江苏省南京市2023届高三年级第二次模拟考试 数学答案.pdf

1、第 1页/共 20页学科网（北京）股份有限公司南京市 2023 届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1.集合N 14Axx的子集个数为（）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】【分析】确定2,3A，再计算子集个数

2、得到答案.【详解】N 142,3Axx，故子集个数为224.故选：B2.已知复数 z 满足i2iz ，其中i 为虚数单位，则 z 为（）A.12i B.12iC.12i D.12i【答案】C【解析】【分析】计算1 2iz ，再计算共轭复数得到答案.【详解】2ii2i12iiiiz ，则12iz .故选：C3.在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 若 sinsin2ABbcB，则角C 的大小为（）A.6B.3C.23D.56【答案】B【解析】第 2页/共 20页学科网（北京）股份有限公司【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到1sin 22C，解得答案.【详解】sinsin2A

3、BbcB，即sinsin22bcBC，即sincossinsin2sincossin222CCCBCBB，0,B，则sin0B，0,22C，则cos02C，故1sin 22C，0,22C，故26C，3C.故选：B4.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同已知乙没有参加跑步；若甲参加铅球，则丙参加标枪；若丙没有参加铅球，则甲参加铅球下列说法正确的为（）A.丙参加了铅球B.乙参加了铅球C.丙参加了标枪D.甲参加了标枪【答案】A【解析】【分析】由可得乙参加铅球或标枪，假设乙参加铅球，推出矛盾得到乙参加标枪，从而得到丙、甲所参加的项目，即可判断.【详解】由乙没有参

4、加跑步，则乙参加铅球或标枪，若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪，显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步，综上可得：甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球.故选：A5.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中表示太极，表示阳仪、表示阴仪）若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即1a 为天一对应的经历过的两仪数量总和 0，2a 为衍生到地二时经历过的两仪数量总和 2，3a 为衍生到天三时经历过的两仪数量总和 4，按此规律，则15a 为（）第 3页/共 20页学

5、科网（北京）股份有限公司A.84B.98C.112D.128【答案】C【解析】【分析】15a 表示衍生到天十五时经历过的两仪数量总和，计算得到答案.【详解】15a 表示衍生到天十五时经历过的两仪数量总和，则1522468 10 12 14112a .故选：C6.直角三角形 ABC 中，斜边 AB 长为 2，绕直角边 AC 所在直线旋转一周形成一个几何体若该几何体外接球表面积为163，则 AC 长为（）A.32B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】设 ACm，则24BCm，依题意可得旋转后得到的几何体为圆锥，根据外接球的表面积求出球的半径，设外接球的球心为O，则球心在直线 AC 上，利用勾

6、股定理得到方程，即可求出 m.【详解】设 ACm，因为2AB，所以2224BCABACm，绕直角边 AC 所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为 R，所以23416R，解得2 33R，第 4页/共 20页学科网（北京）股份有限公司设外接球的球心为O，则球心在直线 AC 上，所以222 34433mm，解得3m.故选：D7.已知椭圆2222:10 xyCabab，F 为其左焦点，直线0ykx k与椭圆C 交于点 A，B，且AFAB若30ABF，则椭圆C 的离心率为（）A.73B.63C.76D.66【答案】A【解析】【分析】设椭圆的右焦点为2F，连接2AF，2BF，设 AFm

7、，根据余弦定理得到222849ac，计算得到离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F，连接2AF，2BF，故四边形2AFBF 为平行四边形，设 AFm，30ABF，则2FBm，2BFAFm，222BFBFmma，23ma，2BFF中，222424222cos1203333caaaa，第 5页/共 20页学科网（北京）股份有限公司整理得到222849ac，即73ca，故73cea.故选：A8.已知函数 f x 是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 fx若对任意 x R 有 1fx，110fxfx，且 02f ，则不等式11f xx 的解集为（）A.0,B.1,C.2,D.3,【答案】D【解析】【分

