（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学3月联考试题（甲卷）文（含解析）.doc

1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 3 月联考试题（甲卷）文（含解析）注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Ax|x24x30，Bx|

2、xa，若 AB，则实数 a 的取值范围是 A.3，)B.(3，)C.(，1 D.(，1)2.为检测疫苗的有效程度，某权威部门对某种疫苗进行的三期临床效果比较明显的受试者，按照年龄进行分组，绘制了如图所示的样本频率分布直方图，其中年龄在20，30)内的有 1400人，在60，70)内有 800 人，则频率分布直方图中 a 的值为 A.0.008 B.0.08 C.0.006 D.0.06 3.已知锐角 满足 2cossin2cossin5，则 cos2 的值为 A.35 B.45 C.35 D.45 4.已知1zz2i(i 为虚数单位)，则|z1|A.23 B.2 23 C.2 D.2 2 5.

3、已知函数 f(x)xsin2x，则函数 yf(x)的图象大致为 6.一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为 1，2，3，4，5，6，从中不放回地抽取2 个球，则 2 个球的编号和不小于 7 的概率为 A.25 B.310 C.35 D.710 7.如图，已知 A，B 分别是半径为 2 的圆 C 上的两点，且ACB45，P 为劣弧AB上一个异于 A，B 的一点，过点 P 分别作 PMCA，PNCB，垂足分别为 M，N，则 MN 的长为 A.3 22 B.2 C.2 D.32 8.如图所示的程序输出的结果为10221023，则判断框中应填 A.i10？B.i10？C.i9？D.i11？9.已

4、知 M，N 是椭圆22149xy 上关于原点对称的两点，P 是该椭圆，上不同于 M，N 的一点，若直线 PM 的斜率 k1的取值范围为 54，1，则直线 PN 的斜率 k2的取值范围为 A.59，1 B.95，94 C.1，54 D.49，59 10.已知函数 f(x)exa1 在点 O(0，0)处的切线与函数 g(x)ax2axxlnx1 的图象相切于点 A，则点 A 坐标为 A.(14，51 ln 282)B.(12，11 ln222)C.(1，1)D.(2，52ln2)11.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c53，2，a1，且 abcosCccosBbc，则

5、cosA 的取值范围是 A.12，58 B.12，34 C.0，58 D.0，34 12.已知函数 f(x)xlnxx0 x x1x0，关于 x 的方程 f2(x)tf(x)10(tR)有 8 个不同的实数根，则 t 的取值范围是 A.(1ee，)B.(2e，12)(，1ee)C.(，174)D.(2，)(，174)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量 a(1，1)，b(1，1)，则|2a3b|。14.设变量 x，y 满足约束条件x4y 1404x3y 105xy60，则 z y2x4的最大值是 。15.已知 F1，F2分别是双曲线 C：22221xyab

6、(a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的右支交于第一象限内的一点 P，若 G(3b，3a)为F1PF2 的重心，则该双曲线的离心率为 。16.如图，在三棱锥 ABCD 中，BCCDBD2 2，ABACAD2a，若该三棱锥的侧面积是底面积的 3 倍，则该三棱锥外接球的表面积为 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)数列an是公差不为 0 的等差数列，满足 a11，a18a2a9，数列bn满足 bnna2。(I

7、)求数列an和bn的通项公式；(II)令 Tna1b1a2b2a3b3anbn，求 Tn的值。18.(12 分)如图，在底面为菱形的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ABAA1A1B1，BADA1AD60，A1在底面 ABCD 内的射影 E 为线段 AC 上一点。(I)求 AE 的长；(II)求三棱锥 CABD1的体积。19.(12 分)某企业为改变工作作风，树立企业形象，开展了为期半年的行风整治行动，现需要对整顿之后的情况进行问卷调查，随机从收回的有效问卷中抽查 100 份，根据这 100 份问卷的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，样本数据分组区间为50，60)，60，70)，70，8

8、0)，80，90)，90，100。(I)估计评分的平均数和中位数(结果保留四位有效数字)；(II)用分层抽样从60，70)和80，90)抽取 5 人，然后从这 5 人中选取 3 人进行进一步调查，求这 3 人中只有 1 人来自60，70)的概率。20.(12 分)已知函数 f(x)exalnx(aR)，g(x)ex 12x2ax1。(I)讨论函数 f(x)的单调性；(II)当 a0 时，若函数 h(x)f(x)g(x)有两个极值点 x1，x2(x1x2)，求证：h(x1)h(x2)0)的焦点为 F，点 A(2，1)是抛物线内一点，若该抛物线上存在点 E，使得|AE|EF|有最小值 3。(I)求

9、抛物线 C 的方程；(II)设直线 l：2xy40，点 B 是 l 与 y 轴的交点，过点 A 作与 l 平行的直线 l1，过点 A的动直线 l2与抛物线 C 相交于 P，Q 两点，直线 PB，QB 分别交直线 l1，于点 M，N，证明：|AM|AN|。(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是2224kx1k3 1 ky1k (k 为参数)，以坐标原点 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos(3)1。(I)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；(II)已知点 A(1，0)，若 l 和曲线 C 的交点为 M，N，求|AM|AN|。23.选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)2x1a|x1|。(I)当 a3 时，求函数 f(x)的最小值 m；(II)当 x(1，1)时，不等式 f(x)x22 恒成立，求实数 a 的取值范围。