（全国I）2021届高三第二次模拟考试卷 理科数学（三） WORD版含答案.doc

1、2021 届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学（三）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知均为R 的子集，且MNR，则MN R（）A

2、B MC ND R2欧拉恒等式：i10e 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数 e圆周率 虚数单位 i自然数 1 和 0 完美地结合在一起，它是由欧拉公式：icosisin()e R，令 得到的根据欧拉公式，2ie 在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知()22xxf xaa为奇函数，则“12m ”是“0f m”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4随着“互联网+”上升为国家战略，某地依托“互联网+智慧农业”推动精准扶贫其地域内 A山村的经济收入从 2018 年的 4 万元，增长到 201

3、9 年的 14 万元，2020 年更是达到 52 万元，在实现华丽蜕变的过程中，村里的支柱性收入也在悄悄发生变化，具体如下图所示，则下列结论正确的是（）A2020 年外出务工收入比 2019 年外出务工收入减少B种植收入 2020 年增长不足 2019 年的 2 倍C2020 年养殖收入与 2019 年其它收入持平D2020 年其它收入比 2019 年全部收入总和高5若 x，y 满足线性约束条件3260420230 xyxyxy，则13yx的最大值是（）A 12B 23C2D46在ABC中，1AB ，23A，|()ABtACtR 的最小值是（）A32B22C 12D337在ABC中，内角 A，

4、B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC的面积为 S，2a，2244Sbc，则ABC外接圆的面积为（）A4B8CD28已知函数()yf x的图象如图所示，则此函数可能是（）A()sinln|f xxxB()sinln|f xxx C()sinlnf xxxD()|sinln|f xxx9设函数 232(0)2f xxax a与 2 lng xaxb有公共点，且在公共点处的切线方程相同，此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号则实数b 的最大值为（）A212eB212 eC 1eD232e10在棱长为2 2 的正方体1111ABCDA BC D中，E，F 分别为棱 AB，AD 的中点，P 为

5、线段1C D 上的动点，则直线1A P 与平面1D EF 的交点Q 的轨迹长度为（）A 2 153B 4 33C 2 133D 4 2311已知动点 A，B 关于坐标原点O 对称，2AB，M 过点 A，B 且与直线1y 相切若存在定点 P，使得 MAMP为定值，则点 P 的坐标为（）A10,2B10,2C0,1D0,112已知定义域为(0,)的函数()f x 满足2()1()f xfxxx，且2()f ee，e 为自然对数的底数，若关于 x 的不等式()20f xaxxx恒成立，则实数a 的取值范围为（）A1,)B2,)C2,eeD3222,eee第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5

6、 分 13 20cossindxxx的值为_14已知62601261 3xaa xa xa x，则246aaa _（结果用数字表示）15中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线(图中楚河汉界处的“日”字没有画出)，如图，“马”从点 A 处走出一步，只能到达点 B，C，D 中的一处则“马”从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P处，最少需要的步数是_16已知椭圆22143xy的左、右焦点分别为1F、2F，过椭圆的右焦点2F 作一条直线l 交椭圆于点 P、Q 则1F PQ内切圆面积的最大值是_三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12

7、 分）已知公比小于 1 的等比数列 na中，其前 n 项和为nS，214a，378S（1）求na；（2）求证：112nS 18（12 分）如图，在正四面体 ABCD中，点 E，F 分别是,AB BC 的中点，点 G，H 分别在,CD AD上，且14DHAD，14DGCD（1）求证：直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线 BD上；（2）求直线 AB 与平面 EFGH 所成角的正弦值19（12 分）（1）已知0a，求22daaaxx；（2）求证：椭圆22221(0)xyabab的面积为 ab 20（12 分）一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技

8、术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为 00.4aa每个勘探小组配备 1 名甲类人员与 2 名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为（1）证明：在 各个取值对应的概率中，概率 1P 的值最大；（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发现在有三个勘探小组(1,2,3)iA i 可派出，若小组iA 能完成特殊任务的概率 t；1,2,3itPii，且各个小组能否完成任务相互独立试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可

9、使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小21（12 分）已知函数221()2()2xaxf xxx aeR（2.71828e 是自然对数的底数）（1）若()f x 在(0,2)x内有两个极值点，求实数 a 的取值范围；（2）1a 时，讨论关于 x 的方程211()2|ln|()2xf xxxbxbxeR 的根的个数请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为13xtyt （t 为参数），曲线C 的参数方程为2cos22sinxy（为参数）以原点为极点，x 轴正

