2023年广西中考数学专题练——11圆.docx

1、2023年广西中考数学专题练11圆一选择题（共15小题）1（2022柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB4，母线长AC12，则这个圆锥的侧面积为（）A16B24C48D962（2022河池）如图，AB是O的直径，PA与O相切于点A，ABC25，OC的延长线交PA于点P，则P的度数是（）A25B35C40D503（2022贵港）如图，O是ABC的外接圆，AC是O的直径，点P在O上，若ACB40，则BPC的度数是（）A40B45C50D554（2022梧州）如图，O是ABC的外接圆，且ABAC，BAC36，在AB上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则BAD+ABD的度数是（）A60B62C7

2、2D735（2022贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A2cmB3cmC4cmD5cm6（2023鱼峰区模拟）如图，点A、B、C为O上的点，AOB60，则ACB（）A20B30C40D607（2022柳州模拟）如图，等边ABC的三个顶点都在O上，AD是O的直径，若OA3，则劣

3、弧BD的长是（）A2B32CD28（2022柳东新区模拟）如图，直线AB是O的切线，点C为切点，ODAB交O于点D，点E在O上，连接OC，EC，ED，CED的度数为（）A60B55C45D409（2022灵山县模拟）如图，在O中，点C在AD上若AB=BD，AOB=110，则BCD的度数为（）A55B70C110D25010（2022玉州区二模）如图，点A，B，C是O上的三点若AOC90，BAC30，则AOB的大小为（）A40B35C30D2511（2022覃塘区三模）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，CD是O的弦，若ABC56，则BDC的度数是（）A34B44C54D6412（2022

4、平果市模拟）如图，AB是O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，AC，BD的延长线交于点E，则AEBBCD等于（）A30B45C55D6013（2022南宁模拟）如图，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，BAC30，P为弧BC上任意一点，CDCP交AP于点D，连接BD，若AB4，则BD的最小值为（）A23B27-23C7-3D214（2022百色一模）如图，在矩形ABCD中，AB5，BC4，以CD为直径作O将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形ABCD的边AB与O相切，切点为E，边CD与O相交于点F，过点O，E的直线交CF于点G，则CF的长为（）A4.5B4C3.5D315（2022

5、北海二模）已知O的半径为3，OA5，则点A和O的位置关系是（）A点A在圆上B点A在圆外C点A在圆内D不确定二填空题（共8小题）16（2022梧州）如图，四边形ABCD是O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于12OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交O于点E，F若OA1，则BE，AE，AB所围成的阴影部分面积为 17（2022玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 18（2023三江县校级一模）如图，C，D在圆上，AB是直径，若D64，则BAC 19（2023鱼峰区模拟）如图，在

6、RtABC中，C90，AC6，BC8，且ABC的三边都与O相切，则AO 20（2022都安县校级二模）小宇同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为30，底面半径为3的圆锥模型，则此圆锥的母线长为 21（2022覃塘区三模）如图，在矩形ABCD中，点O在AB边上，以O为圆心、OB长为半径作O与CD相切，与AD交于点E，连接OE若AB3，BC2，则扇形OBE的面积为 22（2022钦州一模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面周长为8cm，侧面积为48cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 23（2022德保县二模）如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角

7、板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q若AB8cm，则弧BQ的长为 cm（结果保留）三解答题（共8小题）24（2022防城区校级模拟）阅读资料：如图1，已知PC是O的切线，AB是O的直径，延长BA交切线PC于点P，分别连接AC、BC、OCPC是O的切线，AB是O的直径，OOPACB90，12，又OBOC，B1，B2，又PPPACPCB，PAPC=PCPB，PC2PAPB问题拓展：（1）如图1，若PA3，AB9，试利用上面的结论，求PC的长；（2）如图2，如果PB不经过O的圆心O，等式PC2PAPB还成立吗？请说明理由；（3）如图3，O是ABC的外接圆，PC是O的切

8、线，C是切点，BA的延长线交PC于点P，若D是BC的中点，PD交AC于点E试利用（2）的结论去证明：PC2PA2=CEAE25（2022柳州模拟）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作MNAC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BGMN，垂足为G，连接CN（1）求证：直线MN是O的切线；（2）求证：BD2ACBG；（3）若BNOB，求tanANC的值26（2022灵山县模拟）如图，在RtABC中，ACB90，AO平分CAB，交BC于点O，以O为圆心，OC为半径作圆，延长AO交O于点D（1）求证：AB是O的切线；（2）若求AEAC=12，tanD的值；（3）在（

