2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题20导数与不等式的证明（Word版附解析）.docx

1、专题20导数与不等式的证明 知识梳理方法技巧题型归类题型一：移项构造函数证明不等式题型二：换元构造法题型三：将不等式转化为函数的最值问题题型四：将不等式转化为两个函数的最值进行比较题型五：分拆函数法证明不等式题型六：放缩后构造函数证明不等式培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试解答题：共16题一、【知识梳理】【方法技巧】1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.2.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标

2、.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)minf(x)max恒成立，从而f(x)g(x)恒成立.3.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商形式.便于求导后找到极值点.4.某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式exx1，1ln xx1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.5.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题6.在证明过程中，“隔离”化是关键，此处f(x)ming(

3、x)max恒成立从而f(x)g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值” 7.换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c，从而构造相应的函数其解题要点为： 联立消参利用方程f(x1)f(x2)消掉解析式中的参数a抓商构元令c，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c)用导求解利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论二、【题型归类】【题型一】移项构造函数证明不等式【典例1】已知函数f(x)ex3x3a(e为自然对数的底数，aR).(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln ，且x0时，x3a.【解析】(1)解由

4、f(x)ex3x3a，xR，知f(x)ex3，xR.令f(x)0，得xln 3，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 3)ln 3(ln 3，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(，ln 3)，单调递增区间是(ln 3，)，f(x)在xln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)eln 33ln 33a3(1ln 3a)，无极大值.(2)证明待证不等式等价于exx23ax1，设g(x)exx23ax1，x0，于是g(x)ex3x3a，x0.由(1)及aln ln 31知g(x)的最小值为g(ln 3)3(1ln 3a)0.于是对任意x0，都有g(x)0

5、，所以g(x)在(0，)内单调递增.于是当aln ln 31时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx23ax1，故x3a.【典例2】证明：当x1时，x2ln x1时，g(x)g(1)0，所以当x1时，x2ln xx3.【题型二】换元构造法【典例1】已知函数f(x)ln xax(x0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1x2)求证：x1x2e2.【证明】不妨设x1x20，因为ln x1ax10，ln x2ax20，所以ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，所以a，欲证x1x2e2，即证l

6、n x1ln x22.因为ln x1ln x2a(x1x2)，所以即证a，所以原问题等价于证明，即ln，令c(c1)，则不等式变为ln c.令h(c)ln c，c1，所以h(c)0，所以h(c)在(1，)上单调递增，所以h(c)h(1)ln 100，即ln c0(c1)，因此原不等式x1x2e2得证【典例2】已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)若a2，正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)x1x20，求证：x1x2.【解析】(1)当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，所以切点为(1，1)，又因为f(x)1，所以

7、切线的斜率kf(1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)证明：当a2时，f(x)ln xx2x(x0)由f(x1)f(x2)x1x20，得ln x1xx1ln x2xx2x1x20，从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，令tx1x2(t0)，令(t)tln t，得(t)1，易知(t)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，因为x10，x20，所以x1x2.【题型三】将不等式转化为函数的最值问题【典例1】已知函数g(x)x3ax2.(1)若函数g(x)在1,3上为单调函数，求a的取值范围；(2)

8、已知a1，x0，求证：g(x)x2ln x.【解析】(1)解由题意知，函数g(x)x3ax2，则g(x)3x22ax，若g(x)在1,3上单调递增，则g(x)3x22ax0在1,3上恒成立，则a；若g(x)在1,3上单调递减，则g(x)3x22ax0在1,3上恒成立，则a.所以a的取值范围是.(2)证明由题意得，要证g(x)x2ln x，x0，即证x3ax2x2ln x，即证xaln x，令u(x)xaln x，x0，可得u(x)1，x0，当0x1时，u(x)1时，u(x)0，函数u(x)单调递增所以u(x)u(1)1a，因为a1，所以u(x)0，故当a1时，对于任意x0，g(x)x2ln x

