21.5 实际问题与一元二次方程【十大题型】（人教版）（教师版）.docx

1、专题21.5 实际问题与一元二次方程【十大题型】【人教版】【题型1 传播问题】1【题型2 增长率问题】4【题型3 营销问题】7【题型4 工程问题】11【题型5 行程问题】14【题型6 图表信息题】19【题型7 数字问题】22【题型8 与图形有关的问题】24【题型9 动态几何问题】28【题型10 其他问题】36【题型1 传播问题】【例1】（2023春福建泉州九年级校联考期中）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。(1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人

2、会传染了几个人?(2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价【答案】(1)11人(2)11元【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出40-10y-12千克，根据总利润=每斤的利润销售数量，列

3、出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：1+x+x1+x=144，即1+x2=144解得：x1=11，x2=-13（不合题意，舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了11人（2）解：设玲玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出40-10y-12千克，依题意得：y-840-10y-12=150，整理，得：y2-24y+143=0，解得：y1=11，y2=13最大限度的帮爷爷增加销量，小玲应该将售价定位11元，答：小玲应该将售价定为11元【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键【变式1-1】（20

4、23春辽宁沈阳九年级统考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（）A11B12C22D33【答案】B【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他x-1人握手，共握手次数为12xx-1，根据一共握了66次手列出方程求解【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，12xx-1=66，整理，得x2-x-132=0，解得x1=12，x2=-11，(舍去)则参加这次会议的有12人故选：B【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为12xx-1【变式1-2】（2023春黑龙江七台河九年级统考期末

5、）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出 个小分支【答案】10【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得，1+x+xx=111即x2+x-110=0，x-10x+11=0解得：x1=10,x2=-11（舍去）故答案为：10【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键【变式1-3】（2023春广东江门九年级台山市新宁中学校考期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要

6、打一场比赛(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？(2)写出比赛的总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式；(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？【答案】(1)6；(2)y=12xx-1(3)8【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：1244-1场；（2）直接根据题意列出函数关系式即可；（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：1244-1=6场；（2）总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式：y=12xx-1；（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，根

7、据题意得：12xx-1=28，解得：x1=8，x2=-7（舍去），这次比赛共有8个队参加【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键【题型2 增长率问题】【例2】（2023春重庆九龙坡九年级统考期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，

8、进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值.【答案】(1)20%(2)16【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价(1-每次降价的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）分别求出国庆节的总利润和国庆节后的总利润，根据国庆节后的总利润比国庆节的总利润多1200元列出方程，求出a%的值即可【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x，依题意得：151-x2=9.6，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）答：商城每次降价的百分率为20%（2）根据题意得，5001

9、+3a%1580%-81+a%-5009.6-8=1200整理得，2000a%-12000a%2=0解得，a%=16，或a%=0（舍去）故a%的值为16【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键【变式2-1】（2023春黑龙江大庆九年级校考期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为400万元，2022年数字阅读市场规模为576万元.(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模

10、是多少万元?【答案】(1)20%(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x，利用2022年该市数字阅读市场规模=2020年该市数字阅读市场规模1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）利用2023年该市数字阅读市场规模=2022年该市数字阅读市场规模1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率，可预计出2023年该市数字阅读市场规模【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平

11、均增长率为x根据题意得：4001+x2=576解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符合题意，舍去）答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%（2）5761+20%=691.2（万元）预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算【变式2-2】（2023春河北承德九年级承德市第四中学校考期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是

12、多少？(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由【答案】(1)10%(2)不会，理由见解析【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为50001-x，5月份的房价为50001-x2，然后根据5月份的4050元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和3000元/m2进行比较即可作出判断【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x，5000(1-x)2=4050(1-x)2=405050001-x=910 x1=110=10%，x2=191

13、0（舍）答：4、5两月平均每月降价的百分率是10%（2）否，理由如下：40501-1102=3280.5（元）3280.53000，预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m2【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键【变式2-3】（2023春山西太原九年级期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台(1)求该商店11，12两个月的月均增长率；(2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均

