（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（十五）直线与圆（理含解析）.doc

1、专题检测（十五）直线与圆 A 组“633”考点落实练一、选择题1“ab4”是“直线 2xay10 与直线 bx2y20 平行”的()A充要条件 B.充分不必要条件C必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选 C 因为两直线平行，所以斜率相等，即2ab2，可得 ab4，又当 a1，b4 时，满足 ab4，但是两直线重合故选 C.2已知直线 l1 过点(2，0)且倾斜角为 30，直线 l2 过点(2，0)且与直线 l1 垂直，则直线l1 与直线 l2 的交点坐标为()A(3，3)B(2，3)C(1，3)D1，32解析：选 C 直线 l1 的斜率 k1tan 30 33，因为直线 l2 与直线

2、l1 垂直，所以直线 l2 的斜率 k21k1 3，所以直线 l1 的方程为 y 33(x2)，直线 l2 的方程为 y 3(x2)，联立y 33（x2），y 3（x2），解得x1，y 3，即直线 l1 与直线 l2 的交点坐标为(1，3)故选 C.3已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆N：(x1)2(y1)21 的位置关系是()A内切B.相交C外切D.相离解析：选 B 圆 M：x2y22ay0(a0)可化为 x2(ya)2a2，由题意，M(0，a)到直线 xy0 的距离 d a2，所以 a2a22 2，解得 a2.所以圆 M：x2(y2

3、)24，所以两圆的圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，故两圆相交故选 B.4直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP面积的取值范围是()A2，6 B4，8C 2，3 2D2 2，3 2解析：选 A 设圆(x2)2y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P 到直线 xy20 的距离为 d，则圆心 C(2，0)，r 2，所以圆心 C 到直线 xy20 的距离为|22|2 2 2，可得 dmax2 2r3 2，dmin2 2r 2.由已知条件可得|AB|2 2，所以ABP 面积的最大值为12|AB|dmax6，ABP 面积的最小值为12

4、|AB|dmin2.综上，ABP 面积的取值范围是2，6故选 A.5已知圆 O：x2y24 上到直线 l：xya 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则实数 a的取值范围为()A(3 2，3 2)B(，3 2)(3 2，)C(2 2，2 2)D3 2，3 2 解析：选 A 由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为 2.因为圆 O 上到直线 l 的距离等于 1的点至少有 2 个，所以圆心到直线 l 的距离 dr121，即 d|a|1212|a|20，y1y2 2kk21，x1x2k(y1y2)22k21，因为OM OAOB，故 M2k21，2kk21，又点 M 在圆 C 上，故4（k21）24k2

5、（k21）24，解得 k0.故选 C.法二：由直线与圆相交于 A，B 两点，OM OAOB，且点 M 在圆 C 上，得圆心 C(0，0)到直线 xky10 的距离为半径的一半，为 1，即 d11k21，解得 k0.故选 C.二、填空题7过点 C(3，4)作圆 x2y25 的两条切线，切点分别为 A，B，则点 C 到直线 AB 的距离为_解析：以 OC 为直径的圆的方程为x322(y2)2 522，AB 为圆 C 与圆 O：x2y25的公共弦，所以 AB 的方程为 x2y2x322（y2）2 5254，化简得 3x4y50，所以 C 到直线 AB 的距离 d|33445|32424.答案：48已

6、知直线 l：ax3y120 与圆 M：x2y24y0 相交于 A，B 两点，且AMB3，则实数 a_解析：直线 l 的方程可变形为 y13ax4，所以直线 l 过定点(0，4)，且该点在圆 M 上圆的方程可变形为 x2(y2)24，所以圆心为M(0，2)，半径为 2.如图，因为AMB3，所以AMB 是等边三角形，且边长为 2，高为 3，即圆心 M 到直线 l 的距离为 3，所以|612|a29 3，解得 a 3.答案：39(2019浙江高考)已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2xy30 与圆C 相切于点 A(2，1)，则 m_，r_解析：法一：因为直线 2xy30 与以

7、点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为 A(2，1)，所以m10（2）21，所以 m2，r（20）2（12）2 5.法二：根据题意画出图形，可知 A(2，1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|（20）2（13）22 5，|AC|（20）2（1m）2 4（m1）2，|BC|m3|.直线 2xy30 与圆 C 相切于点 A，BAC90，|AB|2|AC|2|BC|2.即 204(m1)2(m3)2，解得 m2.因此 rAC4（21）2 5.答案：2 5三、解答题10已知以点 A(1，2)为圆心的圆与直线 l1：x2y70 相切过点 B(2，0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点(1)

8、求圆 A 的方程；(2)当|MN|2 19时，求直线 l 的方程解：(1)设圆 A 的半径为 R.因为圆 A 与直线 l1：x2y70 相切，所以 R|147|52 5.所以圆 A 的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.由于|MN|2 19，于是|k22k|k212(19)220，解得 k34，此时，直线 l 的方程为 3x4y60.所以所求直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.11已知点 P(2，2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l