9、.【典例2】已知函数f(x)1，g(x)bx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直(1)求a，b的值；(2)证明：当x1时，f(x)g(x).【解析】(1)解因为f(x)1，x0，所以f(x)，f(1)1.因为g(x)bx，所以g(x)b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，所以g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1.(2)证明由(1)知，g(x)x，则f(x)g(x)1x0.令h(x)1x(x1)，则h(1)0，h(x)11.因为x1，所以h(

10、x)10，所以h(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，h(x)h(1)0，即1x0，所以当x1时，f(x)g(x).【典例3】已知函数f(x)ln x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，证明：f(x).【解析】(1)解f(x)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当a0时，若xa，则f(x)0，函数f(x)在(a，)上单调递增；若0xa，则f(x)0时，f(x)minf(a)ln a1.要证f(x)，只需证ln a1，即证ln a10.令函数g(a)ln a1，则g(a)(a0)，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，所以g(a)在(0,1)上单调递减

11、，在(1，)上单调递增，所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立，所以f(x).【题型四】将不等式转化为两个函数的最值进行比较【典例1】已知函数f(x)aln xx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1时，证明：xf(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增当a0；若x(0，a)，则f(x)0.所以f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减(2)证明当a1时，要证xf(x)ex ，即证x2xln xex，即证10，得x(0，e)；令g(x)0，得x(e，)所

12、以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以g(x)maxg(e)1，令函数h(x)，则h(x).当x(0,2)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以h(x)minh(2).因为0，所以h(x)ming(x)max，即1，从而xf(x)0时，f(x)xex.【证明】要证f(x)xex，只需证exln xex，即exex0)，则h(x)，易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)minh0，所以ln x0.再令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex

13、0.因为h(x)与(x)不同时为0，所以exex0)，若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，则当0x0；当x时，f(x)0，所以只需证f(x)2e，当ae时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以f(x)maxf(1)e.设g(x)2e(x0)，则g(x)，所以当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e.综上，当x0时，f(x)g(x)，即f(x)2e.故不等式xf(x)ex2ex0得证【题型五】分拆函数法证明不等式【典例1】证明：对一切x(0，)，都有ln x成立.【解析】问题等价于证明xln x(

14、x(0，).设f(x)xln x，f(x)1ln x，易知x为f(x)的唯一极小值点，则f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到.设m(x)(x(0，)，则m(x)，由m(x)0，得x1时，m(x)单调递减；由m(x)0得0x1时，m(x)单调递增，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到.从而对一切x(0，)，xln x，两个等号不同时取到，所以对一切x(0，)都有ln x成立.【典例2】已知函数f(x)eln xax(xR).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.【解析】(1)解f(x)a(x0)，若a0，则f(x)0，f(x

15、)在(0，)上单调递增；若a0，则当0x0；当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)证明法一x0，只需证f(x)2e，当ae时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(x)maxf(1)e.记g(x)2e(x0)，则g(x)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，故g(x)在(0，1)上单调递减；在(1，)上单调递增，g(x)ming(1)e.综上，当x0时，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex0.法二由题意知，即证exln xex2ex2ex0，从而等价于ln xx2.设函数g(x)ln xx2，则g(x)1.当x(0

16、，1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而g(x)在(0，)上的最大值为g(1)1.设函数h(x)，则h(x).当x(0，1)时，h(x)0，故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而h(x)在(0，)上的最小值为h(1)1.综上，当x0时，g(x)h(x)，即xf(x)ex2ex0.【题型六】放缩后构造函数证明不等式【典例1】已知函数f(x)aln(x1)，其中a为正实数证明：当x2时，f(x)0；当x(1，)时，(x)2时，ln(x1)0，aln(x1)a(x2)要证f(x)ex(a1)x2a，只需证al

17、n(x1)ex(a1)x2a，只需证a(x2)0对于任意的x2恒成立令h(x)exx，x2，则h(x)ex1.因为x2，所以h(x)0恒成立，所以h(x)在(2，)上单调递增，所以h(x)h(2)e240，所以当x2时，f(x)0)，f(x)ex1，kf(1)0，又f(1)0，切点为(1,0)切线方程为y00(x1)，即y0.(2)证明a1，aex1ex1，f(x)ex1ln x1.方法一令(x)ex1ln x1(x0)，(x)ex1，令h(x)ex1，h(x)ex10，(x)在(0，)上单调递增，又(1)0，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，(x