9、2）的条件下，连接点C及AB与O的切点交AD于点G，O的半径为3，求点C与该切点间的距离27（2022柳东新区模拟）如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E、F，连接OF交AD于点G（1）求证：BC是O的切线；（2）求证：AD2ABAF；（3）若BE8，tanB=512，求AD的长28（2022青秀区校级三模）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作O，交BCC于点D，过点D作DEAC，垂足为点E（1）求证：DE是O的切线；（2）连接OE，若CE=1，sinABC=255，求OE的长；（3）如图2，点F为O上一点，FBC

10、120，连接DF交AB于点P，FP2PD，求证：BDF4529（2022兴宁区校级模拟）如图，在RtABC中，C90，AD是角平分线，DEAD交AB于E，ADE的外接圆O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交O于G，连接GE（1）求证：BC是O的切线；（2）若tanG=43，BE4，求O的半径；（3）在（2）的条件下，求AP的长30（2022环江县模拟）已知AB是O的直径，点C，D分别位于AB的两侧，点C是弧AB的中点，点D是O上一个动点（1）如图1，当ADBC时，求证：ABCABD；（2）如图2，点E是弦AD的中点，AB6，在点D运动过程中，当BCE是等腰三角形时，求

11、AD的长31（2022南宁一模）如图1，O是ABC的外接圆，AB为直径，点P是O外一点，且PAPC=2AB，连接PO交O于点E，交AC于点D，延长PO交O于点F，连接AE（1）证明：AF=CF；（2）若tanAEF=2，证明：PA是O的切线；（3）在（2）的条件下，连接PB交O于点G，连接DG，若O的半径为3，求DG的长2023年广西中考数学专题练11圆参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1（2022柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB4，母线长AC12，则这个圆锥的侧面积为（）A16B24C48D96【解答】解：弧AA的长，就是圆锥的底面周长，即248，所以扇形的面积为1281248，即圆锥

12、的侧面积为48，故选：C2（2022河池）如图，AB是O的直径，PA与O相切于点A，ABC25，OC的延长线交PA于点P，则P的度数是（）A25B35C40D50【解答】解：ABC25，AOP2ABC50，PA是O的切线，PAAB，PAO90，P90AOP905040，故选：C3（2022贵港）如图，O是ABC的外接圆，AC是O的直径，点P在O上，若ACB40，则BPC的度数是（）A40B45C50D55【解答】解：AC是O的直径，ABC90，ACB+CAB90，ACB40，CAB904050，由圆周角定理得：BPCCAB50，故选：C4（2022梧州）如图，O是ABC的外接圆，且ABAC，B

13、AC36，在AB上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则BAD+ABD的度数是（）A60B62C72D73【解答】解：ABAC，BAC36，ABCC72，四边形ADBC是圆内接四边形，D+C180，D180C108，BAD+ABD180D72，故选：C5（2022贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm计时结束后如图（2）所示，求

14、此时“沙漏”中液体的高度为（）A2cmB3cmC4cmD5cm【解答】解：如图：圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，ABC是等腰直角三角形，CDE也是等腰直角三角形，即CDDE，由已知可得：液体的体积为32763（cm3），圆锥的体积为1362672（cm3），计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72639（cm3），设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，则CDDE（6x）cm，13（6x）2（6x）9，（6x）327，解得x3，计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm，故选：B6（2023鱼峰区模拟）如图，点A、B、C为O上的点，AOB60，则ACB（）A20B30C40D60【

15、解答】解：AB=AB，ACB=12AOB，AOB60，ACB30，故选：B7（2022柳州模拟）如图，等边ABC的三个顶点都在O上，AD是O的直径，若OA3，则劣弧BD的长是（）A2B32CD2【解答】解：连接OB、BD，如图：ABC为等边三角形，C60，DC60，OBOD，BOD是等边三角形，BOD60，半径OA3，劣弧BD的长为603180=故选：C8（2022柳东新区模拟）如图，直线AB是O的切线，点C为切点，ODAB交O于点D，点E在O上，连接OC，EC，ED，CED的度数为（）A60B55C45D40【解答】解：直线AB是O的切线，OCAB，ODAB，ODOC，COD90，CED=1