8、析】构造 g xf xx，确定函数单调递增，计算 22f，20g，转化得到 12g xg，根据单调性得到答案.【详解】设 g xf xx，则 10gxfx 恒成立，故函数在 R 上单调递增.110fxfx，则 200ff，即 22f，故 2220gf.11f xx，即 10g x，即 12g xg，故12x ，解得3x.故选：D二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，不选或有错选的得 0 分9.在62xx的展开式中（）A.常数顼为 160B.含2x 项的系数为

9、 60C.第 4 项的二项式系数为 15D.所有项的系数和为 1【答案】BD【解析】【分析】利用二项式定理得到展开式的通项，分别取3,2,3,1rrrx 代入计算得到答案.【详解】62xx展开式的通项为66 21662C2CrrrrrrrTxxx.第 6页/共 20页学科网（北京）股份有限公司对选项 A：取3r 得到常数项为336216C0，错误；对选项 B：取2r 得到含2x 项的系数为226C260，正确；对选项 C：取3r 得到第 4 项的二项式系数为36C20，错误；对选项 D：取1x 得到所有项的系数和为62111，正确.故选：BD10.若实数 x，y 满足2212xy，则（）A.2

10、x B.222xyC.12yx D.22xy【答案】AB【解析】【分析】根据不等式性质得到 AB 正确，取特殊值排除 CD，得到答案.【详解】对选项 A：22222xy，故2x，正确；对选项 B：222232xyy，正确；对选项 C：取2,1xy，满足2212xy，此时12yx 不成立，错误；对选项 D：取32,24xy，满足2212xy，此时22xy，错误.故选：AB11.已知函数 exfxa，0a 下列说法正确的为（）A.若1a，则函数 yf x与1y 的图象有两个公共点B.若函数 yf x与2ya的图象有两个公共点，则 01aC.若1a，则函数 yff x有且仅有两个零点D.若 yf x

11、在1xx和2xx处的切线相互垂直，则120 xx【答案】BCD【解析】第 7页/共 20页学科网（北京）股份有限公司【分析】解方程得到 A 错误，解方程得到220 0aaaa，解得 B 正确，计算零点个数为 2 得到 C 正确，根据斜率的关系得到120 xx，D 正确，得到答案.【详解】对选项 A：e11xf x ，故 e0 x（无解）或 e2x，ln 2x，错误；对选项 B：2exfxaa，故2exaa或2exaa，故220 0aaaa，且22aaaa，解得 01a，正确；对选项 C：取 0f x，则exa，lnxa，1a，则ln0 xa，设 lng xxx，110gxx 在1,上恒成立，则

12、 g x 在1,上单调递增，则 110g xg，故lnaa，0yff x，则 elnxafax，lnlnxaa或lnlnxaa，正确；对选项 D：当1exa和2exa同时为正或者同时为负时不成立，不妨设 11exf xa，11exfx，22exf xa，22exfx，则 211212eee1xxxxfxfx ，故120 xx，正确.故选：BCD12.已知四棱柱1111ABCDABC D的底面 ABCD 为正方形，1AAAB，1160A ABA AD ，则（）A.点1A 在平面 ABCD 内的射影在 AC 上B.1AC 平面1A BDC.1AC 与平面1A BD 的交点是1A BD的重心D.二面

13、角1BBDC的大小为 45【答案】ACD【解析】【分析】设1AAa，ABb，ADc，正方形的边长为 1，根据对称性得到 A 正确，计算110ACA B 第 8页/共 20页学科网（北京）股份有限公司得到 B 错误，根据相似得到12AQOQ 得到 C 正确，确定 HOC为二面角1BBDC的平面角，计算得到D 正确，得到答案.【详解】设1AAa，ABb，ADc，正方形的边长为 1，则11 1 cos602a b ，11 1 cos602a c ，0b c，对选项 A：1AAAB，1160A ABA AD ，根据对称性知，点1A 在平面 ABCD 内的射影在BAD的角平分线上，即在 AC 上，正确；