10、半轴为极轴建立极坐标系，其中点M 的极坐标为1,2（1）求直线l 以及曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于 A、B 两点，求11MAMB的值23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知a，b，c 均为正数，函数()|f xxaxbc 的最小值为1（1）求222236abc的最小值；（2）求证：22222232aabbbbccccaa 理 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【答案】B【解析】解法一：MNR，MNR，据此可得MNMR，故选 B解法二：如图所示，设矩形 ABCD 表示全集 R

11、，矩形区域 ABHE 表示集合 M，则矩形区域 CDEH 表示集合RM，矩形区域 CDFG 表示集合 N，满足MNR，结合图形可得：MNMR，故选 B2【答案】B【解析】令icosisin()e R 中，2，得2icos2isin2e，所以2ie 在复平面内对应的点为(cos2,sin2)，因为cos20，sin20，所以2ie 在复平面内对应的点在第二象限，故选 B3【答案】B【解析】因为()22xxf xaa为奇函数，所以 0f xfx，220 xxxxaa，12102xxxaa恒成立，21xa，12a，()22xxf x为R 上的减函数，且 00f，所以 0f m，0m，因此，“12m

12、”是“0f m”的充分不必要条件，故选 B4【答案】D【解析】对于选项 A：2020 年外出务工收入为52 5%2.6万元，2019 年外出务工收入为14 15%2.1万元，所以 2020 年外出务工收入比 2019 年外出务工收入增加，故选项 A 不正确；对于选项 B：2020 年种植收入为52 50%26万元，2019 年种植收入为14 45%6.3万元，种植收入 2020 年增长是 2019 年的 266.3 3.12726.3倍，故选项 B 不正确；对于选项 C：2020 年养殖收入为52 5%2.6万元，2019 年其它收入为14 5%0.7万元，2020 年养殖收入与 2019 年

13、其它收入并不持平，故选项 C 不正确；对于选项 D：2020 年其它收入为52 40%20.8万元，2019 年全部收入总和为14万元，所以 2020 年其它收入比 2019 年全部收入总和高，故选项 D 正确，故选 D5【答案】C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，设13ykx，点3,1M，则13ykx表示点M 与可行域内的点的连线的斜率易知 2,1A，0,3C，则11223AMk ，3120 33CMk ，结合图形可知13ykx的取值范围为22,3，所以10,23ykx，故13yx的最大值是 2，故选 C6【答案】A【解析】|()|ABtACABt AC，令()Pt ACA，则 P 为直

14、线 AC 上的动点，如图所示，|()|ABtACABt ACABAPPB，当 PB 直线 AC 时，|BP 取得最小值，1AB ，23A，min3|2BP，故选 A7【答案】D【解析】由余弦定理得2222cosbcabcA，2a，所以2242cosbcbcA，又1sin2SbcA，2244Sbc，所以有14sin2cos2bcAbcA，即sincosAA，又0,A，所以4A，由正弦定理得22sinsin 4aRA，得2R 所以ABC外接圆的面积为222S，故选 D8【答案】A【解析】图象关于原点对称，为奇函数，C、D 中定义域是0 x，不符合，排除；A、B 都是奇函数，当(0,1)x时，A 中

15、函数值为负，B 中函数值为正，排除 B，故选 A9【答案】A【解析】设公共点坐标为00(,)xy，则()32fxxa，2()ag xx，所以有00()()fxg x，即20032axax，解得0 xa(03xa 舍去)，又000()()yf xg x，所以有2200032ln2 xaxaxb，故2200032ln2bxaxax，所以有221ln2baaa，对b 求导有2(1 ln)baa ，故b 关于a 的函数在1(0,)e为增函数，在 1(,)e 为减函数，所以当1ae时，b 有最大值212e，故选 A10【答案】C【解析】连接11B D，如图，因为 E，F 分别为棱 AB，AD 的中点，所

16、以11/B DEF，则1B，1D，E，F 四点共面连接11AC，1A D，设1111ACB DMI，11A DD FN，连接MN，则点Q 的轨迹为线段 MN，易得2211114ADADDD，11A NDDNF，且112A DFD，所以112833A NA D，易知11114ACC DA D，所以1160C A D，又12A M，所以在1AMN中，由余弦定理可得22211111522cos9MNA NAMA N AMMA N，所以2 133MN，即点Q 的轨迹长度为 2 133，故选 C11【答案】B【解析】设(,)M x y，因为点,A B 关于坐标原点O 对称，所以O 是线段 AB 的中点，