16、2COD45，故选：C9（2022灵山县模拟）如图，在O中，点C在AD上若AB=BD，AOB=110，则BCD的度数为（）A55B70C110D250【解答】解：AB=BD，AOB=110，BCD=12AOB=1211055故选：A10（2022玉州区二模）如图，点A，B，C是O上的三点若AOC90，BAC30，则AOB的大小为（）A40B35C30D25【解答】解：BAC30，BOC2BAC60，AOC90，AOBAOCBOC30，故选：C11（2022覃塘区三模）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，CD是O的弦，若ABC56，则BDC的度数是（）A34B44C54D64【解答】解：A

17、B是O的直径，ACB90，ABC56，A90ABC34，BDCA34，故选：A12（2022平果市模拟）如图，AB是O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，AC，BD的延长线交于点E，则AEBBCD等于（）A30B45C55D60【解答】解：AB是O的直径的直径，ADBADEACB90，AEB+EAD90，C是弧AB的中点，ACBC，CABCBA45，EAD+BAD45，BCDBAD，EAD+BCD45，AEB+EAD（EAD+BCD）904545，AEBBCD45故选：B13（2022南宁模拟）如图，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，BAC30，P为弧BC上任意一点，CDCP交

18、AP于点D，连接BD，若AB4，则BD的最小值为（）A23B27-23C7-3D2【解答】解：以AC为边，在ABC异侧作等边GAC，连接GD、GB，如图：AB为半圆O的直径，ABC60，ACB90，APCABC60，CAB30，ACABcos3023，CDCP，ADCDCP+APC150，GAC是等边三角形，AGCGAC60，GAAC23，ADC+12AGC180，即D的轨迹是以G为圆心，23为半径的圆，而GABGAC+CAB90，BG=AB2+AG2=27，BGD中，BDBGGD，BD27-23，当G、D、B共线时，BD最小，如图：BD最小值为27-23故选：B14（2022百色一模）如图，

19、在矩形ABCD中，AB5，BC4，以CD为直径作O将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形ABCD的边AB与O相切，切点为E，边CD与O相交于点F，过点O，E的直线交CF于点G，则CF的长为（）A4.5B4C3.5D3【解答】解：过点O作OHBC于点H，OHB90，AB与O相切于点E，OEB90，四边形ABCD是矩形，ABCD5，ODOCOE2.5，由旋转得：BCBC4，四边形ABCD是矩形，BBCD90，四边形OEBH和四边形EBCG都是矩形，BHOE2.5，BEOHCG，EGC90，CHBCBH1.5，OH=OC2-CH2=252-152=2，CGOH2，OGCD，CF2CG4，故选：B15（

20、2022北海二模）已知O的半径为3，OA5，则点A和O的位置关系是（）A点A在圆上B点A在圆外C点A在圆内D不确定【解答】解：O的半径为3，OA5，点到圆心的距离大于半径，点A在圆外，故选：B二填空题（共8小题）16（2022梧州）如图，四边形ABCD是O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于12OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交O于点E，F若OA1，则BE，AE，AB所围成的阴影部分面积为 112+143-12【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，EAEO，OAOE，AOE为等边三角形，AOE60，四边形ABCD是O的内接正四边形，AO

21、B90，BOE30，S弓形AOES扇形AOESAOE，S阴影S扇形AOBS弓形AOESAOBS扇形AOB（S扇形AOESAOE）SAOBS扇形AOBS扇形AOE+SAOESAOBS扇形BOE+SAOESAOB=3012360+121132-1211 =112+143-12故答案为：112+143-1217（2022玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 1【解答】解：由题意BD的长CD+BC1+12，S扇形ABD=12BDAB=12211，故答案为：118（2023三江县校级一模）如图，C，D在圆上，A

22、B是直径，若D64，则BAC26【解答】解：连接BC，D64，BD64，AB是O的直径，ACB90，BAC90B906426，故答案为：2619（2023鱼峰区模拟）如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，且ABC的三边都与O相切，则AO25【解答】解：设O与ABC的三边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则ODAC，OEBC，OFAB，ODOEOF，由勾股定理得，AB=AC2+BC2=10，12ACBC=12ACOD+12BCOE+12ABOF，即1268=12（6+8+10）OD，解得，OD2，设ADx，则CD6x，根据切线长定理得，AFADx，CE6x，则BE8（6x）2

