（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（十六）圆锥曲线的定义、方程与性质（理含解析）.doc

1、专题检测（十六）圆锥曲线的定义、方程与性质 A 组“633”考点落实练一、选择题1(2019济南模拟)已知双曲线x29y2m1 的一个焦点 F 的坐标为(5，0)，则该双曲线的渐近线方程为()Ay43x B.y34xCy53xD.y35x解析：选 A 易知 c5，故 m16，故双曲线方程为x29y2161，将 1 换为 0 得x29y2160，即渐近线方程为 y43x.故选 A.2已知抛物线 x24y 上一动点 P 到 x 轴的距离为 d1，到直线 l：xy40 的距离为 d2，则 d1d2 的最小值是()A.5 52 2 B.5 22 1C.5 22 2D.5 22 1解析：选 D 抛物线

2、x24y 的焦点 F(0，1)，由抛物线的定义可得 d1|PF|1，则 d1d2|PF|d21，而|PF|d2 的最小值等于焦点 F 到直线 l 的距离，即(|PF|d2)min 525 22，所以 d1d2 的最小值是5 22 1.故选 D.3(2019全国卷)双曲线 C：x24y221 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO 的面积为()A.3 24B.3 22C.2 2D.3 2解析：选 A 不妨设点 P 在第一象限，根据题意可知 c26，所以|OF|6.又 tanPOFba 22，所以等腰三角形 POF 的高 h 62 22 32，所

3、以 SPFO12 6 32 3 24.故选A.4(2019全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 x2y2a2 交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为()A.2B.3C2D.5解析：选 A 设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 的坐标为(c，0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQOF.设垂足为 M，连接 OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|c2.由|OM|2|MP|2|OP|2 得 c22 c22a2，故ca2，即 e 2.故选 A.

4、5(2019昆明模拟)已知 F1，F2 为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，B 为 C 的短轴的一个端点，直线 BF1 与 C 的另一个交点为 A，若BAF2 为等腰三角形，则|AF1|AF2|()A.13B.12C.23D.3解析：选 A 如图，不妨设点 B 在 y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|a2，|AF2|3a2.所以|AF1|AF2|13.故选 A.6(2019广州调研)已知椭圆：x2a2y2b21(ab0)的长轴长是短轴长的 2 倍，过右焦点 F且斜率为

5、 k(k0)的直线与 相交于 A，B 两点若AF3FB，则 k()A.1 B.2C.3D.2解析：选 D 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF3FB，所以 y13y2.因为椭圆 的长轴长是短轴长的 2 倍，所以 a2b，设 bt，则 a2t，故 c 3t，所以x24t2y2t21.设直线 AB 的方程为 xsy 3t，代入上述椭圆方程，得(s24)y22 3styt20，所以 y1y22 3sts24，y1y2 t2s24，即2y22 3sts24，3y22 t2s24，得 s212，k 2.故选 D.二、填空题7已知 P(1，3)是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)渐近

6、线上的点，则双曲线 C 的离心率是_解析：双曲线 C 的一条渐近线的方程为 ybax，P(1，3)是双曲线 C 渐近线上的点，则ba3，所以离心率 ecaa2b2a21b2a22.答案：28若 F1，F2 是椭圆x29y271 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为_解析：由题意得 a3，b 7，c 2，|F1F2|2 2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|284|AF1|，(6|AF1|)2|AF1|284|AF1|，解得|AF1|72.AF1F2 的面积 S122 272 22 72.答案：

7、729(2019洛阳尖子生第二次联考)过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 的直线与抛物线 C交于 A，B 两点，且AF3FB，抛物线 C 的准线 l 与 x 轴交于点 E，AA1l 于点 A1，若四边形AA1EF 的面积为 6 3，则 p_解析：不妨设点 A 在第一象限，如图，作 BB1l 于点 B1，设直线 AB与 l 的交点为 D，由抛物线的定义及性质可知|AA1|AF|，|BB1|BF|，|EF|p.设|BD|m，|BF|n，则|BD|AD|BB1|AA1|BF|AF|13，即mm4n13，m2n.又|BB1|EF|BD|DF|，np mmn23，n2p3，|DF|mn2p，AD