18、)min(1)0，(x)0，f(x)(x)0，即证f(x)0.方法二令g(x)exx1，g(x)ex1.当x(，0)时，g(x)0，g(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，g(x)ming(0)0，故exx1，当且仅当x0时取“”同理可证ln xx1，当且仅当x1时取“”由exx1ex1x(当且仅当x1时取“”)，由x1ln xxln x1(当且仅当x1时取“”)，ex1xln x1，即ex1ln x1，即ex1ln x10(当且仅当x1时取“”)，即证f(x)0.方法三f(x)aex1ln x1，定义域为(0，)，f(x)aex1，令k(x)aex1，k(x)aex10，f(x)

19、在(0，)上单调递增又f(1)a10且x0时，f(x)，x0(0,1使f(x0)0，即aex0-10，即aex0-1，当x(0，x0)时，f(x)0，f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，f(x)minf(x0)aex0-1ln x01ln x01.令(x)ln x1，x(0,1，(x)成立【解析】(1)函数f(x)xln xax的定义域为(0，)当a1时，f(x)xln xx，f(x)ln x2.由f(x)0，得x.当x时，f(x)时，f(x)0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增因此f(x)在x处取得最小值，即f(x)minf.(2)证明：当x0时，ln x1等价于

20、x(ln x1).由(1)知a1时，f(x)xln xx的最小值是，当且仅当x时取等号设G(x)，x(0，)则G(x)，易知G(x)maxG(1)，当且仅当x1时取到，从而可知对一切x(0，)，都有f(x)G(x)，即ln x1.【训练二】已知函数f(x)ln xex(R)(1)若函数f(x)是单调函数，求的取值范围；(2)求证：当0x11.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)ln xex，所以f(x)ex，因为函数f(x)是单调函数，所以f(x)0或f(x)0在(0，)上恒成立，当函数f(x)是单调递减函数时，f(x)0，所以0，即xex0，xex.令(x)，则(x)，

21、当0x1时，(x)1时，(x)0，则(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x0时，(x)min(1)，所以.当函数f(x)是单调递增函数时，f(x)0，所以0，即xex0，xex，由得(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又(0)0，x时，(x)0，所以0.综上，的取值范围为0，)(2)证明：由(1)可知，当时，f(x)ln xex在(0，)上单调递减，因为0x1f(x2)，即ln x1ex1ln x2ex2，所以e1x2e1x1ln x1ln x2.要证e1x2e1x11，只需证ln x1ln x21，即证ln1.令t，t(0，1)，则只需证ln t1，令h

22、(t)ln t1，则h(t)，当0t1时，h(t)0，即ln t1，原不等式得证【训练三】已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x11.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22

23、ln x20，即0时，f(x)ln x1.【解析】(1)解由题意得f(x)(x1)ex1，设g(x)(x1)ex，则g(x)(x2)ex，当x1时，g(x)0，f(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，又因为g(0)1，所以当x0时，g(x)1，即f(x)0时，g(x)1，即f(x)0，综上可知，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)证明要证f(x)ln x1，即证xexxln x1，即证exln x(xln x)1，令txln x，易知tR，待证不等式转化为ett1.设u(t)ett，则u(t)et1，当t0时，u(t)0时，u(t)0，故u(t)在(，0)上单调递减，在

24、(0，)上单调递增所以u(t)u(0)1，原命题得证【训练五】已知函数f(x)ln xax(aR).(1)讨论函数f(x)在(0，)上的单调性；(2)证明：exe2ln x0.【解析】(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，令f(x)0，得x，x时，f(x)0；x时，f(x)0，f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)证明法一要证exe2ln x0，即证ex2ln x，令(x)exx1，(x)ex1.令(x)0，得x0.x(，0)时，(x)0；x(0，)时，(x)0，(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，(x)