14、每天能多售出4台该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价【答案】(1)20%(2)2750元【分析】（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出501+x台，12月份售出501+x2台，根据该商店去年第四季度累计售出182台，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为y-2500元，平均每天可售出(8+42900-y50)台，利用总利润=每台的销售利润平均每天的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论【详解】（1）解：设该商店11，12两个月的月均增长率为x，

15、则该商店去年11月份售出501+x台，12月份售出501+x2台，根据题意得：50+501+x+501+x2=182，整理得：25x2+75x-16=0，解得：x1=0.2=20%，x2=-3.2（不符合题意，舍去）答：该商店11，12两个月的月均增长率为20%；（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为y-2500元，平均每天可售出(8+42900-y50)台，根据题意得：(y-2500)(8+42900-y50)=5000，整理得：y2-5500y+7562500=0，解得：y1=y2=2750答：每台冰箱的售价为2750元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出

16、一元二次方程是解题的关键【题型3 营销问题】【例3】（2023春湖南长沙九年级校联考期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件（注：利润=销售价-进货价）(1)水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；(2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元应如何设计进货方案，才能获得

17、最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售如果按照原价销售，平均每天可售4件经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？【答案】(1)A中苹果购进10件，B中苹果购进20件(2)购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元(3)将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，列方程组求解即可（2）设购进A种苹果m件，利润为w元，列出w

18、关于m的函数关系式讨论最值即可（3）设B种苹果降价a元销售，根据利润=90元，列出一元二次方程求出a，得到结果【详解】（1）解：设A，B两种苹果分别购进x件和y件，由题意得：x+y=3028x+22y=720，解得x=10y=20，答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件（2）解：设购进A种苹果m件，则购进B种苹果80-m件，由题意得：28m+2280-m2000，m40，设利润为w元，则w=42-28m+34-2280-m=2m+960，20，w随m的增大额增大，当m=40时，w最大值=240+960=1040故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元（3）解：设

19、B种苹果降价a元销售，则每天多销售2a件，每天每件利润为12-a元，由题意得：4+2a12-a=90，解得，a=3或a=7，为了尽快减少库存，a=7， 34-7=27，答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键【变式3-1】（2023春广东江门九年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆(1)当售价为1

20、3.5万元/辆时，求平均每周的销售利润(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？【答案】(1)平均每周的销售利润是49万元(2)每辆汽车的售价定为12万元更合适【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为13.5万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润=一辆汽车的利润销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利销售的辆数=40万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价【详解】（1）解：当售价为13.5万元/辆时，平均每周销量为

21、：8+15-13.50.52=14（辆)，平均每周利润为：13.5-1014=49（万元），答：平均每周的销售利润是49万元；（2）解：设每辆汽车的售价是x万元，x-108+15-x0.52=40化简，得x-1017-x=10，x2-27x+180=0，解得：x1=12，x2=15，由于希望增大销量，定价12万元售价更合适，答：每辆汽车的售价定为12万元更合适【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意找准数量关系与等量关系是解题的关键【变式3-2】（2023春四川乐山九年级统考期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销

22、，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：a1+x2=b，列式计算即可；（2）利用总利润=单件利润销售数量，列方程求解即可【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：2561+x2=400，解得：x=0.25或x=-2.25（舍）；四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；（2）

23、解：设降价y元，由题意得：40-y-25400+5y=4250，整理得：y2+65y-350=0，解得：y=5或y=-70（舍）；当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键【变式3-3】（2023春重庆沙坪坝九年级重庆南开中学校考开学考试）正月十五是中华民族传统的节日元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）(

24、1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【答案】(1)总共生产了9000袋手工汤圆(2)促销时每袋应降价3元【分析】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套

25、做等量关系列出方程即可；（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可【详解】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，依题意得，0.3a450+0.5a300=21解得a=9000，经检验a=9000是原方程的解，答：总共生产了9000袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价x元，当刚好10天全部卖完时，依题意得，225225-13+825-13-x225+752x=40500整理得：x2-6x+45=0=62-44530，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可.【详解】设有x人参加这次旅游30800=2400030依题意得：x800-x-30110=28000解得：x