14、对选项 B：1ACcab，1A Bab ，211102ACA Babcababa cb c ，错误；对选项 C：设 AC，BD 相交于O，1AC 与1AO 交于Q 点，Q 即为1AC 与平面1A BD 的交点，则1112AQACOQAO，AO 为1A BD中 BD 边上的中线，故Q 为1A BD的重心，正确；对选项 D：连接11B D 与11AC 相交于 H，连接 HO，根据对称性知 HOBD，又 ACBD，HO 平面1B BD，AC 平面CBD，故 HOC为二面角1BBDC的平面角，1122HCabc ，故22222111111224442HCabcabca ba cc b ，故22HC，1

15、1HOAA，22OC=，故45HOC，正确第 9页/共 20页学科网（北京）股份有限公司故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查了空间几何投影，垂直关系，二面角，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，把空间关系的证明转化为空间向量的运算，可以简化过程，是解题的关键.三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上13.若直线20 xya被圆222210 xyxy 截得的弦长为 2，则实数 a 的值为_【答案】1【解析】【分析】确定圆的圆心和半径，得到直线过圆心，代入计算得到答案.【详解】222210 xyxy，则22111xy，圆心

16、为1,1，半径1r，弦长为 2，则直线过圆心，即1 20a，解得1a.故答案为：1.14.幂函数 Raf xxa满足：任意 x R 有 fxf x，且 122ff，请写出符合上述条件的一个函数 f x _【答案】23x（答案不唯一）【解析】【分析】取 23f xx，再验证奇偶性和函数值即可.【详解】取 23f xx，则定义域为 R，且 2233fxxxf x，11f ，233224f，满足 122ff.故答案为：23x.15.一个袋子中有*Nn n个红球和 5 个白球，每次从袋子中随机摸出 2 个球若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为 p n，则 p n 的最大值为_【答案】59【解析】

17、【分析】计算并化简得到 11525CC1020C9nnp nnn，根据对勾函数的性质计算最值得到答案.第 10页/共 20页学科网（北京）股份有限公司【详解】115225CC510102054C92092nnnnp nnnnnnn，对勾函数20yxx在0,20 上单调递减，在20,上单调递增，故当4n 或5n 时，20nn有最小值为9，故 10105209999p nnn.故答案为：5916.大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经）一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图 1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图 2：ABC为正三角形，AD，BE，CF 围成的 DEF也为正三角

18、形若 D 为 BE 的中点，DEF与ABC的面积比为_；设 ADABAC，则 _【答案】.17.67【解析】【分析】根据类比图形的结构特点，找到 DEF与 ABC的面积联系即可.利用向量加减法的三角形法则，用 AB，AC表示出 AD即可.【详解】如图：连 接 AE，由 题 意 知ABDBCECAF，且,D E F 分 别 为,BE CF AD 的 中 点，ABDBCECAF.所以12DEFAEFAFCSSS，7ABCAFCABDBCEDEFDEFSSSSSS,第 11页/共 20页学科网（北京）股份有限公司得17DEFABCSS.11112222ADABBDABBEABBCCEABBCCFBC

19、ACAB，1=2CFAFACADAC，化简得4277ADABAC，所以426777故答案为：17；67.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.已知 sin3 cosf xxx，0（1）若函数 f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 2，求32f 的值；（2）若函数 f x 的图象关于 ,03对称，且函数 f x 在0,4上单调，求 的值【答案】（1）3（2）1【解析】【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意 122T，即可求出，从而得到函数解析式，再代入计算可得；（2）由对称性得到31k ，Zk，再由函

20、数在区间上的单调性求出 的范围，即可得解.【小问 1 详解】因为 13sin3 cos2sincos2sin223f xxxxxx，因为函数 f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 2，所以 122T，则T，所以2T，解得2，所以 2sin 23fxx，所以32sin 22sin233322233f.第 12页/共 20页学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】由 2sin3f xx，函数 f x 的图象关于 ,03对称，所以 33k，Zk，所以31k ，Zk，由0,4x，0，则,3343x，又函数 f x 在0,4上单调，所以4320，解得1003，所以当0k 时1.18.已知数列 n

