2022版新教材高中数学 第2章 圆与方程 2 直线与圆的位置关系提升训练（含解析）苏教版选择性必修第一册.docx

1、直线与圆的位置关系基础过关练题组一直线与圆的位置关系1.(2020江苏南京宁海中学高二期中)直线y=3x与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是()A.相交且直线过圆心B.相切C.相离D.相交2.(2020江苏宜兴中学高二期中)直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=11的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.不确定3.(2020江西南昌二中高二月考)对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0与圆C:x2+y2-6x-8y+12=0的位置关系是.4.(2020江苏连云港海头高级中学高二月考)已知圆x2+y2=2,直线y=x+b,求b为何值时,(1)直线与圆有两个公共点;(2)直线与圆只有一个

2、公共点;(3)直线与圆没有公共点.题组二与圆有关的相切问题5.(2020江苏无锡梅村高级中学高二月考)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=1B.(x+1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=16.(2020江苏苏州木渎高级中学高二期中)过点P(1,0)作圆(x-2)2+(y-2)2=1的切线,则切线方程为()A.x=1或3x+4y-3=0B.x=1或3x-4y-3=0C.y=1或4x-3y+4=0D.y=1或3x-4y-3=07.过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线方程.题组三与圆有关的弦长问题8.

3、(2020山东济南外国语学校高二期中)已知直线l:x-y+1=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0交于A、B两点,则AB=()A.2B.22C.4D.429.(2020江苏徐州第二中学高二期中)直线ax+y-1=0被圆(x-1)2+y2=2截得的弦长为2,则a=()A.12B.1C.0D.310.(2020江苏常州溧阳中学高二阶段测试)直线y=x+1被圆(x-1)2+y2=6截得的弦长为.11.(2020江苏镇江中学高二月考)在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0)、C(1,0).(1)求以点C为圆心,且经过点A的圆C的标准方程;(2)若直线l的方程为3x-4y+2=0,判断直线l与(1

4、)中圆C的位置关系,并说明理由.若直线与圆相交,求直线被圆截得的弦长.题组四直线与圆的位置关系的综合应用12.(2020江苏淮安洪泽中学高二期中)若实数x,y满足x2+y2=3,则yx-2的取值范围是()A.(-3,3)B.(-,-3)(3,+)C.-3,3D.(-,-33,+)13.(2020山东东营第一中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=9及圆C内的一点P(1,2),圆C的过点P的直径为MN,若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦,则(AM-BN)AB的值为.能力提升练题组一直线与圆的位置关系1.(2020江苏宿迁沭阳如东中学高二月考,)无论实数t取何值,直线

5、tx+y+t-1=0与圆(x-2)2+(y-2)2=m2恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.m10B.m10C.m10D.m-10或m102.(多选)(2020湖南湘潭一中高二期末,)已知直线l:mx-(2-m)y+1-m=0,圆C:(x-1)2+y2=1,则下列结论中正确的是()A.存在实数m,使直线l经过圆心CB.无论m为何值,直线l与圆C一定有两个公共点C.圆心C到直线l的最大距离是22D.当m=1时,圆C关于直线l对称的圆的方程为x2+(y-1)2=13.()求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:(1)相交;(2)相切;(3)相离.题组二圆

6、的切线与弦长问题4.(多选)(2020江苏常州武进高级中学高二期中,)已知圆C和直线3x-y=0及x轴都相切,且过点(3,0),则该圆的方程是()A.(x-3)2+(y-3)2=3B.(x-3)2+(y+33)2=27C.(x+3)2+(y-3)2=3D.(x-3)2+(y-33)2=275.(多选)(2020重庆复旦中学高二月考,)点P是直线x+y-3=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=4作切线,则切线长可能为()A.22B.12C.13D.326.(2020浙江杭州第二中学高二期中,)已知A(a,0),B(a+3,0),直线x+3y=1上存在唯一一点P,使得PB=2PA,则a的值为()