26、1=40，x2=70当x1=40时，800-x-30110=700500，符合题意.当x2=70时，800=x-30110=400500，不符合题意答：参加旅游的人数40人.【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程.【变式6-2】（2023春江苏苏州九年级统考期中）某旅行社一则旅游消息如下：旅游人数收费标准不超过10人人均收费2400元超过10人每增加一人，人均收费减少60元，但人均收费不低于1500元(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社12000元和24000元，甲公司员工有_人(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社36000元，乙公司

27、员工多少人？【答案】(1)15；(2)乙公司20人【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案；（2）设乙公司员工x人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收费减少60元，列出方程，求出x的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数【详解】（1）解：设甲公司有x人，120002400+240002400，=10+5，=15（人）故答案为：15（2）设乙公司x人，2400-60x-10x=36000，x1=20，x2=30，若x=30，每人费用：24

28、00-6020=12001500，符合，答：乙公司20人【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键【变式6-3】（2023春九年级课时练习）海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收291元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?里程x（km）0x33x6x6单价y（元）N22N25N【答案】见解析【分析】里程11公里，应收29.1元，即：起步价+3公里到6公里这段的收费+大于6公里部分的价格=29.1元，据此相等关系即可列方程求解【详解】由题意，可列出方程N+(6-3)22N

29、+(11-6)25N=29.1解之，N229.1N+191=0N1=10，N2=19.1（不合题意舍去）起步价是10元【点睛】本题主要考查了列方程解决实际问题，正确理解收费标准是解决本题的关键【题型7 数字问题】【例7】（2023春山西太原九年级统考期中）直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”由此发现三个连续正整数3，4，5，满足32+42=52，即前两个数的平方和等于第三个数的平方请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由【答案】存在五个连续正整数，它们

30、分别为：10、11、12、13、14【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为a，则连续的其他四个数为：a+1、a+2、a+3、a+4，再根据题意，得出a2+a+12+a+22=a+32+a+42，解出然后再根据题意，得出符合题意的a的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为a，则连续的其他四个数为：a+1、a+2、a+3、a+4，可得：a2+a+12+a+22=a+32+a+42，解得：a=10或a=-2，这五个数为正整数，a=10，a+1=11，a+2=12，a+3=13，a+4=14，这五个正整数为：10、

31、11、12、13、14，存在五个连续正整数，它们分别为：10、11、12、13、14【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在设出这五个正整数，再找到等量关系准确列出方程【变式7-1】（2023春广东梅州九年级校考开学考试）一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数.【答案】24或15【详解】试题分析：首先设个位数字为x，则十位数字为（6-x），由题意得等量关系：两个数字的积=这个两位数的13，根据等量关系列出方程，再解即可试题解析：设个位上的数为x，则十位数字为(6-x)，由题意得：x(6-1)=1310(6-x)+x

32、，解得：x1=4，x2=5，十位数字为：6-4=2，或6-5=1这个两位数是：15或24【变式7-2】（2023春辽宁沈阳九年级统考期末）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由【答案】最小的数是5，理由见解析【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，由题意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3由表格知

33、不符合实际舍去；由题意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键【变式7-3】（2023春福建南平九年级统考期中）解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄【答案】周瑜去世时的年龄为36岁【分析】设周瑜去世时的年龄

34、的个位数字为x，则十位数字为x-3根据题意建立方程10(x-3)+x=x2求出其值即可【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，依题意得：10(x-3)+x=x2，解得x1=5，x2=6，当x=5时，2530（符合题意），答：周瑜去世时的年龄为36岁【点睛】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键【题型8 与图形有关的问题】【例8】（2023春广东韶关九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，

35、为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？【答案】鸡舍的边长AB、BC分别是9米，10米【分析】设AB的长度为x米，则CD的长度为x-1米，BC的长度为28-2x米，根据矩形的面积公式列方程求解，即可得到答案【详解】解：设AB的长度为x米，则CD的长度为x-1米，BC的长度为27-x-x-1=28-2x米，根据题意得：x28-2x=90，解得：x1=5，x2=9，当x=5时，28-2x=1812，不合题意，舍去；当x=9时，28-2x=10，即AB=9，BC=10，答：鸡舍的边长AB、BC分别是9米，10米【点睛】本题考查了一元二次

