2023届四川省高考数学复习专题13极坐标与参数方程解答题30题专项提分计划解析版.docx

1、2023届四川省高考数学复习 专题13极坐标与参数方程解答题30题专项提分计划1（四川省广安市2022-2023学年高三第一次诊断性考试数学（理）试题）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于A，B两点，(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若，求直线l的斜率【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化，运算求解；（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1），则，即，故曲线C的直角坐标方程为.（2）将直线l的参数方程为（t

2、为参数）代入曲线C的直角坐标方程为，得，整理得，设A，B两点所对应的参数为，则，则，联立，解得，将代入得，解得，故直线l的斜率为.2（四川省南充高级中学2022-2023学年高三上学期第4次模拟测试数学理科试题）在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求的极坐标方程；(2)若直线的极坐标方程为，设，的交点为，求的面积【答案】(1)(2)【分析】（1）利用得到的极坐标方程；（2）方法一：代入，得到或，求出，利用垂径定理求出高，从而求出面积；方法二：化为直角坐标方程为，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理得到的长，从而求出面积.【详解】（1）已知圆，得，因为，所以为圆的

3、极坐标方程（2）方法一：代入，可得，解得或，又因为半径，则，；方法二：直线：化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，由半径，.3（四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.(1)写出曲线C与直线l的普通方程；(2)设当时l上的点为M点N在曲线C上.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求线段中点P的轨迹的极坐标方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）消去参数即得；（2）由题可得，设，进而可得点P的轨迹方程为，再利用公式即得.【详解】（1）曲线C的参数方程为（为参数），曲线C的普通方程为

4、，直线l的参数方程为（t为参数）直线l的普通方程为；（2）由题可知，设，则，即 所以可得点P的轨迹方程为，即，令，点P的轨迹的极坐标方程为.4（四川省成都市高新区2023届高三一诊模拟理科数学试题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)若点，直线与曲线C的交点为M，N，求的值.【答案】(1)曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为(2)【分析】（1）利用消参法求曲线的普通方程，根据求直线的直角坐标方程；（2）根据直线参数方程的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）曲

5、线的参数方程为（为参数），消去参数可得：，曲线的普通方程为，又直线的极坐标方程为，且，直线的直角坐标方程为综上所述：曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为.（2）由（1）可知：直线的直角坐标方程为，即直线过点，斜率为，倾斜角为，则可设直线的参数方程为（为参数），将代入整理得：，设点对应的参数分别为，判别式恒成立，可得：，即，.5（四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学（理）数学试题）在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；(2)在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列

6、【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用消参法求曲线的普通方程，并注意y的取值范围，再利用求曲线的极坐标方程；（2）先求直线l的参数方程，根据直线参数方程的几何意义运算求解.【详解】（1）由得，代入整理得，即，则，故曲线的普通方程为，又，则，整理得曲线的极坐标方程为（2）由题意可得：直线l的参数方程为（t为参数），代入，整理得，则，即，成等差数列6（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）(1)判断直线和圆的位置关系，并说明理由；(2)设是圆上一动点，若点到直线的距离为，求的值【答案】(1)直线

7、和圆C相离；理由见解析(2)【分析】（1）把直线方程和圆的方程都化为普通方程，利用圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系.（2）用参数方程表示点坐标，利用点到直线距离求值，再计算向量坐标和向量数量积.【详解】（1）圆的参数方程为（为参数），消参得圆C的普通方程为，圆心坐标为，半径为3直线的参数方程为（为参数），消参得直线的普通方程为圆心C到直线的距离，直线和圆C相离（2）设，由点到直线的距离：，则 ，则，7（四川省甘孜州2021-2022学年高二下学期学业质量统一监测期末统考数学（文）试题）在直角坐标系 中， 直线的参数方程为(为参数)， 在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中， 曲线的极坐标