7、A.-6B.-2或6C.2或-6D.-27.(2020江苏苏州昆山震川高级中学高二期中,)若直线l:y=kx-5与圆x2+y2-2x+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线2x+y=0对称,则直线l被圆截得的弦长为()A.2B.3C.4D.238.(2020山东潍坊一中高二期中,)直线2ax-by+2=0被x2+y2+2x-4y-4=0截得的弦长为6,则ab的最大值是()A.9B.4C.12D.149.(2020江苏连云港高二期中,)已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是()A.-,433433,+B.(-,-2)(2,+)

8、C.(-,-23)(23,+)D.(-,-43)(43,+)10.(2020江苏常州前黄高级中学高二月考,)过点(-3,1)的直线l与圆x2+y2=4相切,则直线l在y轴上的截距为.11.(2020江苏如皋石庄高级中学高二期中,)已知圆C:x2+y2-8x-2y+10=0内一点M(3,0),过M点最短的弦所在的直线方程是.12.(2020广东佛山一中高二期中,)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,当AOB的面积最大时,k=.13.(2020江苏苏州高二期中,)已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点M的圆的切线方程;(2)

9、若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.题组三直线与圆的位置关系的综合应用14.(2020江苏徐州第七中学高二期中,)若圆C:(x-1)2+y2=4上恰有两个点到直线x-3y+b=0的距离为1,则实数b的取值范围为()A.(-7,-3)B.(1,5)C.(-3,5)D.(-7,-3)(1,5)15.(2020江苏盐城建湖高级中学高二期中,)过点P(-3,0)作直线l与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,设AOB=,且0,2,当AOB的面积为34时,直线l的斜率为()A.33B.33C.3D.316.(2020广东茂名第一中学高二月考,)已知圆C:

10、(x-1)2+(y-2)2=2和点P(x0,0),若圆C上存在两点A,B使得APB=3,则实数x0的取值范围是()A.-3,1B.-1,3C.-2,3D.-2,417.(2020安徽宿州高二期中,)若P是直线l:3x+4y-9=0上一动点,过P作圆C:x2+y2+4x=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为()A.5B.25C.7D.2718.(多选)(2020山东泰安高二期中,)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中,已知A(-4,2),B(2,2),点P满足PA

11、PB=2,设点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的是()A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16B.过点A作圆C的切线,两条切线的夹角为3C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则直线l的斜率为155D.在直线y=2上存在异于A,B的两点D,E,使得PDPE=219.(2020江苏宿迁高二联考,)已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3m+2的最大值和最小值;(3)求m2+n2的最大值和最小值.20.(2020湖北武汉高二期中,)已知圆C:(x+3)2+(y+4)2=4,直线l过定点A(-1,0).(1

12、)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;(2)若直线l与圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l与l0:x+2y-2=0的交点为N,求证:AMAN为定值.答案全解全析基础过关练1.D因为圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为(1,0),半径r=1,圆心(1,0)到直线y=3x的距离d=|3-0|3+1=321,所以直线与圆相交.故选D.2.B易知直线ax-y+2a=0过定点P(-2,0),又(-2)2+02=411,P在圆内,直线与圆相交.故选B.3.答案相交解析因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,整理得k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点P(4,3).因为圆C的方程为x2+y2-

13、6x-8y+12=0,整理得(x-3)2+(y-4)2=13,所以圆C的圆心C(3,4),半径r=13.因为圆心C(3,4)到定点P(4,3)的距离d=(3-4)2+(4-3)2=2r,所以直线与圆的位置关系是相交.4.解析解法一:圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离d=|b|2,圆的半径r=2.(1)当dr,即-2br,即b2或b0,即-2b2时,直线与圆有两个公共点.(2)当=0,即b=2时,直线与圆只有一个公共点.(3)当2或b0),直线y=2与圆相切,圆心到直线的距离等于半径r,r=2-1=1,圆的方程为x2+(y-1)2=1.故选C.6.B易知圆(x-2)2+(y-2)2=1的圆心

14、为(2,2),半径为1,点P在圆外.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=1,点(2,2)到该直线的距离等于1,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,若直线与圆相切,则圆心到直线的距离为|2k-2-k|k2+1=1,解得k=34,所以该切线方程为3x-4y-3=0.所以切线方程为x=1或3x-4y-3=0.故选B.7.解析因为(4-3)2+(-3-1)2=171,所以点A在圆外.当所求直线的斜率存在时,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.设圆心为C,因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,所以|3k-1-4k-