36、方程的实际应用，矩形的面积公式，一元二次方程的解法，根据题目的等量关系正确列方程是解题关键【变式8-1】（2023春重庆大渡口九年级校考期末）（1）如图1，在一块长为40m，宽为30m的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是1064m2，道路的宽度是多少？（2）后来要在这块长为40m，宽为30m的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？【答案】（1）2m（2）5m【分析】（1）利用平移的性质得到等式30-x4

37、0-x=1064，求解即可；（2）设道路的宽度为ym，根据草坪的面积是地面面积的二分之一列得方程解答【详解】解：（1）设道路的宽度是xm，则30-x40-x=1064，解得x1=2,x2=68（舍去），答：道路的宽度为2m；（2）设道路的宽度为ym，则40-2y30-2y=124030解得y1=5,y2=30（不合题意，舍去），答：道路的宽度为5m【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键【变式8-2】（2023春广东惠州九年级校考开学考试）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，宽度都是1m，设与墙垂直的一

38、边长为xm(1)当a=41时，矩形菜园面积是320m2，求x；(2)当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？【答案】(1)x的值为8或20(2)矩形菜园的面积不能达到400m2【分析】（1）设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为54-2x+2m，可得：x54-2x+2=320，再解方程并检验即可；（2）先建立方程x54-2x+2=400，再计算=-282-41200=-160，从而可得答案【详解】（1）解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为54-2x+2m依题意得：x54-2x+2=320，整理得：x2-28x+160=0，解得：x1=8，x2=20当x=8时，5

39、6-2x=4041；当x=20时，56-2x=1641答：x的值为8或20（2）令x54-2x+2=400，整理得：x2-28x+200=0=-282-41200=-160，方程无实数根，矩形菜园的面积不能达到400m2【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，建立方程是解本题的关键【变式8-3】（2023山西吕梁九年级统考期中）图1所示是某广场地面示意图，该地面是由图2所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的同学测量图2所示地砖，得到AB=100cm，AE=AH=CF=CG，且AEBE于是他们抽象出如下两个数学问题：问题（1）：若中间区域EFGH的边EF

40、=2EH，求AE的长度；问题（2）：若中间区域EFGH的面积为4800cm2，求AE的长度请你帮助他们解决上面的两个问题【答案】（1）AE的长度是1003cm；（2）AE的长度为40cm【分析】（1）先根据边形EFGH是正方形，AE=AH=CF=CG，得到AEH 、HDG 、EBF 、FCG 为等腰直角三角形，进而推出四边形EFGH是矩形，再通过设AE=xcm，由勾股定理得出EH、EF得长度，最后以EF=2EH为等量关系列出一元一次方程，解出即可.（2）设AE的长为tcm，由勾股定理得出EH=2tcm，EF=2（100-t）cm，然后以中间区域EFGH的面积为4800cm2为等量关系列一元二次

41、方程解答即可.【详解】（1）四边形EFGH是正方形，AE=AH=CF=CG，A=B=C=D=90，BE=BF=DG=DH.AEH=AHE=BEF=BFE=45，HEF=90.同理EFG=FGH=90.四边形EFGH是矩形.设AE=xcm，则BE=（100-x）cm. 根据勾股定理可得EH=2xcm，EF=2（100-x）cm.2（100-x）=22x.解得x=1003.答:AE的长度是1003cm.（2）设AE的长为tcm，由（1）可知，EH=2tcm，EF=2（100-t）cm.根据题意可得2（100-t）2t=4800. 整理，得t-100t+2400=0.解得t1=40，t2=60.当t

42、=40时，100-t=60.当t-60时，100-t=40（不会题意，舍去）.t=40. 答：AE的长度为40cm.【点睛】本题考查几何图形与方程的综合应用问题，通过几何证明与勾股定理寻找边之间的关系，再由等量关系列出正确的方程是本题的关键.【题型9 动态几何问题】【例9】（2023春辽宁朝阳九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？(2)若点P沿着ABBCCD移动，点Q从点C移动到