8、方程为(1)求直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)若直线 与轴的交点为， 直线与曲线的交点为， 求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由消参，可将参数方程化为普通方程，由极坐标与直角坐标之间的互化可将极坐标方程化为普通方程，（2）根据直线参数方程中参数的几何意义即可求弦长.（1）直线 的参数方程为，曲线 的极坐标方程为，即，曲线的直角坐标方程，（2）将直线 的参数方程为代入 ， 得到 故 8（四川省成都市温江区2022届高考适应性考试数学（文）试题）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，为常数且），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：(1

9、)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(2)点，直线与曲线交于两点，若，求直线的斜率【答案】(1)；(2)1【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解，进而可求.【详解】（1），；（2）将代入得，因为点 在圆内，故 在点两侧，由题意知，因此，即，故，解得，进而 因此斜率为19（四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(为直线的倾斜角)(1)求直线的直

10、角坐标方程和曲线的普通方程;(2)设，直线与曲线相交于两点，求的最大值【答案】(1)；(2)2【分析】（1）利用与正弦的和差公式可求得直线的直角坐标方程；利用消参法可求得曲线的普通方程；（2）法一：先由条件得到直线的参数方程，再联立直线与曲线的方程，利用参数的几何意义得到，从而得解；法二：利用圆的切割线定理得到，从而得到，由此得解.【详解】（1）由，得，由，得直线的直角坐标方程为，由(为参数)，两式相除得，所以，整理得曲线的普通方程为.（2）法一：因为直线经过点，所以直线的参数方程为(为参数)，代入中，得，由，得，又，故，所以，所以，因为，所以，故，则，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为

11、2.法二：直线经过点，曲线为除点外，以为圆心半径为的圆，易得圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，且为切点，所以由圆的切割线定理得，所以，当且仅当为圆的直径时，等号成立，故的最大值为210（四川省营山县第二中学2023届高三第六次高考模拟检测数学（文科）试题）在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(1)求曲线，的极坐标方程；(2)若，直线与曲线交于，两点，与曲线的一个交点为点，且，求的值【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据曲线的直角坐标与极坐标转化公式，即可求解；（2）将代入曲线的极坐标方程，得，将代入曲线的极坐标方程，

12、得到韦达定理，并表示，即可求.【详解】（1）由，得，所以曲线的极坐标方程为由，得，即，此即曲线的极坐标方程；（2）将代入（），得将代入，得，设对应的参数分别是，则，所以，解得：11（四川省凉山州2023届高三第一次诊断性检测数学（理）试题）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；(2)是曲线上的点，求到距离的最大值【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用三角函数公式和极坐标公式，代入参数方程即可得到直线的直角坐标方程与曲线的普通方程（2）根据是曲线上的点设出点的坐标，写出点到

13、直线的距离的表达式，求出取值范围，即可得到到距离的最大值.【详解】（1）由题意在中，将代入上式得：，即直线的直角坐标方程为：，曲线的参数方程为（为参数），且，则曲线的普通方程为：（2）由题意及（1）得，在中，是曲线上的点，设，则点到直线的距离，到距离的最大值为.12（四川省攀枝花市第七高级中学2022-2023学年高三上学期第四次诊断考试理科数学试题）已知半圆C的参数方程为，其中为参数，且(1)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；(2)在（1）的条件下，设T是半圆C上的一点，且，试写出T点的极坐标【答案】(1)，(2)【分析】（1）把参数方

14、程化为普通方程，得出圆心与半径，然后直接根据圆的极坐标方程写出结论；（2）在（1）的极坐标方程中由求得极角后可得点的极坐标【详解】（1）根据半圆C的参数方程，其中为参数，且，得圆的普通方程为：，所以，半圆C的极坐标方程为：，（2）因为，所以令，则解得故点T的极坐标为13（四川省成都市2023届高三第一次诊断性检测数学（文科）试题）在直角坐标系中，圆心为的圆的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)求圆的极坐标方程；(2)设点在曲线上，且满足，求点的极径【答案】(1)(2)1或【分析】（1）根据参数方程，直角坐标方程，极坐标方之间的相互转化关系即

