（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学4月联考试题（乙卷）理（含解析）.doc

1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 4 月联考试题（乙卷）理（含解析）注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Ax|x|1，Bx|lnx

2、2，则 AB A.x|1x1 B.x|1xe2 C.x|0 x1 D.x|0 x0，0)，若 f(x)在 9，3 上单调递减，当 x(0，518)时 f(x)0，则 f(x)在0，30内的单调递增区间最多有 A.45 个 B.46 个 C.54 个 D.55 个 11.已知双曲线 C：22221xyab(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，A(0，2 a)，a(1，ba)，P 为 C 右支上一点，当|PA|PF1|取得最小值时，PA a，则 C 的离心率为 A.5 B.2 C.2 D.3 12.已 知 函 数f(x)22x2exe1xe(xe，e为 自 然 对 数 的 底 数)，g(x

3、)ln x 1axax 1(aR)，若 f(x)g(x)0 有解，则 a 的取值范围为 A.(0，)B.e，)C.2 1e，)D.(，2 1e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 x，y 满足约束条件xy 10 x2y 102xy30 ，则 zx3y 的最小值为 。14.已知椭圆 E：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2，过坐标原点的直线交 E于 P，Q 两点，且 PF2F2Q，且2PQFS 12a2，|PF2|F2Q|4，则 E 的标准方程为 。15.已知ABC 中角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，AB3 2，AC3，点 D 在

4、BC 上，BADBAC，记ABD 的面积为 S1，ABC 的面积为 S2，12S2S3，则 BC 。16.在古代数学中把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导了方亭的体积公式，如图正四棱台的下底面边长为 a，上底面边长为 b，高为 h，则体积 V 13(a2abb2)h，某景区计划在景区内挖一条景观河，河的横截面为等腰梯形，上口宽 10 米，下口宽 6 米，深2 米，河的总长度为 1638 米(按直线长度计算)，把挖出的土堆成一个正四棱台形状的地基，设计地基的高为 6 米，侧面与底面所成的二面角为 45，则正四棱台地基的底面边长为 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证

5、明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，满足 3(a1a3)S4，且 a1，a31，a4成等差数列。(I)求an的通项；(II)设 bnanlog2an1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求使 Tn2021 成立的 n 的最小值。18.(12 分)为了考察购物商场播放背景音乐对消费者的购物消费是否有促进作用，某商场对往年同期的销售额进行了统计整理，在往年数据的基础上，比较播放背景音乐的楼层和不播放背景音乐的楼层与往年同期相比销售额是否上

6、涨，得到了如表所示的 22 列联表：(I)能否在犯错误的概率不超过 0。01 的前提下认为播放背景音乐对促进消费者消费有效果？(II)为了进一步了解消费者对背景音乐的需求，该商场从播放背景音乐的楼层随机抽取 10 位幸运消费者，从不播放背景音乐的楼层分别随机抽取了 5 位幸运消费者赠送礼品并进行采访，然后又从 15 位幸运消费者中随机抽取 3 位进行深入调查，记抽取的 3 位幸运消费者中从播放背景音乐的楼层抽取的幸运消费者数为 X，求 X 的分布列和数学期望。(参考公式：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中 nabcd)19.(12 分)已知梯形 ABCD 中，A

7、B/CD，AB4，ADBCCD2，点 E 为 AB 中点，把ADE 沿 DE 折起，点 A 到达平面 ABCD 外一点 P 处，点 F 为 AD 中点。(I)求证：PB/平面 CEF；(II)当 PB 10 时，求二面角 DCEF 的余弦值。20.(12 分)已知函数 f(x)mexx(mR)有两个零点 x1，x2，且 x10)的焦点为 F，过点 F 的直线交E 于 A，B 两点，设 E 的准线与 x 轴的交点为 K，当 SKAF2SKBF时，SKBF 2。(I)求抛物线 E 的标准方程；(II)若点 N(3，0)，过点 N 的直线 l 与 E 交于 P，Q 两点，是否存在 x 轴上的定点 M

8、，使得|MP|NQ|MQ|NP|恒成立?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2cosy2sin(为参数)，直线 l 的直角坐标方程为 xy20。(I)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 和直线 l 的极坐标方程；(II)直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，点 P 是曲线 C 上的一个动点，求ABP 的面积的最大值。23.选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)|x2|x1|。(I)解不等式 f(x)20；(II)对任意的 xR，f(x)m22m 恒成立，求 m 的取值范围。