23、+x，BFBE2+x，则x+2+x10，解得，x4，在RtAOD中，AO=AD2+OD2=25，故答案为：2520（2022都安县校级二模）小宇同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为30，底面半径为3的圆锥模型，则此圆锥的母线长为 10【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据题意得1223l30，解得l10，所以此圆锥的母线长为10故答案为：1021（2022覃塘区三模）如图，在矩形ABCD中，点O在AB边上，以O为圆心、OB长为半径作O与CD相切，与AD交于点E，连接OE若AB3，BC2，则扇形OBE的面积为 43【解答】解：设CD与O相切于点F，连接OF，OFC90，四边形ABCD是矩形，

24、ABCCA90，四边形OBCF是矩形，BCOF2，OEOBOF2，AB3，OAABOB321，在RtAOE中，cosAOE=AOOE=12，AOE60，BOE180AOE120，扇形OBE的面积=12022360=43，故答案为：4322（2022钦州一模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面周长为8cm，侧面积为48cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 120【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n，圆锥的底面圆周长为8cm，圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8cm，由题意得：128l48，解得：l12，则n12180=8，解得，n162，即扇形的

25、圆心角为120，故答案为：12023（2022德保县二模）如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q若AB8cm，则弧BQ的长为 2cm（结果保留）【解答】解：连接OQ，P45，QABP45，AQB90，ABQ是等腰直角三角形OQAB，OQOB=12AB4cm弧BQ的长为：904180=2（cm）故答案为：2三解答题（共8小题）24（2022防城区校级模拟）阅读资料：如图1，已知PC是O的切线，AB是O的直径，延长BA交切线PC于点P，分别连接AC、BC、OCPC是O的切线，AB是O的直径，OOPACB90，12，又OBO

26、C，B1，B2，又PPPACPCB，PAPC=PCPB，PC2PAPB问题拓展：（1）如图1，若PA3，AB9，试利用上面的结论，求PC的长；（2）如图2，如果PB不经过O的圆心O，等式PC2PAPB还成立吗？请说明理由；（3）如图3，O是ABC的外接圆，PC是O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P，若D是BC的中点，PD交AC于点E试利用（2）的结论去证明：PC2PA2=CEAE【解答】（1）解：PC 2PAPB，PA3，AB9，PC23（3+9）36，PC=36=6；（2）解：当PB不经过O的圆心O时，等式PC 2PAPB仍然成立证法一：如图21，连接PO并延长交O于点D，E，连接B

27、D、AE，BE，BPDAPE，PBDPEA，PDPA=PBPE，即PAPBPDPE，由图1知，PC2PDPE，PC2PAPB；证法二：如图22，过点C作O的直径CD，连接AD，BC，AC，PC是O的切线，PCCD，CADPCD90，即1+290，D+190，D2DB，B2，PP，PBCPCA，所以PAPC=PCPB，即PC 2PAPB；（3）证明：证法一：过点A作AFBC，交PD于点F，PBPA=BDAF，CDAF=CEAE，D为BC的中点，BDCD，BDAF=CDAF，PBPA=CEAE，PC 2PAPB，PC2PA2=PAPBPA2=PBPA=CEAE，PC2PA2=CEAE；证法二：过点

28、A作AGDP，交BC于点G，PBPA=BDGD，CDDG=CEAE，D为BC的中点，BDCD，BDGD=CDDG，PBPA=CEAE，PC 2PAPB，PC2PA2=PAPBPA2=PBPA=CEAE，PC2PA2=CEAE；25（2022柳州模拟）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作MNAC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BGMN，垂足为G，连接CN（1）求证：直线MN是O的切线；（2）求证：BD2ACBG；（3）若BNOB，求tanANC的值【解答】（1）证明：如图1，连接AD，OD，AB是O的直径，ADBACD90，即ADBC，ABAC，BADCA

29、D，BDCD，OAOD，ODABAD，OADCAD，NMAC，AMN90，DAC+ADM90，ODA+ADM90，即ODM90，ODMN，OD是半径，直线MN是O的切线；（2）证明：由（1）知，ADC90，BDCD，ADCDMC90，ACDDCM，CMDCDA，CDAC=CMCD，CD2ACCM，BD2ACCM，在BGD和MCD中，BGD=CMD=90BDG=CDMBD=CD，BGDCDM（AAS），BGCM，BD2ACBG；（3）解：如图2，连接OD，OC，由（1）ODN90，ODOBBN，cosDON=ODON=12，DON60，ABAC，ABC是等边三角形，OAOB，COAB，OCACc

