（全国卷Ⅱ）2021年高考数学压轴卷 文（含解析）.doc

1、（全国卷）2021 年高考数学压轴卷 文（含解析）第 I 卷（选择题）一.选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1.已知集合 A1，2，3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，则 AB（）A.1 B.1，2 C.0，1，2，3 D.1，0，1，2，3 2.命题“0,x ，1 sinxex”的否定是（）A.0,x ，1 sinxex B.0,x ，1 sinxex C.0,x ，1 sinxex D.0,x ，1 sinxex 3.设复数 z 满足11ziz，则 z 的虚部为（）A.2 B.0 C.1 D.1 4.函数sin(

2、)yAx的部分图象如图所示，则 A.2sin(2)6yx B.2sin(2)3yx C.2sin(+)6yx D.2sin(+)3yx 5.实数对(,)x y 满足不等式组2025020 xyxyy ，且目标函数 zkxy当且仅当3x，1y 时取最大值，则k 的取值范围为（）A1,12 B1,12 C1,12 D1,12 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A33 B 23 C53 D63 7.在 RtABC 中，1ABAC，点 D 满足2BDCD，则 AB AD()A 1 B.13 C.13 D.1 8.“33k”是“直线(2)yk x与曲线21yx有且只有一个公共点”的

3、（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.我国在北宋 1084 年第一次印刷出版了算经十书，即贾宪的黄帝九章算法细草，刘益的议古根源，秦九韶的数书九章，李冶的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法、日用算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙和四元玉鉴这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（）A.518 B.12 C.59 D.79 10.已知等比数列an的各项均为正数,且313239loglo

4、glog9aaa,则3746a aa a()A.6 B.9 C.18 D.81 11.运行如图所示的程序框图若输出的 s 的值为 55 则在内应填入()A.8i？B.9i？C.10i？D.11i？12.若 f x 图象上存在两点 A，B 关于原点对称，则点对,A B 称为函数 f x 的“友情点对”（点对,A B 与,B A 视为同一个“友情点对”）若 32,0,0 xxxf xeaxx 恰有两个“友情点对”，则实数 a 的取值范围是（）A1,0e B10,e C0,1 D1,0 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知向量(1,)am,

5、(2,3)b ,且/ab,则 m=_.14.某校 100 名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于 a(a 为整数)即为优秀，如果优秀的人数为 20 人，则 a 的估计值是_ 15.已知直线 xm与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于 A、B 两点，若AOB（O 为坐标原点）的面积为2，且双曲线 C 的离心率为 3，则 m=_ 16.在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，ABC，ACD，ADB 的面积分别为，则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 三、解答题（共 70 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地 17-21 为必做题

6、，每个试题都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生按要求作答）(一).必做题 17.已知等差数列an满足32a，前 3 项和392S.（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足11ba，415ba，求bn的前 n 项和nT.18.2019 年 1 月 1 日，“学习强国”学习平台在全国上线，“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，某学校为响应国家号召，组织员工参与学习、答题，员工甲统计了自己学习积分与学习天数的情况：学习时间（第 x 天）3 4 5 6 7 8 当天得分 y 17 20 19

7、 24 24 27 先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检查.检查方法如下：先用求得的线性回归方程计算学习时间(第 x 天)所对应的 y，再求 y 与实际当天得分 y 的差，若差值的绝对值都不超过 1，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）从学习时间的 6 个数据中随机选取 2 个数据，求这 2 个数据不相邻的概率；（2）若选取的是前面 4 组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程ybxa，并判断是否是“恰当回归方程”；附：回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211nniiiiiinniiiix ynxyxxyybxnxxx，ay

8、bx，前四组数据的41370iiix y.19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD 底面 ABCD，E 为侧棱 PD 上一点 （）求证：/CD平面 ABE；（II）求证：CDAE；（III）若 E 为 PD 中点，平面 ABE 与侧棱 PC 交于点 F，且2PA PD AD，求四棱锥 P-ABFE的体积 20.已知点 M是椭圆 C：+=1（ab0）上的一点，F1，F2分别为 C的左右焦点，|F1F2|=2，F1MF2=60，F1MF2的面积为（）求椭圆 C 的标准方程；（）设过椭圆右焦点 F2的直线 l 和椭圆交于两点 A，B，是否存在直线 l，使得OAF