15、可求解；（2）根据极坐标方程和余弦定理以及一元二次方程即可求解.【详解】（1）由圆的参数方程消去参数，得圆的普通方程为，圆心把代入，化简得圆的极坐标方程为（2）由题意，在极坐标系中，点点在曲线上，设在中，由余弦定理有，即化简得解得或故或点的极径为1或14（四川省攀枝花市2023届高三第二次统一考试理科数学试题）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与曲线交于P、Q两点，求的值【答案】(1)曲线的极坐标方程为；即曲线的直角坐标方程为(2)2【分析】（1）通过消

16、参求得曲线的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)利用极径的几何意义求解.【详解】（1）,则，曲线的极坐标方程为；由，得，即曲线的直角坐标方程为.（2）由得 ， 由得，可得 ，即设P，Q两点所对应的极径分别为，则，.15（四川省绵阳市2023届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题）在极坐标系中，若点为曲线上一动点，点在射线上，且满足，记动点的轨迹为曲线(1)求曲线的极坐标方程；(2)若过极点的直线交曲线和曲线分别于两点，且的中点为，求的最大值【答案】(1)或（或）(2)【分析】（1）当在线段上时，可确定或；当不在线段上时，设，采用相关点法可求得设

17、点轨迹；综合两种情况可得结论；（2）当时，重合，不合题意；当，设，与曲线和曲线的极坐标方程联立可得，由此用表示出，结合正弦型函数值域求法和的单调性可求得最大值.【详解】（1）当在线段上时，由得：或；当不在线段上时，设，则，即，又，；综上所述：曲线的极坐标方程为或（或）.（2）若曲线为（或），此时重合，不合题意；若曲线为，设，由得：，由得：，是中点，令，即，又在上单调递增，（当且仅当时取等号），即，的最大值为.16（四川省内江市2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题）在直角坐标系中，已知曲线（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程

18、和直线的直角坐标方程；(2)求曲线与直线交点的极坐标.【答案】(1)曲线；直线(2)和【分析】（1）根据参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标互化原则直接求解即可；（2）联立曲线与直线的直角坐标方程，可求得交点的直角坐标，根据直角坐标与极坐标互化的方法可求得极坐标.【详解】（1）由得：，即曲线的普通方程为；由得：，则，即直线的直角坐标方程为.（2）由得：或，即曲线与直线交点为和，曲线与直线交点的极坐标为和.17（四川省资阳市2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题）下图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为(1)若射线：与相交于异于极点的点，与极轴的

19、交点为，求；(2)若，为上的两点，且，求面积的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知得到、两点的极坐标，代入距离公式即可；（2）设， ，根据极坐标方程求出、，将三角形面积表示为的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值.【详解】（1）将代入方程，得， ，则的极坐标为.又与极轴的交点为的极坐标为.则.（2）不妨设，则，所以，的面积所以，当，即时，.所以，面积最大值为.18（四川省南江中学2022-2023学年高三上学期12月阶段考试数学（文）试题）已知曲线C：和直线l：（t为参数）(1)求曲线C的参数方程和直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为30的直线，交l

20、于点A，求的最大值与最小值【答案】(1)曲线C的参数方程为（为参数）；直线l的普通方程为；(2)最大值为，最小值为【分析】（1）令，即可得到椭圆的参数方程；消去，即可得到直线的普通方程；（2）根据参数方程，表示出点到直线的距离，再表示出，根据辅助角公式，即可求出的最值.【详解】（1）令，可得曲线C的参数方程为（为参数）根据消去可得，直线l的普通方程为（2）曲线C上任意一点到直线l：的距离为，其中，且为锐角过点作，垂足为，则，.在中，其中，且为锐角当时，取得最大值为当时，取得最小值为19（四川省泸州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学（理）试题）以等边三角形的每个顶点为