30、os60=3，tanANC=OCON=3226（2022灵山县模拟）如图，在RtABC中，ACB90，AO平分CAB，交BC于点O，以O为圆心，OC为半径作圆，延长AO交O于点D（1）求证：AB是O的切线；（2）若求AEAC=12，tanD的值；（3）在（2）的条件下，连接点C及AB与O的切点交AD于点G，O的半径为3，求点C与该切点间的距离【解答】（1）证明：作OHAB于H，AO平分CAB，OCOH，AB是O的切线；（2）解：连接CE，ED是直径，ECD90，ACBECD90，ACEOCD，OCOD，OCDODC，ACED，EACCAE，EACCAD，CECD=AEAC=12，tanD=12

31、；（3）在RtDCE中，设CEx，则CD2x，ED=5x，5x6，x=655，在RtACO和RtAHO中，OCOH，OAOA，RtACORtAHO（HL），ACAH，AG垂直平分CH，12ECCD=12EDCG，CG=CDECED=x2x5x=255655=125，CH2CG=245，点C与该切点间的距离为24527（2022柳东新区模拟）如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E、F，连接OF交AD于点G（1）求证：BC是O的切线；（2）求证：AD2ABAF；（3）若BE8，tanB=512，求AD的长【解答】（1）证明：

32、如图1，连接OD，则OAOD，ODAOAD，AD是BAC的平分线，OADCAD，ODACAD，ODAC，ODBC90，点D在O上，BC是O的切线；（2）证明：如图2，连接OD，DF，EF，AE是O的直径，AFE90C，EFBC，BAEF，AEFADF，BADF，由（1）知，BADDAF，ABDADF，ABAD=ADAF，AD2ABAF；（3）解：如图3，连接EF，在RtBOD中，tanB=512=ODBD，OD2+BD2OB2，设OD为5x，则BD为12x，由勾股定理得BO=BD2+OD2=13x，sinB=ODOB=513，设半径为r，则rr+8=513，解得r5，AE10，ABAE+BE1

33、8，AE为直径，AFEC90，EFBC，AEFB，sinAEF=AFAE=513，AFAE513=10513=5013，AD2ABAF，AD=ABAF=185013=30131328（2022青秀区校级三模）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作O，交BCC于点D，过点D作DEAC，垂足为点E（1）求证：DE是O的切线；（2）连接OE，若CE=1，sinABC=255，求OE的长；（3）如图2，点F为O上一点，FBC120，连接DF交AB于点P，FP2PD，求证：BDF45【解答】（1）证明：如图1，连接OD，AD，AB是直径，ADB90，ABAC，BDCD，OBOA，ODAC，DEAC，

34、ODDE，点DE是O的切线；（2）解：如图1，sinCsinABC=255，sinC=DECD，设DE25x，CD5x，（5x）2（25x）212，x=55，DE2555=2，CD=5，在RtACD中，sinC=ADAC=255，设AD25k，AC5k，（5k）2（25k）2（5）2，k1，AC5k5，OD=12AC=52，在RtDOE中，OE=DE2+OD2=22+(52)2=412，（3）证明：如图2，连接AD，AF，OD，作OQDF于Q，FQDQ=12DF，设PDa，PF2a，DF3a，FQ=32a，四边形ADBF是O的内接四边形，FAD180FBD60，DF=DF，DOF2DAF120

35、，OFOD，OQDF，FOQ=DOQ=12DOF=60，tan60=32aOQ，OQ=32a，PQDQPD=32a-a=12a，tanPOQ=PQOQ=12a32a=33，POQ30，BODDOQPOQ603030，BD=BD，BFD=12BOD=1230=15，BDF180BDFBFD180120154529（2022兴宁区校级模拟）如图，在RtABC中，C90，AD是角平分线，DEAD交AB于E，ADE的外接圆O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交O于G，连接GE（1）求证：BC是O的切线；（2）若tanG=43，BE4，求O的半径；（3）在（2）的条件下，求AP

36、的长【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，点D在圆上，OD为O的半径，OAOD，OADODA，AD平分BAC，DACOAD，DACODAODAC，ODBC90ODBC，BC是O的切线；（2）解：ODAC，BODBAC，BACG，GBOD，tanBODtanG=43，BDOD=43，设O的半径OD3x，则BD4x，在RtBOD中，OB=BD2+OD2=5x，OBOE+BE，5x3x+4，解得x2，O的半径为6（3）解：由（2）得OE6，OB10，BD8，AE12，ABAE+BE16，ODAC，OBAB=ODAC=BDBC，即1016=6AC=8BC，AC=485，BC=645CDBCBD=24

