（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（五）数学文化（文含解析）.doc

1、专题检测（五）数学文化 一、选择题1.我国古代数学著作九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣()A.104 人 B.108 人C.112 人D.120 人解析：选 B 由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为3008 1008 1007 4886 912300 8 10022 500108.故选 B.2.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一

2、道数列题.其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第 20 项为()A.180 B.200C.128 D.162解析：选 B 根据前 10 项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为 2，公差为 2 的等差数列.可得从第 11 项到 20 项为 60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此数列第 20 项为 200.3.(2019昆明市高三调研测试)法国学者贝特朗于 1899 年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：如图，在半径为 1 的圆内随机地取一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长 3的概率等于多

3、少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释：固定弦的一个端点 A，另一端点在圆周上随机选取，其答案为()A.12B.13C.14D.16解析：选 B 记等边三角形为ABC，弦的另一个端点为 P.如图，弦AP 的长超过 AB 的长，则点 P 落在劣弧BC上，所以所求概率为13.故选 B.4.欧拉公式 eixcos xisin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，e2i 表示的复数在复平面内对应的点位于()A.第

4、一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选 B 依题可知 eix 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故 e2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 2，sin 2)，显然该点位于第二象限，选 B.5.如图所示是 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标图案，该图案的设计基础是赵爽弦图，以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了勾股定理.如图是用 4 个全等的直角三角形以斜边为边长拼成的一个正方形.假设直角三角形的直角边长分别为 3，5，在正方形 ABCD 中随机取一点，则此点取自四边形 EFGH 内的概率是()A.217B.18C.29D.42

5、5解析：选 A 因为直角三角形的直角边长分别为 3，5，所以正方形 ABCD 的面积为 325234，易知四边形 EFGH 的面积为(53)24.故此点取自四边形 EFGH 内的概率 P 434 217.故选 A.6.我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸解析：选

6、B 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列an，公差为 d，a115，a13135，则 1512d135，解得 d10.所以 a2151025，所以小暑的晷长是 25 寸.故选 B.7.算数书是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么，近似公式 V 7264L2h，相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227B.258C.15750D.355113解析：选 A 依题意，设圆锥的底面半径

7、为 r，则 V13r2h 7264L2h 7264(2r)2h，化简得227.故选 A.8.五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0 代表土，1 代表水，2 代表火，3 代表木，4 代表金，依此类推，5 又属土，6 属水(减去 5 即得)如图，这是一个把 k 进制数 a(共有 n 位)化为十进制数 b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的 k，a，n 分别为 5，1 203，4，则输出的 b()A.178 B.386C.890 D.14 303解析：选 A 执行该程序框图，可得当输入 k5，a1 203，n4 时，该程序框图的功能是计算

8、并输出 b350051252153178.故选 A.9.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知 1949 年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立 80 年时为_年()A.丙酉B.戊

9、申C.己申D.己酉解析：选 D 天干以 10 循环，地支以 12 循环，从 1949 年到 2029 年经过 80 年，且 1949年为“己丑”年，以 1949 年的天干和地支分别为首项，80108，则 2029 年的天干为己；801268，则 2029 年的地支为酉.10.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积12(弦矢矢矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的

10、是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦 AB 等于6 米，其弧田弧所在圆为圆 O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则cosAOB()A.125B.325C.15D.725解析：选 D 如图，依题意 AB6，设 CDx(x0)，则12(6xx2)72，解得 x1.设 OAy，则(y1)29y2，解得 y5.由余弦定理得 cosAOB252536255 725，故选 D.11.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 a0a1a2，ai0，1(i0，1，2)，传输信息为 h0a0a1a2h1，其

11、中 h0a0a1，h1h0a2，的运算规则为 000，011，101，110.例如原信息为 111，则传输信息为 01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A.11010 B.01100C.10111 D.00011解析：选 C 对于选项 C，传输信息是 10111，对应的原信息是 011，由题目中的运算规则知 h0011，h1h0a2110，故传输信息应是 10110.12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义：图像能够将圆 O 的周长和

12、面积同时等分成两部分的函数称为圆 O 的一个“太极函数”，给出下列命题：对于任意一个圆 O，其“太极函数”有无数个；函数 f(x)ln(x2x21)可以是某个圆的“太极函数”；正弦函数 ysin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”；函数 yf(x)是“太极函数”的充要条件为函数 yf(x)的图像是中心对称图形.其中正确的命题为()A.B.C.D.解析：选 A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆 O，其“太极函数”有无数个，故正确；函数 f(x)ln(x2x21)的图像如图所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故错误；将圆的圆心放在正弦函数 ysin x 图像的对称

13、中心上，则正弦函数 ysin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数 ysin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故正确；函数 yf(x)的图像是中心对称图形，则 yf(x)是“太极函数”，但函数 yf(x)是“太极函数”时，图像不一定是中心对称图形，如图，故错误.故选 A.二、填空题13.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该

14、鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_.(容器壁的厚度忽略不计)解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为 1，2，6 的长方体的外接球.设其半径为 R，(2R)2622212，解得 R2414，所以该球形容器的表面积的最小值为 4R241.答案：4114.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”.设 F1，F2 分别是椭圆x24y21 的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，若线段 PF2，PF1 分别是 RtF1PF2的“勾”“股”，则点 P 的横坐标为_.解析：由题

15、意知半焦距 c 3，又 PF1PF2，故点 P 在圆 x2y23 上，设 P(x，y)，联立，得x2y23，x24y21，得 P2 63，33.故点 P 的横坐标为2 63.答案：2 6315.公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为 0.618，这一数值也可以表示为 m2sin 18，若 m2n4，则m n2cos2271_.解析：由题设 n4m244sin2184(1sin218)4cos218，m n2cos22712sin 18 4cos2182cos22712（2sin 18cos 18）cos 542sin 36sin

16、36 2.答案：216.(2019合肥市第一次质检)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为_.解析：由题意可知每次挖去等边三角形的14，设题图(1)中三角形的面积为 1，则题图(2)中阴影部分的面积为 11434，题图(3)中阴影部分的面积为114 114 342 916，故在题图(3)中随机选取一点，此点来自阴影部分的概率为 916.答案：916