111xxh xxxxxx，22101xh xx x，所以 h x 在1,上为单调递增函数，且 10h，当1x 时，0h x（2）设函数 1ln1a xf xxx，则 222 111xa xfxx x，令

29、22 11g xxa x，当1a 时，当0 x 时，0g x；当12a时，2480aa，得 0g x，所以当2a 时，0fx，f x 在0,上为单调递增函数，此时 g x 至多有一个零点，11F xf xx至多一个零点不符合题意舍去；当2a 时，有2480aa，此时 g x 有两个零点，设为 12,t t，且 12tt又因为12210tta，1 21t t ，所以1201tt，_得 f x 在10,t，2,t 为单调递增函数，在12,t t上为单调递减函数，且 10f，所以 10f t，20f t，又因为 201aaaf ee，201aaaf ee，且 f x 图象连续不断，所以存在唯一11,

30、axet，使得 10f x，存在唯一22,axt e，使得20f x，又因为 11F xf xx，所以，当 F x 有两个不同的零点时，2a 22【答案】（1）1:4cosC，2222:4xyC（或2240 xyy）；（2）1tan2【解析】（1）22cos2sinxy（为参数），得22cos2sinxy（为参数），曲线1C 的普通方程为2224xy，即2240 xyxcosx，siny，24 cos0，所以，曲线1C 的极坐标方程为4cos，曲线2C 的极坐标方程为4sin，即24 sin，cosx，siny，所以，曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程得224xyy，即2224xy（2）依

31、题意设 1,A 、2,B ，由4cos，得14cos；由4sin，得24sin，04，12，124cos4sinABOAOB_OMQ是圆1C 的直径，2OAM在OAMRt中，4sinAM，在BAMRt中，4AMB，ABAM，即 4cos4sin4sin，4cos8sin，即1tan2 23【答案】（1）1|53xx；（2）1或 1【解析】（1）在2a 时，2221xx 在1x 时，2221xx，15x；在2x 时，2221xx，3x，x 无解；在 21x 时，2221xx，13x ，113x，综上可知：不等式 1f x 的解集为1|53xx（2）224xax恒成立，而221xaxa x或2214xaxa x，故只需 14a x恒成立，或 144a x恒成立，1a 或1a，a 的取值为1或 1