43、点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间PBQ的面积为12cm2？【答案】(1)85s或245s；(2)4秒或6秒【分析】（1）过点P作PECD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出PBQ的底和高，代入面积公式即可求得；【详解】（1）解：过点P作PECD于E，设x秒后，点P和点Q的距离是10cm16-2x-3x2+62=102， x1=85， x2=245；经过85s或245s，P、Q两点之间的距离是10cm；（2）解：连接BQ设经过ys后PBQ的面积为12cm2当0y163时，PB=16-3y，12PBBC=12，即1216

44、-3y6=12，解得y=4；当163y223时，BP=3y-16，QC=2y，则12BPCQ=123y-162y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；223y8时，QP=CQ-PC=22-y，则12QPCB=1222-y6=12，解得y=18（舍去）综上所述，经过4秒或6秒，PBQ的面积为12cm2【点睛】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键【变式9-1】（2023春广东清远九年级统考期中）如图，在ABC中，B=90，AB=11cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒

45、2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒(1)当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离(2)是否存在t，使得BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由(3)是否存在t，使得BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由【答案】(1)PQ=226cm；(2)t=5或t=9；(3)t=1或t=6【分析】（1）求出PB=10cm，BQ=2cm，再利用勾股定理即可求出PQ=PB2+BQ2=102+22=226cm；（2）因为B=90，所以当BPQ是等腰三角形时，只有BP=BQ，表示出BP=11

46、-tcm，当0t4时，BQ=2tcm；当4t8时，BQ=16-2tcm；当8t11时，BQ=2t-16cm；利用BP=BQ，即可求出t的值；（3）由（2）可知：BP=11-tcm，当0t4时，BQ=2tcm；当4t8时，BQ=16-2tcm；当8t11时，BQ=2t-16cm；利用SBPQ=12BPBQ=10，解关于t的方程即可【详解】（1）解：当t=1时，由题意可知：AP=1cm，BQ=2cm，AB=11cm，PB=10cm，B=90，PQ=PB2+BQ2=102+22=226cm；（2）解：B=90，BPQ是等腰三角形时，只有BP=BQ，由题意可知：BP=11-tcm，Q从点B出发以每秒2

47、cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，当0t4时，BQ=2tcm；当4t8时，BQ=16-2tcm；当8t11时，BQ=2t-16cm；BP=BQ11-t=2t，解得：t=1134，故不符合题意；11-t=16-2t，解得：t=5，符合题意；11-t=2t-16，解得：t=9，符合题意；综上所述：t=5或t=9；（3）解：假设存在t使得BPQ的面积等于10cm2，由（2）可知：BP=11-tcm，当0t4时，BQ=2tcm；当4t8时，BQ=16-2tcm；当8t11时，BQ=2t-16cm；当0t4时，1211-t2t=10；解得：t=1或

48、t=10（舍去）当4t8时，1211-t16-2t=10，解得：t=6或t=13（舍去）；当8t11时，1211-t2t-16=10，因为0，故无解，综上所述，当t=1或t=6时BPQ的面积等于10cm2【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的几何应用，解题的关键是理解题意，结合图形表示出BQ的值【变式9-2】（2023春广东惠州九年级惠州一中校考开学考试）如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动

49、，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0t8）(1)当t1时，试求PE的长；(2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长；(3)在整个运动过程中，当PEQF为菱形时，求t的值【答案】(1)PE=5(2)BF=2(3)83或163【分析】（1）作EMAB于M，由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=AD=8，证出EMBC，得出EM是ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EM=12BC=4，当t=1时，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再由勾股定理求出PE即可；（2）由平行四边形的性质得出PF=EQ，PFEQ，当点F恰好落在线段AB上时，得出EQBC，Q为BC的

