2023版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册） 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）（教师版含解析）.docx

1、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精讲)思维导图常见考法考点一 解一元二次不等式【例1】(2021利辛县阚疃金石中学)解下列不等式：(1)；(2).(3)(3)(4)(5)【答案】(1)；(2).(3)；(4)(5).【解析】(1)由可得，解原不等式可得.因此，不等式的解集为；(2)由可得，变形得，解原不等式可得或.因此，不等式的解集为.(3)化为，即，或，原不等式的解集为（4） 由得，即，解得：或，所以不等式的解集是，(5)化为，即，且，即(且)原不等式的解集为【一隅三反】1(2021安徽亳州市)不等式的解集为( )ABCD【答案】B【解析】由可得，解得，所以不等式的解集为.故选：B2

2、(2021全国高一课时练习)求下列不等式的解集.(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)R.【解析】(1)同解于：或，解得：或，所以原不等式的解集为.(2)可化为即或，解得：或无解所以原不等式的解集为.(3)可化为：，解得：，所以原不等式的解集为.(4)可化为：，所以，无解.所以原不等式的解集为.(5)可化为： ，即或，解得：或所以原不等式的解集为.(6)可化为：，所以,所以原不等式的解集为R.考点二 根据一元二次不等式解求参【例2】(1)(2021江苏)已知不等式ax2bx+20的解集为x|x2，则不等式2x2+bx+a0的解

3、集为()Ax|x1B x|x或xCx|xDx|x或x1(2)(2021重庆市育才中学高一月考)关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是( ).ABCD(3)(2021重庆市万州南京中学高一开学考试)如果方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数的取值范围是ABCD【答案】(1)A(2)D(3)C【解析】(1)不等式ax2bx+20的解集为x|x2，所以，2是方程ax2-bx+20的两个实数根，且a0，由根与系数的关系知，解得；所以不等式2x2+bx+a0化为2x2x10，解得x1；所以不等式2x2+bx+a0的解集为x|x1故选：A(2)方程有两个实数根，的方程有两个正的实数根，对

4、应的二次函数的开口向上，对称轴所以，可得，或，故选：(3)因为方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，所以可作出函数的简图如下：由图可得：，即：解得： 故选C【一隅三反】1(2021合肥一六八中学高一期末)关于的不等式的解集为，则不等式的解集为( )ABCD【答案】D【解析】的解集是，得，则不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.故选：D2(2021广东湛江市高一期末)已知不等式的解集为，则不等式的解集是( )ABC或 D或【答案】A【解析】的解集为,则的根为，即，解得，则不等式可化为，即为，解得或，故选：A.3(2021江苏)(多选)关于x的不等式的解集为，则下列正确的是( )AB关于x的不

5、等式的解集为CD关于x的不等式的解集为【答案】ACD【解析】A由已知可得且是方程的两根，A正确，B由根与系数的关系可得：，解得，则不等式可化为：，即，所以，B错误，C因为，C正确，D不等式可化为：，即，解得或，D正确，故选：ACD4(2021上海高一)已知方程有两个负根，求的取值范围【答案】【解析】设方程两个负根分别为：， 因此有：且且，解得：，所以的取值范围是.5(2021上海市杨浦高级中学高一期末)若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】方程有三根，有根，方程的，得又原方程有三根，且为三角形的三边和长有，而已成立；当时，两边平方得：即：解得故答案

6、为：6(2021全国高二单元测试)已知方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件【答案】【解析】令，方程有两个大于的实数根，解得所以，方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件为考法三 含参数的一元二次不等式的解法【例3】(2021广东)解关于x的不等式ax2(a1)x10(aR)【答案】答案见解析【解析】若a0，原不等式等价于x11若a1若a0，原不等式等价于当a1时，无解； 当a1时，解，得；当0a1时， ，解，得；综上所述，当a1；当0a1时，解集为【一隅三反】1(2021六安市裕安区新安中学高一期末)已知，关于x的不等式的解集为( )A或BC或D【答案】A【解析】不等式化为，故不等式的