17、又因为以M 为圆心的圆过,A B 两点，所以有OAOM，因此有222OMOAMA，因为点,A B 关于坐标原点O 对称，2AB，所以1OA 又因为以M 为圆心的圆与直线1y 相切，所以有1MAy，把1OA、1MAy代入222OMOAMA中，得22211xyy，化简得22(0)xy y，因此点M 的轨迹是抛物线，该抛物线的焦点坐标为1(0,)2F，准线方程为12y，1111112222MAMPyMPyMPyMPyMP ，由抛物线的定义可知 12yMF，所以有12MAMPMFMP，由题意可知存在定点 P，使得当 A运动时，MAMP为定值，因此一定有 MFMP，此时定点 P 是该抛物线的焦点1(0,

18、)2F，故选 B12【答案】B【解析】由2()1()f xfxxx，得1()()xfxf xx，设()()g xxf x，1()()()g xxfxf xx，则()lng xxc，从而有ln()xcf xx又因为12()cf eee，所以1c，ln1()xf xx，2ln()xfxx，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以max()(1)1f xf因为不等式()20f xaxxx恒成立，所以2()20f xxxa，即2()(1)1f xxa，又因为2()(1)12f xx，所以2a，故选 B第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13【答案】2【解析】2

19、0sincossincossin0cos022cossind220 xxxxx，故答案为 214【答案】2079【解析】令 61 3f xx，则 001fa，由题意可得 60123456601234561412faaaaaaafaaaaaaa，所以，661150246114222204832208022ffaaaa，因此，2462080 12079aaa，故答案为2079 15【答案】6【解析】由题意可知，按如图所示的走法（走法不唯一），需要 6 步从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P 处，故答案为 616【答案】916【解析】令直线:1l xmy，与椭圆方程联立消去 x 得2234690m

20、ymy，可设11,P x y，22,Q xy，则122634myym，122934y ym 可知122121212122211412234F PQmSF Fyyyyy ym，又22222111116349161mmmm，故13F PQS三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径12384F PQSr，其面积最大值为 916，故本题应填 916三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】（1）12nna；（2）证明见解析【解析】（1）解：设等比数列 na的公比为 q，由231478aS，得21411174448aqq

21、，解得21412aq 或2142aq（舍去），所以2111422nnna（2）证明：由（1）得12nna，所以11122111212nnnS 因为12xy 在 R 上为减函数，且102xy恒成立，所以当*nN，即1n 时，11022n，所以 111122nnS 18【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】（1）因为/EF AC，/GH AC，12EFAC，14GHAC，所以/GH EF 且12GHEF，故 E，F，G，H 四点共面，且直线,EH FG 必相交于一点，设EHFGM，因为MEH，EH 平面 ABD，所以M 平面 ABD，同理：M 平面 BCD，而平面 ABD平面 BCDBD，故

22、 M 平面 BCD，即直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线 BD上（2）取 BD的中点 O，则 BDOA，BDOC，所以 BD 平面 AOC，不妨设4 3OD，则8 3BDAC，12AOCO，所以144 144 1921cos2 12 123AOC，以 O 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,8 2)A，(0,4 3,0)B，(12,0,0)C，(6,2 3,0)F，(3,3 3,0)G，故(4,4 3,8 2)BA，(3,5 3,0)FG，(8,0,8 2)AC，(4,0,4 2)EF，设平面 EFGH 的法向量为(,)x y zn，由00EFFG nn，可得3

23、5020 xyxz，令5 2x，则(5 2,6,5)n，则18 26cos,3|9 2 3BABABAnnn，故直线 AB 与平面 EFGH 所成角的正弦值为6319【答案】（1）21 2 a；（2）证明见解析【解析】（1）令22()yaxaxa，得222(,0)xyaaxa y，22daaaxx的几何意义是求以(0,0)为圆心，半径为a 的半圆的面积，2221d2aaaxxa（2）先求半椭圆22221(0,)xyyaxaab 的面积，由22221(0)xyyab，可得222222bbybxaxaa，由（1）可知，2221d2aaaxxa，半椭圆22221(0,)xyyaxaab 的面积为22

24、2222211dd22aaaabbbbxxaxxaabaaa，根据椭圆的对称性可知，椭圆22221(0)xyabab的面积为 ab，得证20【答案】（1）证明见解析；（2）按照完成任务概率从大到小的123,A A A 的先后顺序派出勘探小组【解析】（1）由已知，的所有可能取值为 0，1，2，3，22(0)(1 0.6)(1)0.4(1)Paa，212(1)0.6(1)(1 0.6)C(1)0.2(1)(3)Paaaaa，122(2)0.6 C(1)(1 0.6)0.4(3 2)Paaaaa，2(3)0.6Pa 00.4a，(1)(0)0.2(1)(1 3)0PPaa，2(1)(2)0.2 38