21、圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系(1)求的极坐标方程；(2)若曲线C的参数方程为（t为参数），求曲线C与交点的极坐标【答案】(1)；(2).【分析】（1）求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可；（2）求得曲线的普通方程，结合的直角坐标方程，求得交点的直角坐标，再转化为极坐标即可.【详解】（1）对点，设其直角坐标为，则，即其直角坐标为，故在直角坐标系下的方程为：，由可得：，故的极坐标方程为：.（2）由题可得曲线的普通方程为：，联立，可

22、得，解得或，又，故，则，即曲线C与交点的直角坐标为，设其极坐标为，则，即曲线C与交点的极坐标为.20（四川省成都市第七中学2023届高三上学期零诊模拟检测理科数学试题）在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为：(t为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角【答案】(1)当时，直线的普通方程为；当时，直线的普通方程为；(2)或【分析】（1）因为直线的参数方程为（为参数），讨论和时，消去参数，即可求出直线的普通方程，因为，即可求出曲线的直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代

23、入曲线的方程整理，因为，可设该方程的两个根为，所以，代入即可求出直线的倾斜角.【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的普通方程为当时，直线的普通方程为因为，因为，所以所以的直角坐标方程为（2）曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得因为，可设该方程的两个根为，则，所以整理得，故因为，所以或，解得或或，综上所述，直线的倾斜角为或21（四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试（二）数学试题）摆线是数学中众多迷人曲线之一，一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线在直角坐标系中，摆线的参数方程为（为参数），当时，摆线

24、上的对应点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：与曲线交于，两点(1)求点的极坐标和曲线的直角坐标方程；(2)请写出直线的一个参数方程【答案】(1)，曲线的直角坐标方程(2)，其中为参数，【分析】（1）根据参数方程可将代入得直角坐标，进而可得极坐标，根据极坐标和直角坐标方程之间的互化，即可求解，（2）联立直线方程和曲线方程，即可得点坐标，根据两点坐标可得直线方程，进而根据直线的普通方程即可求解参数方程.【详解】（1）的参数方程为（为参数），当时，,因此点的直角坐标为,所以极坐标为，曲线的极坐标方程为，所以，所以曲线的直角坐标方程（2）曲线：的直角坐标方程为

25、，将代入得，解得，将代入中得，所以点的直角坐标为，由于直线斜率的倒数为，所以直线的方程为，所以令，则，所以直线的一个参数方程为，其中为参数，22（四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高三二诊热身考试理科数学试题）在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；(2)若点分别是曲线和上的点，且，判断是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值为16【分析】（1）先求出的极坐标方程，然后根据是的中点求得的极坐标方程；（2）设，结合以及同角三角函数的基本关系证得是定值.【详解

26、】（1）的方程为，将，代入，极坐标方程:，设，则，的轨迹方程：；（2）设，因为，则，故为定值且为16.23（四川省达州市普通高中2023届高三第一次诊断性测试理科数学试题）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为 （为参数）.(1)写出曲线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线交于两点，定点，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据极坐标与直角坐标的转化公式,代入化简,可得曲线的直角坐标方程;(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程,可得根与系数的关系式,利用参数t的几何意义，结合更与系数的关系式化简求值，即可求得答案.【详解

27、】（1）将代入的极坐标方程中,得曲线的直角坐标方程为，即.（2）点在直线上，将直线的参数方程（为参数）代入曲线方程,得，整理得,满足 ,设点对应该的参数分别为，则，由参数的几何意义不妨令,当，即时，.24（四川省遂宁市第二中学校2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学试卷（二）在直角坐标系 中， 曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线的极坐标方程为(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;(2)已知点的直角坐标为， 直线与曲线相交于，两点， 求的值【答案】(1)曲线 的普通方程为；直线的直角坐标方程为(2)【分析】（1）根据线的普通方程，根据，得到直线

28、的直角坐标方程；（2）根据点在直线上得到直线的参数方程，然后根据直线的参数方程中参数的几何意义求即可.【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为，由得，所以，直线的直角坐标方程为.（2）设直线的参数方程为（为参数），点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理可得，设，是方程的两个实数根，.25（四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）文科数学试题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C满足参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B

