2021新高考数学二轮总复习学案：2-3　热点小专题二、导数的应用 WORD版含解析.docx

1、2.3热点小专题二、导数的应用必备知识精要梳理1.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x0).2.常用的导数及求导法则(1)(xm)=mxm-1,(sin x)=cos x,(cos x)=-sin x,(ex)=ex,(ln x)=1x,(ax)=axln a,(logax)=1xlna.(2)f(x)+g(x)=f(x)+g(x);f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);f(x)g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)g2(x)g(x)0.3.函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)

2、0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.关键能力学案突破热点一利用导数求曲线的切线【例1】(1)(2020福建福州模拟,理7)已知函数f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=x2-ln(-x),则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为()A.x-y=0B.x-y-2=0C.x+y-2=0D.3x-y-2=0(2)(2020全国,理10)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为()A.y=2x+

3、1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12解题心得求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0)求切线方程,利用k=f(x0),再由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k求切线方程,设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0),解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上非切点的一点(a,b)求切线方程,设切点P(x0,y0),则k=f(x0)=y0-bx0-a,y0=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.【对点训练1】(1)(2020全国,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-

4、2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1(2)(2020山东德州二模,14)已知f(x)为奇函数,当x0或f(x)0.已知函数的单调性,则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.【对点训练3】(1)若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x在区间(-,+)单调递增,则a的取值范围是()A.-1,1B.-1,13C.-13,13D.-1,-13(2)设f(x)=ex(ln x-a),若函数f(x)在区间1e,e上单调递减,则实数a的取值范围为.类型二已知极值、最值或恒成立求参数范围【例4】(1)(2020山东青岛5月模拟,8)已知函数f(x)=lnxx2,若f(x

5、)eB.me2C.m1D.me(2)函数f(x)=ln x+12x2-ax(x0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是()A.52,3B.52,103C.52,103D.2,103解题心得在有关函数不等式恒成立的情况下求参数的范围问题,通过对问题的转化,一般都变成通过研究函数的极值、最值得到参数的范围;能分离出参数更是直接求最值问题.已知函数的极值点求参数的问题,最终还是通过求最值得到解决.【对点训练4】设函数f(x)=3sinxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+f(x0)20),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?解题心得关于三角函数,几何体的表面积、体

6、积及实际问题中的最值问题,一开始想到的往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.【对点训练6】(1)(2020湖南湘潭三模,理7)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤(2)(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的正

7、方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为cm.核心素养微专题(二)例析“数学建模”在导数研究函数中的应用【例1】已知f(x)=x+1,g(x)=ln x,若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为()A.1B.2+ln 2C.2-ln 2D.2核心素养分析要求x2-x1的最小值,需要建立关于x2-x1的函数模型,即用某一个量表示出x2-x1,依据已知条件,可设f(x1)=g(x2)=t,从而用t表示出x2和x1,从而得到关于x2-x1的函数模型,

8、研究函数模型得出最值.【例2】(2020安徽马鞍山二模,12)已知函数f(x)的定义域为-2,2,f(x)是f(x)的导函数,f(x)cos x+f(x)sin x0,则关于x的不等式f(x)2f4cos x的解集为()A.-2,4B.-4,4C.4,2D.-2,-44,2核心素养分析要求不等式f(x)2f4cosx的解集,因题目条件中并没有f(x)的解析式,所以必须要构建一个函数模型,通过该函数模型的单调性解不等式.构建函数模型的依据是条件f(x)cosx+f(x)sinx0时,-x0,f(-x)=x2-lnx,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-lnx,f(1)=1,所以f(x)=

9、2x-1x,f(1)=1,故切线方程为y-1=x-1,即y=x.故选A.(2)由y=x得y=12x,设直线l与曲线y=x的切点为(x0,x0),则直线l的方程为y-x0=12x0(x-x0),即12x0x-y+12x0=0,由直线l与圆x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=55,即|12x0|14x0+1=55,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=12x+12.对点训练1(1)B(2)y=ex-2e解析(1)对函数f(x)求导可得f(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1)处的切线的斜率为k=f(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以

10、切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.(2)因为奇函数在关于原点对称的两点处的切线平行,且f(x)=3ex2-2e-x(x0),故f(1)=f(-1)=e,f(1)=-f(-1)=-e,故切线为y+e=e(x-1),即y=ex-2e.【例2】1-1解析将点(e,f(e)代入y=3x-e得f(e)=3e-e=2e,f(x)=axlnx-bx,则f(x)=alnx+a-b,由题意得f(e)=(a-b)e=2e,f(e)=2a-b=3,解得a=1,b=-1.对点训练2-1解析f(x)=1-ax,f(1)=1-ax=1-a,由题意得1-a=2,解得a=-1.【例3】(1)D(2

11、)(-,-2-2ln 2)解析(1)由f(x)=k-1x,又f(x)在(1,+)上单调递增,则f(x)0在x(1,+)上恒成立,即k1x在x(1,+)上恒成立.又当x(1,+)时,01x0,即a2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g(x)=2-4ex.令g(x)=0,解得x=-ln2.当x(-,-ln2)时,函数g(x)=2x-4ex单调递增;当x(-ln2,+)时,函数g(x)=2x-4ex单调递减.所以当x=-ln2时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln2,所以a0恒成立;当00,所以h(t)在(0,1上单调递增.所以h(t)max=h(1)=-13.所以a-13.当-