15、3|k2+1=1,解得k=-158,所以切线方程为-158x-y+152-3=0,即15x+8y-36=0.当直线斜率不存在时,直线方程为x=4.圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1,这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线方程为x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.8.B由已知得圆C的圆心C(2,1),半径为2,圆心C到直线l:x-y+1=0的距离d=|2-1+1|1+1=2,AB=24-(2)2=22,故选B.9.C因为直线ax+y-1=0被圆(x-1)2+y2=2截得的弦长为2,圆(x-1)2+y2=2的圆心为(1,0),半径为2,所以|a-1|a2+1=(2)2-

16、12,即|a-1|=a2+1,解得a=0,故选C.10.答案4解析因为圆(x-1)2+y2=6的圆心为(1,0),半径为6,圆心到直线y=x+1的距离为22=2,所以所求弦长为26-2=4.11.解析(1)圆C的半径r=AC=(3-1)2+(0-0)2=2,因此圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)相交.理由如下:圆心C到直线l的距离d=|31+2|32+(-4)2=1r,所以直线l与圆C相交.因此直线l被圆C截得的弦长为2r2-d2=222-12=23.解题模板圆的弦长的求法:(1)几何法,设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则L22=r2-d2;(2)代数法,设直线y=kx+m与

17、圆(x-a)2+(y-b)2=r2相交于A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与圆的方程y=kx+m,(x-a)2+(y-b)2=r2,消去y得到一个关于x的一元二次方程,从而可求出x1+x2,x1x2,根据弦长公式AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2即可得出结果.12.Cyx-2的几何意义是点(x,y)与点(2,0)连线的斜率,设k=yx-2,则kx-y-2k=0,x2,当直线kx-y-2k=0与圆相切时,k取得最值,此时|-2k|k2+1=3,解得k=3,所以yx-2的取值范围是-3,3,故选C.13.答案16解析由题意可知ABMN,圆C的半径r=3,OP=5,NMAB=0,A

18、B=2r2-OP2=4,(AM-BN)AB=AM-(AN-AB)AB=(NM+AB)AB=NMAB+AB2=AB2=16.能力提升练1.D直线tx+y+t-1=0,整理得t(x+1)+y-1=0,所以直线过定点(-1,1),因为直线与圆恒有公共点,所以点(-1,1)在圆内或圆上,所以(-1-2)2+(1-2)2m2,解得m-10或m10,故选D.2.BCD圆心C的坐标为(1,0),代入直线l得m+1-m=0,无解,故无论m为何值,圆心都不在直线l上,A错误;直线l方程整理为m(x+y-1)-2y+1=0,由x+y-1=0,-2y+1=0得x=12,y=12,即直线l过定点M12,12,又MC=

19、12-12+122=221,所以M在圆C内部,则直线l与圆C相交,故无论m为何值,直线l与圆C一定有两个公共点,B正确;设直线l与圆相交于A,B两点,弦AB的中点为N,则CNAB,CN为C到直线AB的距离,显然CNCM=22,当且仅当N,M重合时取等号,C正确;当m=1时,直线l的方程为x-y=0,C(1,0)关于l的对称点为(0,1),因此圆C关于直线l对称的圆的方程为x2+(y-1)2=1,D正确.故选BCD.3.解析圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4,故圆心(3,0)到直线x-my+3=0的距离d=61+m2,圆的半径r=2.(1)若直线与圆相交,则dr,即61+m22,所以m

20、22.(2)若直线与圆相切,则d=r,即61+m2=2,所以m=22.(3)若直线与圆相离,则dr,即61+m22,所以-22m4,点M在圆外.当过点M的直线斜率不存在时,易知直线x=3与圆相切.当直线的斜率存在时,设直线的方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,直线与圆相切,|k-2-3k+1|k2+1=2,解得k=34,切线方程为34x-y-94+1=0,即3x-4y-5=0.所求切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)由题意得圆心到直线的距离d=|a+2|a2+1,由AB=23,圆的半径r=2,得AB22+d2=r2,解得a=-34.14.D易知圆心C(1,0),半径r