8、A130.又|AA1|3n2p，|EF|p，|A1D|2 3p，|ED|3p，|A1E|3p，直角梯形 AA1EF 的面积为12(2pp)3p6 3，解得 p2.答案：2三、解答题10(2019天津高考)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 55.(1)求椭圆的方程；(2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在y 轴的负半轴上，若|ON|OF|(O 为原点)，且 OPMN，求直线 PB 的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意，2b4，ca 55，又 a2b2c2，可得 a

9、5，b2，c1.所以，椭圆的方程为x25y241.(2)由题意，设 P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)设直线 PB 的斜率为 k(k0)，又 B(0，2)，则直线 PB 的方程为 ykx2，与椭圆方程联立ykx2，x25y241，整理得(45k2)x220kx0，可得 xP 20k45k2，代入 ykx2 得 yP810k245k2，进而直线 OP 的斜率为yPxP45k210k.在 ykx2 中，令 y0，得 xM2k.由题意得 N(0，1)，所以直线 MN 的斜率为k2.由 OPMN，得45k210k k2 1，化简得 k2245，从而 k2 305.所以，直线 PB 的斜率为2

10、305或2 305.11已知抛物线 C：x22py(p0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点(1)若 ABl，且ABD 的面积为 1，求抛物线的方程；(2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切解：(1)ABl，|AB|2p.又|FD|p，SABDp21.p1，故抛物线 C 的方程为 x22y.(2)证明：设直线 AB 的方程为 ykxp2，由ykxp2，x22py消去 y 得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.其中 Ax1，x212p，Bx2，x222p.Mkp，k2pp

11、2，Nkp，p2.kANx212pp2x1kpx212pp2x1x1x22x21p22px1x22 x21x1x22px1x22x1p.又 x22py，即 yx22p，yxp.抛物线 x22py 在点 A 处的切线斜率 kx1p.直线 AN 与抛物线相切12(2019江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦点为 F1(1，0)，F2(1，0)过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆F2：(x1)2y24a2 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连接 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连接 BF2 交椭圆 C 于点 E，连接 D

12、F1.已知 DF152.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求点 E 的坐标解：(1)设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(1，0)，F2(1，0)，所以 F1F22，c1.又因为 DF152，AF2x 轴，所以 DF2DF21F1F22 5222232.因此 2aDF1DF24，从而 a2.由 b2a2c2，得 b23.因此椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)法一：由(1)知，椭圆 C：x24y231，a2.因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x1 代入圆 F2 的方程(x1)2y216，解得 y4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4)又 F1(1，0)，

13、所以直线 AF1：y2x2.由y2x2，（x1）2y216得 5x26x110，解得 x1 或 x115.将 x115 代入 y2x2，解得 y125.因此 B115，125.又 F2(1，0)，所以直线 BF2：y34(x1)由y34（x1），x24y231得 7x26x130，解得 x1 或 x137.又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 x1.将 x1 代入 y34(x1)，得 y32.因此 E1，32.法二：由(1)知，椭圆 C：x24y231.如图，连接 EF1.因为 BF22a，EF1EF22a，所以 EF1EB，从而BF1EB.因为 F2AF2B，所以AB.所以ABF1

14、E，从而 EF1F2A.因为 AF2x 轴，所以 EF1x 轴 因为 F1(1，0)，由x1，x24y231得 y32.又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 y32.因此 E1，32.B 组大题专攻强化练1(2019武汉市调研测试)已知椭圆：x2a2y2b21(ab0)经过点 M(2，1)，且右焦点 F(3，0)(1)求椭圆 的标准方程；(2)过 N(1，0)且斜率存在的直线 AB 交椭圆 于 A，B 两点，记 tMAMB，若 t 的最大值和最小值分别为 t1，t2，求 t1t2 的值解：(1)由椭圆x2a2y2b21 的右焦点为(3，0)，知 a2b23，即 b2a23，则x2a2