21、a的前 n 项和为nS，12a，1122nnnnSanS，*Nn（1）求数列 na的通项公式；（2）求证：22212111716naaa【答案】（1）2nan（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据公式1nnnaSS 得到1nSn n是常数列，确定1nSn n，计算得到通项公式.（2）放缩211112 2121nann，根据裂项相消法计算得到证明.【小问 1 详解】1122nnnnSanS，则1122nnnnnSSnSS，整理得到12nnnSnS，故 1121nnSSnnn n，故1nSn n是常数列，故 1111 2nSSn n，即1nSn n，当2n 时，1112nnnaSSn nn n

22、n，验证1n 时满足，故2nan第 13页/共 20页学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】2221111114412 2121nannnn，故222121121111 1111111 142 355742 3112121naannan111574231216.19.在梯形 ABCD 中，ABCD，90D=，2 2AB，2ADDC，如图 1现将ADC沿对角线 AC 折成直二面角 PACB，如图 2，点 M 在线段 BP 上（1）求证：APCM；（2）若点 M 到直线 AC 的距离为 2 55，求 BMBP的值【答案】（1）证明见解析（2）45【解析】【分析】（1）计算确定 ACCB，证明

23、CB 平面 PAC，得到CBAP，再证明 AP 平面 PCB，得到答案.（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，设 BMBP得到(1,22,)M ，再根据点到直线的距离公式计算得到答案.【小问 1 详解】222AC，45CABACD ，22482 2 2 242BC ，故2BC，则90ACB，即 ACCB，又平面 PAC 平面 ACB，平面 PAC 平面 ACBAC，CBAC，CB 平面 ACB，故CB 平面 PAC，AP 平面 PAC，则CBAP，第 14页/共 20页学科网（北京）股份有限公司又 PAPC，PCCBC，,PC CB 平面 PCB，所以 AP 平面 PCB，又CM 平面 PC

24、B，则 APCM.【小问 2 详解】设 AC 中点为O，AB 中点为 D，以,OA OD OP 为,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：有(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,2,0)ACPB，设 BMBP，则 BMBPuuuruur，设,M x y z，则1,2,1,2,1xyz，则(1,22,)M ，2,0,0CA，(,22,)CM，点 M 到直线 AC 的距离为 2 55，则2245|CA CMCMCA ，即2222422252，即22540160，解得4=5，所以45BMBP.20.进行独立重复试验，设每次成功的概率为01pp，则失败的概率为1p，将试验进行到恰

25、好出现 r 次成功时结束试验，以 X 表示试验次数，则称 X 服从以 r，p 为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为,XNB r p（1）若13,3XNB，求 5P X；（2）若12,2XNB，*nN，2n 求2niP Xi；要使得在 n 次内结束试验的概率不小于 34，求 n 的最小值第 15页/共 20页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）881（2）112nn；5【解析】【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算可得；（2）依题意可得111C2iiP Xi，2i，再利用裂项相消法求和即可；可知13124nn，即1124nn ，令12nnna2n，判断na 的单调性，再由特殊值即可求出

26、n 的取值范围，即可得解.【小问 1 详解】因为13,3XNB，所以222411185C133381P X.【小问 2 详解】因为12,2XNB，*nN，2n，所以111C2iiP Xi，2i，所以1222121111C2222iiiiiinnnniiiiiP Xii122334122 133 144 1111222222222nnnnnn；由可知13124nn，所以1124nn ，令12nnna2n，则111210222nnnnnnnnaa，所以12nnna单调递减，又451164a，531165a，所以当5n 时1124nn ，则 n 的最小值为5.21.已知函数 1logxaf xax，