21、=2,圆心C(1,0)到直线x-3y+b=0的距离d=|1-0+b|12+(-3)2=|b+1|2,由题意知r-1dr+1,即2-1|b+1|22+1,即2|b+1|6,所以b(-7,-3)(1,5),故选D.15.BAOB的面积为34,1211sin=34,sin=32,0,2,=3.圆心O到直线l的距离为1sin3=32.设直线l的方程为y=k(x+3),即kx-y+3k=0,32=|3k|k2+1,k=33.故选B.16.B由圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,得圆心C(1,2),半径r=2,作出大致图形,如图所示:由图可知,当PA和PB与圆C相切时,APB最大,若圆C上存在两点A,B

22、使得APB=3,则APC6,则PC2sin6=22,即(x0-1)2+(0-2)222,解得-1x03,故选B.17.B圆C:(x+2)2+y2=4,圆心为(-2,0),半径r=AC=2,画出图形,如图所示:因为直线与圆相切,所以PAC=PBC=90,且PACPBC,所以四边形PACB的面积为2SPAC=212ACPA=2PA,又PA=PC2-AC2=PC2-4,所以当PC取得最小值时,PA取得最小值,此时四边形PACB的面积取得最小值,由图形可得,PC的最小值即为点C到直线3x+4y-9=0的距离,所以PCmin=|3(-2)-9|32+42=3,所以PAmin=9-4=5,所以四边形PAC

23、B面积的最小值为2PAmin=25.18.ABD设点P(x,y),因为A(-4,2),B(2,2),点P满足PAPB=2,所以(x+4)2+(y-2)2(x-2)2+(y-2)2=2,化简得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正确;易知点C(4,2),圆C的半径R=4,所以AC=8,设两切线的夹角为,所以sin2=RAC=12,则2=6,解得=3,故B正确;易知直线l的斜率存在,设直线l:kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,所以圆心到直线l的距离d=|8k|k2+1=2,解得k=1515,故C错误;假设直线y=2上存在异于A,B的

24、两点D(m,2),E(n,2),则(x-m)2+(y-2)2(x-n)2+(y-2)2=2,化简得x2+y2+2m-8n3x-4y+4n2-m2+123=0,因为点P的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+4=0,所以2m-8n3=-8,4n2-m2+123=4,解得m=12,n=6或m=-4,n=2(舍去),故存在D(12,2),E(6,2),故D正确,故选ABD.19.解析x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=22.(1)设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,该直线与圆C有公共点,圆心C到直线的距离d=|12+27-t|12+2222,解得16-210t16+21

25、0,m+2n的最大值为16+210.(2)记点Q(-2,3),则n-3m+2表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,直线MQ与圆C有公共点,|2k-7+2k+3|k2+122,解得2-3k2+3,n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.(3)设=(m-0)2+(n-0)2,则等价于圆C的圆心C(2,7)到原点的距离的平方,则max=(2-0)2+(7-0)2+r2=(53+22)2=61+4106,min=(2-0)2+(7-0)2-r2=(53-22)2=61-4106.20.解析(1)由题意知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-

26、1,即x-my+1=0,则由直线l与圆C相切得|-3+4m+1|m2+1=2,解得m=0或m=43,故l的方程为x=-1或3x-4y+3=0.(2)证明:直线l与圆C相交于P,Q两点,l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为x=ty-1,联立x=ty-1,x+2y-2=0,得x=3tt+2-1,y=3t+2,N3tt+2-1,3t+2.线段PQ的中点为M,CMPQ,设直线CM的方程为y+4=-t(x+3),联立x=ty-1,y+4=-t(x+3),得x=-2t2-4tt2+1-1,y=-2t-4t2+1,M-2t2-4tt2+1-1,-2t-4t2+1.AM=-2t2-4tt2+1,-2t-4t2+1,AN=3tt+2,3t+2,AMAN=-6,又A,M,N三点共线,AMAN=6,AMAN为定值.