9、2的面积与OBF2的面积的比值为 2？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 21.已知函数 exf xxab（,a bR）在0 x 处取得极值（1）求 f x 的单调区间；（2）讨论 f x 的零点个数，并说明理由(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是曲线1:C 112()xttytt(t 为参数)上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为：2=sin3cos（1）求曲线 C1，C2的直角坐标下普通方程；（2）已知点 Q 在

10、曲线 C2上，求 PQ 的最小值以及取得最小值时 P 点坐标.23.已知函数 f x 2(0)xxa a（1）当1a 时，解不等式 4f x；（2）若不等式 4f x 对一切 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 2021 新课标高考压轴卷 数学（文）试卷答案 1.【答案】C【解析】解:因为 Bx|(x1)(x2)0，xZx|1x2，xZ0，1，A1，2，3，所以 AB0，1，2，3.故选:C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及集合的运算，属于基础题.2.【答案】C【解析】根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：0,x ，1 sinxex 本题正确选项：C 【点睛】本题考查含量词的

11、命题的否定，属于基础题.3.【答案】C【解析】211111111111iziiziziizii zziziii 则 z 的虚部为 1 故选：C【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题 4.【答案】A【解析】试题分析：由题图知，2A，最小正周期2()36T，所以22，所以2sin(2)yx.因为图象过点(,2)3，所以22sin(2)3，所以2sin()13，所以 22()32kkZ，令0k，得6 ，所以2sin(2)6yx，故选 A.5.【答案】A【解析】作出可行域如图所示：，得到如图的 ABC 及其内部，其中 1,2A，4,2B，3,1C，设 zkxy，将直线 l：zkxy进行

12、平移，可得直线在 y 轴上的截距为 z，因此直线在 y 轴上截距最小时目标函数 z 达到最大值，当且仅当 l 经过点3,1C时，目标函数 z 达到最大值，直线 l 的斜率应介于直线 AC 斜率与直线 BC 斜率之间，1213 12ACk，2 1143BCk，k 的取值范围是1,12.故选：A.【点睛】关键点睛：本题给出二元一次不等式组，讨论目标函数 zkxy的最大值有唯一最优解的问题，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识 6.【答案】D【解析】由三视图可还原成三棱锥 PABC如图所示，其中 ABC 是边长为2 的正三角形，作 PH 平面 ABC 与点 H，连接 BH，

13、交 AC 于点G，则G 为 AC 的中点，2PH、2AC、3BG，116232323P ABCV ，故选：D 7.【答案】A【解析】在 RtABC 中，1ABAC，所以A为直角，以 A为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 10B,，0,1C，设,D x y，1,BDxy，,1CDx y，由2BDCD，可得1,xy2,1x y，即1222xxyy，解得1x ，2y，所以1,2D，由1,0AB ，1,2AD 所以110 21AB AD .故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性坐标运算、向量数量积的坐标表示，属于基础题.8.【答案】C【解析】若“直线(2)yk x与曲

14、线21yx有且只有一个公共点”，则由图可知，当直线(2)yk x与圆221xy相切时，只有一个交点，计算可得33k 所以“33k”是“直线(2)yk x与曲线21yx有且只有一个公共点”的充要条件 故选：C【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件定义的应用，以及数形结合思想的应用，属于中档题 9.【答案】D【解析】解：小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数210C45n，他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211555CC C35m，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459mpn 故选：D【点睛】本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“

15、算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.10.【答案】C【解析】由于931323931 293535loglogloglog.log9log9aaaa aaaa 355log13aa 由等比中项的性质，2237465518a aa aaa 故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.【答案】C【解析】初始：1,0is ；0 1 1,12sii ，不满足条件；1 23,13sii ，不满足条件；3 36,14sii ，不满足条件；6410,15sii ，不满足条件；10515,16sii