25、min(0)0，即exx10，即exx1，当且仅当x0时取“”.同理可证ln xx1，当且仅当x1时取“”.由exx1(当且仅当x0时取“”)，可得ex2x1(当且仅当x2时取“”)，又ln xx1，即x1ln x，当且仅当x1时取“”，所以ex2x1ln x且两等号不能同时成立，故ex2ln x.即证原不等式成立.法二令(x)exe2ln x，(x)的定义域为(0，)，(x)ex，令h(x)ex，h(x)ex0，(x)在(0，)上单调递增.又(1)ee20，(2)e2e2e20，故x0(1，2)，使(x0)0，即ex00，即ex0，当x(0，x0)时，(x)0；当x(x0，)时，(x0)0，

26、(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，(x)min(x0)ex0e2ln x0e2ln x0e2ln e2(2x0)e2e20，故(x)0，即exe2ln x0，即证原不等式成立.【训练六】已知函数f(x)ln x，g(x).(1)求函数f(x)在1，)上的最小值；(2)设ba0，证明：a0，得1，所以ln ，化简得ln bln a，所以.四、【强化测试】【解答题】1. 已知函数f(x)aexln x1(e2.718 28是自然对数的底数)(1)设x2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.【解析】(1)f(x)的定义域为

27、(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.2. 已知函数f(x)1，g(x)xln x.(1)证明：g(x)1；(2)证明：(xln x)f(x)1.【证明】(1)由题意得g(x)(x0)当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0，1)上是

28、减函数，在(1，)上是增函数所以g(x)g(1)1.(2)由f(x)1，得f(x)，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，所以f(x)f(2)1，当且仅当x2时，等号成立又由(1)知xln x1，当且仅当x1时，等号成立，且等号不能同时取到，所以(xln x)f(x)1.3. 已知函数f(x)ln x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，证明：f(x).【解析】(1)f(x)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当a0时，若xa，则f(x)0，函数f(x)在(a，)上单调递增；若0xa，则f(x)

29、0时，f(x)minf(a)ln a1.要证f(x)，只需证ln a1，即证ln a10.令函数g(a)ln a1，则g(a)(a0)，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立，所以f(x).4. 已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.【解析】(1)f(x)a(x0)若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，则当0x0，当x时，f(x)0，所以只需证f(x)2e，当ae时，由(1)知，f(x)在(

30、0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)maxf(1)e.记g(x)2e(x0)，则g(x)，所以当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e.综上，当x0时，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex0.5. 已知函数f(x)axln x1.(1)若f(x)0恒成立，求a的最小值；(2)证明：xln x10.【解析】(1)由题意知x0，所以f(x)0等价于a.令g(x)，则g(x)，所以当x(0，1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.则g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)

31、1，则a1，所以a的最小值为1.(2)证明：当a1时，由(1)得xln x1.即tln t1.令t，则xln xln t，所以xln x1，即xln x10.6. 已知函数f(x)xex1ax1，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线l的斜率为3e2.(1)求a的值及切线l的方程；(2)证明：f(x)0.【解析】(1)解由f(x)xex1ax1，得f(x)(x1)ex1a，因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线l的斜率为3e2，所以f(2)3ea3e2，解得a2，所以f(2)2e412e3，故切线l的方程为y(2e3)(3e2)(x2)，即(3e2)xy4e10.所以a2，切线l的方程

32、为(3e2)xy4e10.(2)证明由(1)，可得f(x)xex12x1，f(x)(x1)ex12，所以当x(，1时，f(x)1)，则g(x)(x2)ex10，所以当x(1，)时，g(x)单调递增，即f(x)单调递增，又因为f(1)0，所以当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以f(x)f(1)0.7. 设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.【解析】(1)解由f(x)ex2x2a，xR，得f(x)ex2，xR，令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，

33、f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)2(1ln 2a)，无极大值(2)证明设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)又g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22