29、两点，且，求实数m的值【答案】(1)曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为(2)【分析】（1）根据参数方程转为普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程的方法求得正确答案.（2）由判断三角形的形状，结合点到直线的距离公式以及图象求得的值.【详解】（1）由（为参数，），消去参数得，注意到，所以，所以曲线的普通方程为.由于直线l的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为.（2），由于向量夹角的取值范围是，所以，所以三角形是等边三角形，边长为，所以到直线的距离为，即，结合图象可知，所以.26（四川省绵阳中学2023届高三上学期综合质量检测数学试题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），的参数方程为

30、（t为参数）.(1)求的普通方程并指出它的轨迹；(2)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：与曲线的交点为O，P，与的交点为Q，求线段的长.【答案】(1)答案见详解；(2).【分析】（1）消去，即可求得的普通方程为，轨迹为圆，又，方程为，可知轨迹为上半圆及其与轴的两个交点；（2）根据（1）可求得的极坐标方程为，代入，可求得.将的参数方程化为普通方程后，可求得极坐标方程，代入，可求得，进而求出线段的长.【详解】（1）由已知可得，则，又，所以，则.所以的普通方程为，轨迹为以为圆心，2为半径的圆的上半圆以及其与轴的两个交点，.（2）由曲线化为极坐标方程：，.把代入可得，所以.的参数方程

31、为（t为参数），消去参数可得，可得极坐标方程为，把代入方程可得，所以，所以.又三点共线，且有.27（四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题）平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)曲线与交于M，N两点，求与直线MN平行且过原点的直线l的极坐标方程及的值【答案】(1)；(2)；【分析】（1）求曲线的普通方程只需把平方即可，求曲线的方程只需极坐标与直角坐标的转化公式化简即可 .（2）两圆方程联立即可求相交弦方程，即直线MN的方程，再根据平行求出直线l的方

32、程，进而可求直线l的极坐标方程，再利用圆的弦长与圆心到直线的距离，半径之间的关系即可求出的值【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），可得，即曲线的普通方程为；曲线的极坐标方程为.故曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）得 即直线的方程为，则与直线平行且过原点的直线的方程为，其倾斜角为所以直线的极坐标方程为；设曲线的圆心到直线的距离为，则 ，故故：.28（四川省雅安市2023届高三零诊考试数学（理）试题）数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系当时，(1)求E的极坐标方程；(2)已知P，

33、Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值【答案】(1)；(2)【分析】（1）将，代入曲线E，化简可得答案；（2）不妨设，则的面积，令，可得，再利用配方计算可得答案.【详解】（1）将，代入曲线E，得，即，所以，E的极坐标方程为；（2）不妨设，即，则的面积，由于，令，则，则，故当时，即的面积的最大值为29（四川省巴中市2022-2023学年高三上学期零诊考试数学（理科）试题）在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线的极坐标方程为(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线相交于A，两点，求的值【答案】(1)，（t为参数）；(

34、2)【分析】（1）由直线经过点，倾斜角为，可直接写出其参数方程；利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得的值.【详解】（1）因为直线经过点，倾斜角为，故直线的参数方程为,（t为参数），即，（t为参数）；由可得，即，将代入，可得曲线的直角坐标方程为；（2）设A,B两点对应的参数为 ，将直线l的参数方程代入，即中，得：，整理得，此时，故.30（四川省广安市2021-2022学年高二下学期“零诊”考试数学（理）试题）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长

35、度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A，B两点，证明：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）将曲线参数方程平方相加，即可消去参数得到普通方程，将直线方程展开，利用代入，即可求出直角坐标方程；（2）由（1）得，设直线参数方程为为参数），代入曲线普通方程中，设交点，对应的参数为，根据根与系数关系得出的值，结合直线参数的几何意义即可证明.【详解】（1）解：由得由得，因为，所以，所以，的普通方程是，的直角坐标方程为（2）解：由（1）知设的参数方程为为参数），代入的普通方程得，所以，当时，设方程的两根为，则所以，所以为定值.