12、1t0,所以g(t)在-1,0)上单调递增.所以g(t)min=g(-1)=13,所以a13.综上,-13a13.(2)由题意可得f(x)=exlnx+1x-a0在1e,e上恒成立.因为ex0,所以只需lnx+1x-a0,即alnx+1x在1e,e上恒成立.令g(x)=lnx+1x.因为g(x)=1x-1x2=x-1x2.由g(x)=0,得x=1.则g(x)在1e,1内单调递减,在(1,e)内单调递增,g1e=ln1e+e=e-1,g(e)=1+1e,因为e-11+1e,所以g(x)max=g1e=e-1.故a的取值范围为e-1,+).【例4】(1)B(2)B解析(1)若f(x)m-1x2在(

13、0,+)上恒成立,即f(x)+1x2m在(0,+)上恒成立,令g(x)=f(x)+1x2=lnx+1x2,故只需g(x)maxm即可,g(x)=1xx2-(lnx+1)2xx4=-2lnx-1x3,令g(x)=0,得x=e-12,当0x0;当xe-12时,g(x)e2.故选B.(2)f(x)=lnx+12x2-ax(x0),f(x)=1x+x-a(x0).函数f(x)=lnx+12x2-ax(x0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,y=f(x)在区间12,3上只有一个变号零点.令f(x)=1x+x-a=0,得a=1x+x.令g(x)=1x+x,x12,3,则g(x)在区间12,1上单调递减,

14、在区间(1,3)上单调递增,g(x)min=g(1)=2,又g12=52,g(3)=103.结合函数g(x)=1x+x,x12,3的图象可得,当52a103时,y=f(x)在区间12,3上只有一个变号零点.实数a的取值范围为52,103.故选B.对点训练4C解析x0是f(x)的极值点,f(x0)=0,即m3cosx0m=0,得mx0=k+2,kZ,即x0=mk+12m,kZ.x02+f(x0)2m2可转化为mk+12m2+3sinmmk+12m2m2,kZ,即k+122m2+3m2,kZ,即k+122k+122成立即可.又k+122的最小值为14,1-3m214,解得m2.故选C.【例5】(1

15、,+)解析函数g(x)的定义域为(0,+),所以只研究这两个函数在x(0,+)内的图象,当a0时,f(x)单调递增,又g(x)单调递减,两者的图象最多只有一个交点,不符合题意.当a0时,设(x)=f(x)-g(x),即(x)=x2-2ax-alnx+a,0xa,x2+(2-2a)x-alnx-a,xa,因为(x)=2(x-a)-ax0,0x0,xa,所以(x)在(0,a)上单调递减,(a,+)上单调递增,所以(x)min=-a2-alna+a,因为x0,x+时,(x)+,所以(x)有两个零点当且仅当(x)min=-a2-alna+a1,即a的取值范围为(1,+).对点训练5C解析函数f(x)=

16、x22x-2elnx与g(x)=2elnx+mx的图象有4个不同的交点,即为mx=x22x-2elnx-2elnx,即m=x2x-2elnx-2elnxx(x0且xe)有4个不相等的实根.设h(x)=x2x-2elnx-2elnxx,则h(x)=2e-2elnx(2x-2elnx)2-2e-2elnxx2.由h(x)=0,可得x=2elnx或3x=2elnx或x=e(舍去).由y=lnxx的导数为y=1-lnxx2,当xe时,函数单调递减;当0xe时,函数单调递增,可得函数y=lnxx在x=e处取得极大值,且为最大值1e,则x=2elnx有两解,3x=2elnx无解.当x=2elnx,可得m=

17、0,即为h(x)的最小值,由x+,lnxx0,可得x2x-2elnx-2elnxx=12-2elnxx-2elnxx12,可得当0m0且xe)有4个不等实根,故选C.【例6】解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当OB=40时,BB1=-1800403+640=160,则AA1=160.由140OA2=160,得OA=80.所以AB=OA+OB=80+40=120(米).(2)以O为原点,OO为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x,y2),x(0,40),则y2=-1800x3+6x,EF=160-y2=160+1800

18、x3-6x.因为CE=80,所以OC=80-x.设D(x-80,y1),则y1=140(80-x)2,所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+4x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k160+1800x3-6x+32k-140x2+4x=k1800x3-380x2+160(0x0,当x(6,8)时,g(x)0,所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.(2)设EF=xcm,则AE=BF=30-x2cm,包装盒的高为GE=22xcm,因为AE=AH=30-x2cm,A=2,所以包装盒的底面边长为HE=

19、22(30-x)cm,所以包装盒的体积为V(x)=22(30-x)222x=24(x3-60x2+900x),0x0,函数V(x)单调递增;当x(10,30)时,V(x)0,函数V(x)单调递减,所以V(x)max=V(10)=24(1000-6000+9000)=10002(cm3),即当EF=10cm时,包装盒容积取得最大值10002cm3.核心素养微专题(二)【例1】D解析设f(x1)=g(x2)=t,所以x1=t-1,x2=et,所以x2-x1=et-t+1,令h(t)=et-t+1,则h(t)=et-1,所以h(t)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以h(t)min=h(0)=2.【例2】C解析函数f(x)的定义域为-2,2,不等式f(x)2f4cosx,即f(x)cosxf4cos4,令g(x)=f(x)cosx,x-2,2.f(x)cosx+f(x)sinx0,g(x)=f(x)cos+f(x)sinxcos2x0,函数g(x)在x-2,2上单调递减.f(x)cosxf(4)cos4,g(x)g4,解得4x2.关于x的不等式f(x)2f4cosx的解集为4,2.