34、ax10，故exx22ax1.8. 已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.【解析】(1)解f(x)a(x0)若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，则当0x0；当x时，f(x)0，所以只需证f(x)2e，当ae时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以f(x)maxf(1)e，记g(x)2e(x0)，则g(x)，所以当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e，综上，当x0时，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex

35、0.9. 已知函数f(x)(aR)，曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为y.(1)求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)求证：当x0时，f(x)x1.【解析】(1)解f(x)，f(x)，f(e)，又曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为y，则f(e)0，即a0，f(x)，令f(x)0，得1ln x0，即0xe；令f(x)0，得1ln xe，f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，)(2)证明当x0时，要证f(x)x1，即证ln xx2x0，令g(x)ln xx2x(x0)，则g(x)2x1，当0x0，g(x)单调递增；当x1时，g(x)0时，f(x)x1

36、.10. 已知函数f(x)axxln x在xe2(e为自然对数的底数)处取得极小值(1)求实数a的值；(2)当x1时，求证：f(x)3(x1)【解析】(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1，因为函数f(x)在xe2处取得极小值，所以f(e2)0，即aln e210，所以a1，所以f(x)ln x2.当f(x)0时，xe2；当f(x)0时，0x0)g(x)ln x1，由g(x)0，得xe.由g(x)0，得xe；由g(x)0，得0x0.于是在(1，)上，都有g(x)g(e)0，所以f(x)3(x1)11. 已知f(x)xln x.(1)求函数f(x)的极值；(2)证明：对一切x

37、(0，)，都有ln x成立【解析】(1)解由f(x)xln x，x0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x时，f(x)取得极小值，f(x)极小值f，无极大值(2)证明问题等价于证明xln x(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x)，由m(x)1时，m(x)单调递减；由m(x)0得0x成立12. 已知函数f(x)ln xax(aR)(1)讨论函数f(x)在(0，)上的单调性；(2)证明：exe2ln x0恒成立【解析】(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a，当a0

38、时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，令f(x)0，得x，x时，f(x)0；x时，f(x)0，即证ex2ln x，令(x)exx1，(x)ex1.令(x)0，得x0，当x(，0)时，(x)0，(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，(x)min(0)0，即exx10，即exx1，当且仅当x0时取“”同理可证ln xx1，当且仅当x1时取“”由exx1(当且仅当x0时取“”)，可得ex2x1(当且仅当x2时取“”)，又x1ln x，当且仅当x1时取“”，ex2x1ln x且两等号不能同时成立，故ex2ln x即证原不等式成立13. 已知函数f(x)ln x.(1)若a

39、1，求f(x)的单调区间；(2)若a0，x(0，1)，证明：x2.【解析】(1)解当a1时，f(x)ln x，x(0，)，f(x).当x(0，1)时，f(x)0，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，).(2)证明当a0，x(0，1)时，x2等价于x20，ln x，只需要证ln xx20，则函数g(x)在(0，1)上单调递增，于是g(x)ln 1110，当x(0，1)时，x20恒成立【解析】(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，令f(x)0，得x，x时，f(x)0；x时，f(x)0，即证ex2ln x，令

40、(x)exx1，(x)ex1.令(x)0，得x0，x(，0)时，(x)0，(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，(x)min(0)0，即exx10，即exx1，当且仅当x0时取“”同理可证ln xx1，当且仅当x1时取“”由exx1(当且仅当x0时取“”)，可得ex2x1(当且仅当x2时取“”)，又ln xx1，即x1ln x，当且仅当x1时取“”，所以ex2x1ln x且两等号不能同时成立，故ex2ln x即证原不等式成立方法二令(x)exe2ln x，(x)的定义域为(0，)，(x)ex，令h(x)ex，h(x)ex0，(x)在(0，)上单调递增又(1)ee20，故x0(1,2)，使(x0)0，即ex00，即ex0，当x(0，x0)时，(x)0，(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，(x)min(x0)ex0e2ln x0e2ln x0e2lne2ex0e2(2x0)e2e20，故(x)0，即exe2ln x0，即证原不等式成立