25、30PPaa，2(1)(3)0.2 4230PPaa，概率(1)P 的值最大（2）由（1）可知，当00.4a时，有 1(1)tP 的值最大，且 23(2)(3)0.2(67)0ttPPaa，123ttt应当以123,A A A 的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值证明如下：假定123,p pp 为123123,t t tttt的任意一个排列，即若三个小组(1,2,3)iA i 按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为123,p pp，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为，则1,2,3，

26、且 的分布列为123P1p121pp1211pp数学期望112121212()2 13 1132Epppppppp p 下面证明1212121 2()3232Eppp pttt t 成立，1212121 23232ppp pttt t1122121 21 21 22 tptpp pp tp tt t11221222112 tptpppttpt 2111221111222111ttpptpptpptp 1121210pttpp按照完成任务概率从大到小的123,A A A 的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小21【答案】（1）22eea；（2）答案见解析【解析】

27、（1）由题意可求得22(2)()2xxxaxxxeaxfxxee，因为()f x 在(0,2)x内有两个极值点，所以()0fx在(0,2)x内有两个不相等的变号根，即0 xeax在(0,2)x上有两个不相等的变号根设()xg xeax，则()xg xea，当0a 时，(0,2)x，()0 xg xea，所以()g x 在(0,2)上单调递增，不符合条件；当0a 时，令()0 xg xea，得lnxa，当ln2a，即2ae时，(0,2)x，()0 xg xea，所以()g x 在(0,2)上单调递减，不符合条件；当ln0a，即01a 时，(0,2)x，()0 xg xea，所以()g x 在(0

28、,2)上单调递增，不符合条件；当0ln2a，即21ae时，()g x 在(0,ln)a 上单调递减，(ln,2)a上单调递增，若要0 xeax在(0,2)x上有两个不相等的变号根，则(0)0(2)0(ln)00ln2gggaa，解得22eea，综上所述，22eea（2）设2211()|ln|()2|ln|,(0,)2xxxh xxf xxxbxb xxee，令2xxye，则21 2xxye，所以2xxye在10,2上单调递增，在 1,2上单调递减（）当(1,)x 时，ln0 x，则2()lnxxh xxbe，所以22()21xx eh xexx因为210 x ，20 xex，所以()0h x，

29、因此()h x 在(1,)上单调递增；（）当(0,1)x时，ln0 x，则2()lnxxh xxbe，所以22()21xxeh xexx因为221,xee，21xe，01x，21xex，即21xex ，又 21 1x ，所以22()210 xxeh xexx，因此()h x 在(0,1)上单调递减综合（）（）可知，当(0,)x 时，2()(1)h xheb，当2(1)0heb，即2be 时，()h x 没有零点，故关于 x 的方程根的个数为 0；当2(1)0heb，即2be 时，()h x 只有一个零点，故关于 x 的方程根的个数为 1；当2(1)0heb，即2be 时，当(1,)x 时，22

30、1()lnlnln1xxh xxbxbxbee，要使()0h x，可令ln10 xb，即1,bxe ；当(0,1)x时，121()lnlnln12xxh xxbxebxbe ，要使()0h x，可令ln10 xb，即10,bxe，所以当2be 时，()h x 有两个零点，故关于 x 的方程根的个数为 2，综上所述：当2be 时，关于 x 的方程根的个数为 0；当2be 时，关于 x 的方程根的个数为 1；当2be 时，关于 x 的方程根的个数为 222【答案】（1）:31l yx，22:40C xyy；（2）33【解析】（1）在l 的参数方程中消去参数t 可得31yx，在曲线C 的参数方程中，

31、可得2cos22sinxy，222222cos2sin4xy，即2240 xyy，所以，直线l 的普通方程为31yx，曲线C 的普通方程为2240 xyy（2）易知点0,1M，设直线l 的参数方程为12312xtyt （t 为参数），设点 A、B 对应的参数分别 1t、2t，将直线l 的参数方程代入2240 xyy，得2330tt，34 315 ，所以 1 23t t ，123tt由于直线l 过0,1M，故121 21133MAMtBtt t23【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）()|f xxaxbc|xaxbcabc 1abc，22221111112362361236236abcabc，2222361abc，即222236abc的最小值为1（2）222232324222bbbaabbaba，2223222ccbbccb，2223222aaccaac，因此2222aabbbbcc22ccaa23222abcabcabc23332222