37、5在RtACD中，AD=AC2+CD2=2455BACG，tanBAC=43，AEFG，在RtAFM中，FMAM=43，设AM3a，则FM4a，AE是O的直径，且AEFG，MGFM4a，OMOAAM63a，连接OG，如图所示，在RtMOG中，OM2+MG2OG2即（63a）2+（4a）262解得a=3625，AM3a=10825，DEAD，ADE90，ADEAMP90，AMPADEAMAD=APAE，即108252455=AP12，AP=5452530（2022环江县模拟）已知AB是O的直径，点C，D分别位于AB的两侧，点C是弧AB的中点，点D是O上一个动点（1）如图1，当ADBC时，求证：A

38、BCABD；（2）如图2，点E是弦AD的中点，AB6，在点D运动过程中，当BCE是等腰三角形时，求AD的长【解答】（1）证明：AB是O的直径，CD90，点C是弧AB的中点，ACBC，CABCBA，ADBC，DABCBA，DABCAB，在ABC和ABD中，C=DDAB=CABAB=AB，ABCABD（AAS）；（2）解：当BECE时，如图，作EHBC于点H，则BHCH=12BC，连接BD，AC，EH经过圆心O，E是AD的中点，EHAD，DE=12AD，AB是O的直径，ADB90，ACB90，ADBD，四边形BDEH是矩形，DEBH，ADBC，在RtABC中，AB6，由（1）得：ACBC，BC32

39、，AD32；当BCEC时，如图，连接AC，BD，CD，由（1）得：BCAC，ECBFAC，A，E，B在以C为圆心，以BC长为半径的圆上，BAE=12BCE，又BAEBCD，BCD=12BCE，BCDDCE，又BCEC，CD垂直平分BE，BDED，BD=12AD，又AD2+BD2AB2，AD2+(12AD)2=62，AD=1255，当BEBC时，如图，连接BD，CD，BC32，BE32，设ADx，且x0，则DE=12x，在RtABD和RtBDE中，由勾股定理得：BD2AB2AD2，BD2BE2DE2，AB2AD2BE2DE2，即62x2=(32)2-(12x)2，解得x26或x26（舍去），AD

40、26，综上所述，AC的长为32或1255或2631（2022南宁一模）如图1，O是ABC的外接圆，AB为直径，点P是O外一点，且PAPC=2AB，连接PO交O于点E，交AC于点D，延长PO交O于点F，连接AE（1）证明：AF=CF；（2）若tanAEF=2，证明：PA是O的切线；（3）在（2）的条件下，连接PB交O于点G，连接DG，若O的半径为3，求DG的长【解答】（1）证明：如图1，连接OCPCPA，OCOA，OP垂直平分线段AC，AF=CF（2）证明：如图2，连接AF，设DEa，tanAEF=2，ADE90，ADDEtanAEF=2a，AE=AD2+DE2=(2a)2+a2=3a，EF是O

41、的直径，EAF90，cosAEF=AEEF=DEAE，即3aEF=a3a，EF3a，OAOE=32a，ODOEDE=32aa=12a，AB为直径，AB3a，PAPC=2AB，PA32a，在RtPAD中，PD=PA2-AD2=(32a)2-(2a)2=4a，OPPD+OD4a+12a=92a，ODOA=12a32a=13，OAOP=32a92a=13，ODOA=OAOP=13，又AODPOA，AODPOA，ADOPAO90，OA是O的半径，OAPA，PA是O的切线；（3）如图3，过G作GJPD于J，过B作BKPF于K，连接AG，由（2）知：AB3a，又O的半径为3，即AB6，3a6，a2，AB3

42、a6，PAPC32a62，AC2AD2CD42，PD4a8，AB为直径，ACBAGB90，BC=AB2-AC2=62-(42)2=2，CAPF，BKPF，BCDCDFBKD90，四边形BCDK是矩形，BKCD22，DKBC2，PKPD+DK8+210，在RtPBK中，PB=PK2+BK2=102+(22)2=63，PABPGA90，BPAAPG，BPAAPG，PAPB=PGPA，PG=PA2PB=(62)263=43，GJBK，PGJPBK，GJBK=PJPK=PGPB，即GJ22=PJ10=4363，GJ=423，PJ=203，DJPDPJ8-203=43，在RtDGJ中，DG=DJ2+GJ2=(43)2+(423)2=433