7、解集为或.故选：A.2(2021全国高一)解关于的不等式.【答案】答案见解析.【解析】不等式，化为，当时，解得或，当时，解得R,当时，解得或，综上：当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集是R；当时，不等式的解集是或；3(2021安徽省临泉第一中学)解关于的不等式.【答案】答案见解析【解析】由题意可知，可化为(1)当时，不等式化为，解得，(2)当时，不等式化为，解得，(3)当时，不等式化为，解得或，(4)当时，不等式化为，解得，(5)当时，不等式化为，解得或，综上所述，时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为;4(2021全国高一课时练

8、习)解关于x的不等式ax22(a1)x40.【答案】答案见解析.【解析】(1)当a0时，原不等式可化为2x40，解得x2，所以原不等式的解集为x|x0时，原不等式可化为(ax2)(x2)0，对应方程的两个根为x1，x22.当0a2，所以原不等式的解集为或；当a1时，2，所以原不等式的解集为x|x2；当a1时，2，所以原不等式的解集为或.(3)当a0时，原不等式可化为(ax2)(x2)0，对应方程的两个根为x1，x22，则2，所以原不等式的解集为.综上，a0时，原不等式的解集为；a0时，原不等式的解集为x|x2；01时，原不等式的解集为或.考法四 一元二次不等式恒成立【例4】(1)(2021陵川

9、县高级实验中学校)不等式对一切实数都成立，则实数a的范围是 (2)(2021浙江高一期末)若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_(3)(2021全国高一)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 (4)(2021北京)若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是 【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)不等式可变形为由不等式对一切实数都成立，即，解得故选：C(2)因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，令，可知成立，当，函数单调递增，所以，所以.(3)当时，此不等式无解；当，要使原不等式无解，应满足：，解得：.(4)不等式等价于存在，使成立，即 设 当时， 所以 .【一

10、隅三反】1(2021北京高一其他模拟)已知不等式的解集为则的取值范围是 【答案】【解析】因为不等式的解集为所以，解得，所以的取值范围是2(2021全国高三专题练习)若关于x的不等式x24xm对任意x(0，1恒成立，则m的取值范围为_【答案】m3【解析】只需要在x(0，1时，(x24x)minm即可因为函数f(x)x24x在(0，1上为减函数，所以当x1时，(x24x)min143，所以m33(2021江苏扬州市扬州中学)不等式的解集是空集，则实数的范围为 【答案】【解析】令，解得；当时，不等式化为，解得，不合题意，舍去；当时，不等式化为，无解，符合题意；当，即时，因为的解集是空集，所以恒成立，

11、所以，解得，4(2021江西赣州市)若不等式在上有解，则实数的取值范围是 。【答案】【解析】因为不等式在上有解，所以不等式在上有解， 令，则，所以考点五 实际问题【例5】(2021浙江湖州市湖州中学高一月考)如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为_.【答案】【解析】设花卉带宽度为米， 则中间草坪的长为米，宽为米，根据题意可得，整理得：，即，解得或，不合题意，舍去，故所求花卉带宽度的范围为，故答案为：.【一隅三反】1(2021浙江高一期末)某小型服装厂生产一种

12、风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是ABCD【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为元，则，根据题意知，解得：，所以当时，每天获得的利润不少于元，故选2(2020河北沧州市高一期中)某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足( )ABCD【答案】A【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，因为销售的总收入不低于万元，列不等式为：，即，即，故选：A.3(202

13、0吉林长春市长春十一高高一期中)某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】由题意可得，整理可得解得故选：B4(2021浙江)商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为( )A11元B16元C12元到16元之间D13元到15元之间【答案】C【解析】设销售价定为每件元,利润为元，则，由题意可得：，即， 所以，解得：，所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选：C.