16、 ，不满足条件；15621,17sii ，不满足条件；21 628,18sii ，不满足条件；28 836,19sii ，不满足条件；36945,1 10sii ，不满足条件；45 1055,1 11sii ，满足输出条件；故选：C【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.12.【答案】A【解析】根据题意，若要求“友情点对”，可把0 x 时的函数图像关于原点对称，研究对称过去的图像和0 x 时的图像有两交点即可，2(0)yaxx关于原点对称的解析式为2(0)yaxx，考查3xxye的图像和2(0)yaxx 的交点，可得32xxaxe ，xxae，令()

17、xxg xe 1()0 xxg xe，所以(0,1)x，()0g x，()g x 为减函数，(1,)x，()0g x，()g x 为增函数，1(1)ge，其图象为，故若要xxae 有两解，只要10ae即可，故选：A 13.【答案】32【解析】由于向量(1,)am,(2,3)b ,且/ab,由向量平行的坐标表示，1 320mm 32 故答案为：32【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.【答案】133【解析】因为分数低于 140 的人数为：100 100.0050.0180.0300.0220.01590，因为分数低于 130 的人数为：100

18、 100.0050.0180.0300.02275，所以 a(130，140)，所以(140a)0.0150.011010020，解得 a133 故答案为：133 15【答案】.1【解析】由双曲线2222:1(0,0)xyCabab，可得渐近线方程是byxa，联立xmbyxa，得xmbmya；联立xmbyxa，得xmbmya，故2|bABma，又由双曲线的离心率为 3，所以22222212bcaeaa，得2ba，所以|AB|2 2|m，故1|2 2|22AOBSmm，解得1m .【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算求得2 2A

19、Bm是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16.【答案】【解析】解：三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为 a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直径为：=所以球的半径为，所以三棱锥 ABCD 的外接球的体积为=故答案为：【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在 17.【答案】（1）12nna；（2）21nnT .【解析】解：（1）设 na的公差为d，由3

20、2a，前 3 项和392S，则122ad，13 29322ad，化简得122ad，132ad，解得11a，12d，故通项公式112nna，即12nna.（2）由（1）得11b ，41515 182ba.设 nb公比为q，则3418bqb，从而2q=.故 nb的前n 项和1122112nnnT.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了等比数列前n 项和公式，属基础题.18.【答案】（1）23（2）211yx，是恰当回归方程.【解析】（1）设“从学习时间的 6 个数据中随机选取 2 个数据，求这 2 个数据不相邻”为事件 A，这 6 个数据为 3，4，5，6，7，8.抽取 2 个数据的

21、基本事件有3,4，3,5，3,6，3,7，3,8，4,5，4,6，4,7，4,8，5,6，5,7，5,8，6,7，6,8，7,8，共 15 种，其中相邻的有3,4，4,5，5,6，6,7，7,8，共 5 种，所以52()1 153P A （2）前四组数据为：学习时间（第 x天）3 4 5 6 当天得分 y 17 20 19 24 3456942x ，1720 1924204y，42186iix 414221937042022818644iiiiix ynxybxnx ，9202112aybx 211yx.当7x 时，2 7 1125y ，此时25241 1 成立，当8x 时，2 8 1127y

22、 ，此时272701 成立 211yx为恰当回归方程.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解和线性回归方程的求解，考查了对新概念的理解，属于中档题.19.【答案】（）证明见解析；（II）证明见解析；（III）32【解析】（）证明：因为/CDAB，AB 平面 ABE，CD 平面 ABE，所以/CD平面 ABE；（II）证明：因为侧面 PAD 底面 ABCD，CDAD，平面 PAD平面 ABCDAD，CD 平面 ABCD，所以CD 平面 PAD，又 AE 平面 PAD，所以CDAE；（III）因为/CD平面 ABE，CD 平面 PCD，平面 PCD平面 ABEEF，所以/CDEF，所以/ABEF，C