27、1a（1）若ea，求证：1fx；（2）若关于 x 的不等式 1f x 的解集为集合 B，且1,Baa，求实数 a 的取值范围第 16页/共 20页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析（2）2,【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证；（2）求出导函数，可得 fx在0,上单调递增，即可得到存在00,x 使得00fx，从而得到 f x 的单调性，再分ea、1ea、ea 三种情况讨论，分别计算可得.【小问 1 详解】若ea，则 11eelogelnxxf xxx，0,x，所以 11exfxx，又1exy与1yx 在0,上单调递增，所以 1

28、1exfxx在0,上单调递增，又 10f，所以当 01x时 0fx，当1x 时()0fx，所以 f x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增，所以 f x 在1x 处取得极小值即最小值，所以 11f xf.【小问 2 详解】因为 1logxaf xax，1a，0,x，所以 11lnlnxaxafxa，显然1 lnxaya 与1lnyxa 在0,上单调递增，所以 fx在0,上单调递增，当0 x 时 fx ，x 时 fx ，所以存在00,x 使得00fx，所以当00 xx时 0fx，当0 xx时()0fx，所以 f x 在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，又 11f，由（1）可知ea 时

29、有 1fx，此时 B ，显然符合1,Baa；若1ea时 21ln1ln0lnl1naaaaf，有01x，第 17页/共 20页学科网（北京）股份有限公司由 f x 0,x 上单调递增，且 011f xf，所以存在10 xx使得 11f x，要使 1f x 的解集为集合 1,aa的子集，而 1f x 的解集为11,x，因为 11a，所以1xa，又 f x 0,x 上单调递增，所以 1f xf a，即有 11 1af aa ，则1 lnln 2aa，令 1 lnF xxx，1,x，则 1ln10Fxxx，所以 F x 在1,上单调递增，因为 2F aF，所以2a，此时 2ea；若ea 时 21ln

30、1ln0lnl1naaaaf，所以01x，又 f x 在00,x上单调递减，0 x时 f x ，所以 011f xf所以存在20 xx使得21f x，则不等式 1f x 的解集为2,1x，因为 2,11xaa，又1a，所以只需21xa，211ff xa 又1 1111afaa 显然成立，所以ea，符合题意；综上可得2,a.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理22.已知拋物线21:Cyx和圆22232:Cxy（1）若抛物线1C

31、 的准线与 x 轴相交于点T，MN 是过1C 焦点 F 的弦，求TM TN 的最小值；（2）已知 P，A，B 是拋物线1C 上互异的三个点，且 P 点异于原点若直线 PA，PB 被圆2C 截得的弦长都为 2，且 PAPB，求点 P 的坐标【答案】（1）0（2）1133,33或 1133,33【解析】第 18页/共 20页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设 MN 方程为14xty，11,M x y，22,N xy，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到22121148TM TNyy，再根据重要不等式计算可得；（2）设 2,P

32、 pp，2,A aa，2,B b b，即可得到 PA、PB 的方程，由点到直线的距离公式得到 a、b为方程2221480pxpxp的两根，即可得到241pabp，由 APPB可得2PCAB，由斜率之积为 1，求出2p，即可得解.【小问 1 详解】拋物线21:Cyx的焦点为1,04F ，准线为14x ，则1,04T，设 MN 方程为14xty，11,M x y，22,N xy，由214xtyyx，消去 x 整理得2104yty，所以12yyt，1214y y ，所以111,4TMxy，221,4TNxy，则12121144TM TNxxy y 22212121211164y yy yyy2212

33、121111204848yyy y，当且仅当12yy 时取等号，即TM TN 的最小值为 0.【小问 2 详解】设 2,P pp，2,A aa，2,B b b，第 19页/共 20页学科网（北京）股份有限公司则:PApa yxap，:PBpb yxbp，圆22232:Cxy的圆心为2 3,0C，半径2r，所以22223211appa，则2221480papap，同理可得2221480pbpbp，所以 a、b 为方程2221480pxpxp的两根，所以241pabp，又 APPB，所以2PCAB，所以2113ppab，即221134pppp，解得2113p，所以 P 点坐标为 1133,33或 1133,33.第 20页/共 20页学科网（北京）股份有限公司