9、 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积解：(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4.设 M(x，y)，则CM(x，y4)，MP(2x，2y)由题设知CM MP0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心，2为半径的圆 由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上 又 P 在圆

10、 N 上，从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为13，直线 l 的方程为 y213(x2)，即 l 的方程为 x3y80.又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距离为|8|12324 105，又 N 到直线 l 的距离为|1338|10 105，|PM|2210524 105，SPOM124 1054 105165.12(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为

11、yk(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yk（x1），y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1 或 k1(舍去)因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216.解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2

12、144.B 组大题专攻强化练1已知点 M(1，0)，N(1，0)，曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离的 3倍(1)求曲线 E 的方程；(2)已知 m0，设直线 l1：xmy10 交曲线 E 于 A，C 两点，直线 l2：mxym0交曲线 E 于 B，D 两点当 CD 的斜率为1 时，求直线 CD 的方程解：(1)设曲线 E 上任意一点的坐标为(x，y)，由题意得（x1）2y2 3（x1）2y2，整理得 x2y24x10，即(x2)2y23 为所求(2)由题意知 l1l2，且两条直线均恒过点 N(1，0)设曲线 E 的圆心为 E，则 E(2，0)，设线段 CD 的中点为 P

13、，连接 EP，ED，NP，则直线EP：yx2.设直线 CD：yxt，由yx2，yxt 解得点 Pt22，t22，由圆的几何性质，知|NP|12|CD|ED|2|EP|2，而|NP|2t22 12t222|PD|2，|ED|23，|EP|2|2t|22，由|PD|2|ED|2|EP|2，得 t22t2223（t2）22，整理得 t23t0，解得 t0 或 t3，所以直线 CD 的方程为 yx 或 yx3.2在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，3)，直线 l：y2x4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2

14、)若圆 C 上存在点 M，使|MA|2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围解：(1)因为圆心在直线 l：y2x4 上，也在直线 yx1 上，所以解方程组y2x4，yx1，得圆心 C(3，2)，又因为圆的半径为 1，所以圆的方程为(x3)2(y2)21，又因为点 A(0，3)，显然过点 A，圆 C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为 ykx3，即 kxy30，所以|3k23|k212 1，解得 k0 或 k34，所以所求切线方程为 y3 或 y34x3，即 y30 或 3x4y120.(2)因为圆 C 的圆心在直线 l：y2x4 上，所以设圆心 C 为(a，2a4)，又因为圆 C 的

15、半径为 1，则圆 C 的方程为(xa)2(y2a4)21.设 M(x，y)，又因为|MA|2|MO|，则有 x2（y3）22 x2y2，整理得 x2(y1)24，其表示圆心为(0，1)，半径为 2 的圆，设为圆 D，所以点 M 既在圆 C 上，又在圆 D 上，即圆 C 与圆 D 有交点，所以 21a2（2a41）221，解得 0a125，所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为0，125.3在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0，1)，当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由；(2)证明过 A，B，C 三

16、点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值解：(1)不能出现 ACBC 的情况，理由如下：设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2 满足 x2mx20，所以 x1x22.又 C 的坐标为(0，1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1x1 1x2 12，所以不能出现 ACBC 的情况(2)证明：由(1)知 BC 的中点坐标为x22，12，可得 BC 的中垂线方程为 y12x2xx22.由(1)可得 x1x2m，所以 AB 的中垂线方程为 xm2.联立xm2，y12x2xx22，x22mx220可得xm2，y12.所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为m2，12，半径 rm2021212

17、 m292.故圆在 y 轴上截得的弦长为 2r2 m223，即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 综上所述，过 A，B，C 三点圆在 y 轴上截得的弦长为定值4如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y600及其上一点 A(2，4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且|BC|OA|，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TATPTQ，求实数 t 的取值范围

18、解：圆 M 的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心 M(6，7)，半径为 5.(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6，y0)因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0y07，圆 N 的半径为 y0，从而 7y05y0，解得 y01.因此，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线 lOA，所以直线 l 的斜率为40202.设直线 l 的方程为 y2xm，即 2xym0，则圆心 M 到直线 l 的距离 d|267m|5|m5|5.因为|BC|OA|22422 5，而|MC|2d2|BC|22，所以 25（m5）255，解得 m5 或 m15.故直线 l 的方程为 2xy50 或 2xy150.(3)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为 A(2，4)，T(t，0)，TATPTQ，所以x2x12t，y2y14.因为点 Q 在圆 M 上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点 P(x1，y1)既在圆 M 上，又在圆x(t4)2(y3)225 上，从而圆(x6)2(y7)225 与圆x(t4)2(y3)225 有公共点，所以 55（t4）62（37）255，解得 22 21t22 21.