23、DAE，则 EFAE所以 ABFE 是直角梯形，又 E 是 PD中点，所以112EFCD，3232AE，所以13 3(2 1)322ABFES，由（II）CD 平面 PAD，PE 平面 PAD，所以CDPE，从而 EFPE，正三角形 PAD 中，E 是 PD中点，ADPE，AEFE，,AE EF 平面 ABFE，所以 PE 平面 ABFE，112PEPD，所以113 3313322P ABFEABFEVSPE 【点睛】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理，考查求棱锥的体积旨在考查学生的空间梘能力，逻辑推理能力属于中档题 20.【答案】【解析】解：（）在F1MF2中，F1MF

24、2的面积为 可得，得|MF1|MF2|=由余弦定理，=，则|MF1|+|MF2|=4 故 2a=|MF1|MF2|，即 a=2，b2=a2c2=1，椭圆 C 的标准方程为：（）OAF2的面积与OBF2的面积的比值为 2 等价于，则 设 A（x1，y1），B（x2，y2），故（x1，y1）=2（x2，y2），则 y1=2y2（1）设直线 l 的方程为：x=ky+，由，消 x 并整理得（4+k2）y2+21=0，则 y1+y2=，（2）y1y2=（3）由（1）（2）（3）得，k=，即存在直线 x=y+，使得OAF2的面积与OBF2的面积之比为 2 21.【答案】（1）f x 的单调递增区间为,0，

25、单调递减区间为0,；（2）当b1时，f x 有两个零点【解析】（1）因为 1exfxa，1 分 又 00f，即10a，解得1a 2 分 令 0fx，即1 e0 x，解得0 x；令 0fx，即1 e0 x，解得0 x 4 分 所以 f x 的单调递增区间为,0，单调递减区间为0,5 分（2）由（）知 f x 在0 x 处取得最大值1b 6 分 当1 0b 即b1时，0f x ，所以 f x 无零点 7 分 当1 0b =即b=1时，当且仅当0 x 时，0f x，所以 f x 有一个零点 8 分 当1 0b 即b1时，max01 0f xfb ，因为0b ，且ee0bbfbbb ，又 f x 在,

26、0上单调递增，所以 f x 在,0上有且只有一个零点 10 分 因为1b，且 e2ebbf bbbb，令 2e,1xg xxx，则 2e0 xgx，所以 g x 在1,上单调递减，所以 12e0g xg，所以 0f b 又 f x 在0,上单调递减，所以 f x 在上0+，有且只有一个零点 故当b1时，f x 有两个零点 12 分 22.【答案】（1）221416xy；32yx（2）5 2105；6 58 5(,)55P 【解析】解：（1）由1C：112()xttytt 消去参数t 得到222211()()()42yxtttt 221:1416xyC.由2C：sin3 cos2,32yx.（2

27、）设11,2()P tttt（，则 P 到直线2C32yx：距离 PQ 221153()2()221013ttttttPQ 522 52tt或522 52tt 5 210,5PQ此时6 58 55,(,)55tP 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用参数方程解决两点间距离的最小值，属于中档题型.23.【答案】（1）2,23；（2）4,.【解析】（1）当a 1时，不等式 4f x 即为214xx，当1x 时，可得214xx，解得2x，则12x；当01x 时，可得214xx，解得2x ，则01x；当0 x 时，可得214xx，解得23x ，则203x 综上可得，原不等式的解集为2,23.（2）若不等式 4f x 对一切 xR 恒成立，即为min()4f x，又 32,2,023,0 xa xaf xaxxaax x，当 xa 时，f xf aa；当0 xa时，2af xa；当0 x 时，2f xa，故 minf xa，则4a，即a 的取值范围是4,【点睛】本题考查绝对值不等式的解以及绝对值不等式的恒成立问题，前者一般利用零点分段讨论法求解，后者一般转化为函数的最值来讨论.