15、 y2a231，a23.又椭圆过点 M(2，1)，4a21a231，又 a23，a26.椭圆 的标准方程为x26y231.(2)设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x26y231，yk（x1）得 x22k2(x1)26，即(12k2)x24k2x2k260，点 N(1，0)在椭圆内部，0，x1x2 4k212k2，x1x22k262k21，则 tMAMB(x12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5,将代入得，t(1k2)2k262k21(2k2k)4k22

16、k21k22k5，t15k22k12k21，(152t)k22k1t0，kR，则 1224(152t)(1t)0，(2t15)(t1)10，即 2t213t160，由题意知 t1，t2 是 2t213t160 的两根，t1t2132.2(2019福建省质量检查)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 F：(x1)2y21 外的点 P 在 y轴的右侧运动，且 P 到圆 F 上的点的最小距离等于它到 y 轴的距离记 P 的轨迹为 E.(1)求 E 的方程；(2)过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 D 与平行于 y 轴的直线相切于点 M，线段 DM 交 E 于点 N，证明：AM

17、B 的面积是AMN 的面积的四倍解：法一：(1)设 P(x，y)，依题意 x0，F(1，0)因为 P 在圆 F 外，所以 P 到圆 F 上的点的最小距离为|PF|1.依题意得|PF|1x，即（x1）2y21x，化简得 E 的方程为 y24x(x0)(2)证明：当直线 AB 的斜率不存在时，不符合题意，舍去 当直线 AB 的斜率存在时，如图，在平面直角坐标系中，设 N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 Dx1x22，y1y22.设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)，由yk（x1），y24x得 k2x2(2k24)xk20.因为(2k24)24k416k2160，所以

18、x1x22k24k2，所以 y1y2k(x11)k(x21)4k，故 Dk22k2，2k.由抛物线的定义知|AB|x1x224k24k2.设 M(xM，yM)，依题意得 yM2k，所以|MD|k22k2 xM.又|MD|AB|2，所以k22k2 xM2k22，解得 xM1，所以 M1，2k.因为 Nx0，2k 在抛物线上，所以 x01k2，即 N1k2，2k，所以 SAMB12|MD|y1y2|k21k2|y1y2|，SAMN12|MN|y1yD|12|MN|12|y1y2|k214k2|y1y2|.故 SAMB4SAMN.法二：(1)设 P(x，y)，依题意 x0.因为 P 在圆 F 外，所

19、以 P 到圆 F 上的点的最小距离为|PF|1.依题意得，点 P 到 F(1，0)的距离|PF|等于 P 到直线 x1 的距离 所以 P 在以 F(1，0)为焦点，x1 为准线的抛物线上，所以 E 的方程为 y24x(x0)(2)证明：如图，在平面直角坐标系中，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)因为直线 AB 过 F(1，0)，依题意可设其方程为 xty1(t0)由xty1，y24x得 y24ty40.因为 16t2160，所以 y1y24t.所以 x1x2ty11ty214t22.因为 D 是 AB 的中点，所以 D(2t21，2t)由抛物线的定义得|AB|x11x214t24.设与圆 D 相切于 M，且平行于 y 轴的直线为 l：xm，因为 DM 与抛物线相交于 N，所以 m0，且 DMl，又|DM|12|AB|，所以 2t21m12(4t24)，解得 m1.设 N(x0，y0)，则 y02t，所以(2t)24x0，所以 x0t2，因为2t21（1）2t2，所以 N 为 DM 的中点，所以 SAMD2SAMN.又 D 为 AB 的中点，所以 SAMB2SAMD，所以 SAMB4SAMN.