50、中点，得出EQ是ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EQ=12AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求出BF的长；（3）由菱形的性质得出PE=PQ，分四种情况：当0t2时，作EMAB于M，ENBC于N；当2t4时；当4t6时，作EMAB于M，ENBC于N；当6t8时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可【详解】（1）作EMAB于交AB于点M，如图1所示：四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，AB=BC=CD=AD=8,AM=BM=AB=4，EM是ABC的中位线，EM=12BC=4，当t=1时，AP=1，PM=AM-AP=3，PE=PM2+EM2=32+42=5（2）四边形PEQF是平行

51、四边形，PF=EQ,PFEQ，当点F恰好落在线段AB上时，PFBC，EQBC，Q为BC的中点，EQ是ABC的中位线，BQ=12BC=4，EQ=12AB=4，PF=4，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，t=42=2，AP=2BF=AB-AP=PF=2（3）当PEQF为菱形时，PE=PQ，分四种情况：当0t2时，作EMAB于M，ENBC于N，如图2所示：PE2=PM2+EM2,EQ2=QN2+EN2，(4-t)2+42=(4-2t)2+42，解得：t=0（舍去），或t=83（舍去）；当2t4时，同得：(4-t)2+42=(2t-4)2+42，解得：t=0（舍去），或t=

52、83t=83当4t6时，作EMAB于M，ENBC于N，如图3所示：PE2=PM2+EM2,EQ2=QN2+EN2，(t-4)2+42=(12-2t)2+42，解得：t=163或t=8（舍去），t=163当6t8时，同得：(t-4)2+42=(2t-12)2+42，解得：t=163（舍去）或t=8（舍去）；综上所述：在整个运动过程中，当PEQF为菱形时，t的值为83或163【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，运用勾股定理得出方程才能得出结果【变式9

53、-3】（2023春江苏盐城九年级校考期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形OABC，AOC的平分线交AB于点D点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动设移动时间为t秒(1)当t=_时，点P移动到点D；(2)当OPQ的面积为16时，求此时t的值；(3)当t为何值时，PQB为直角三角形【答案】(1)5(2)4(3)72或41+3294或41-3294【分析】（1）由AOD 是等腰直角三角形，可得OD=52，即可得出t的值；（2）过点P作PHOC于点H，则OP=2t，OQ=2t，PH=t

54、，代入面积公式即可得出122tt=16，解方程即可；（3）根据P(t,t)，Q(2t,0)，B(12,5)，表示出PQ，BQ，BP的长，再分PQB=90或PBQ=90或QPB=90，分别列出方程【详解】（1）OD平分AOC，AOD=DOC=45，A(0,5)，OA=5，AD=OA=5，OD=52+52=52，t=522=5，故答案为：5；（2）过点P作PHOC于点H，OD平分AOB，DOC=45，OH=PH，又OP=2t，OQ=2t，PH=t，SOPQ=12OQPH， 122tt=16，t=4（负值舍去），t=4；（3）如图，连接PQ，BP，BQ，由题意知，P(t,t)，Q(2t,0)，B(1

55、2,5)，PQ2=(2t-t)2+t2=2t2，BQ2=(2t-12)2+52=4t2-48t+169，PB2=(t-12)2+(t-5)2=2t2-34t+169，若PQB=90，则2t2+4t2-48t+169=2t2-34t+169，t1=72，t2=0（舍去），若PBQ=90，则4t2-48t+169+2t2-34t+169=2t2，t=413294，若QPB=90，则2t2+2t2-34t+169=4t2-48t+169，t=0（舍)，综上所述，t的值为：72或41+3294或41-3294【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，直角

56、三角形的性质等知识，将动点问题转化为线段的长是解题的关键【题型10 其他问题】【例10】（2023春山东青岛九年级统考期中）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油量的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同

57、时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28千克；（2）75千克，84%【详解】试题分析：（1）根据题意，实际耗油量用油量（1重复利用率），代入数据计算即可；（2）本小题关键信息为“在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%”，故若用油量设为x千克，则耗油率为1-(90-x)1.6%-60%，相乘即得实际耗油量，解出x后即可求得重

58、复利用率.试题解析：（1）70(1-60%)=28（千克） 答：加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.（2）设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是x千克，由题意得x1-(90-x)1.6%-60%=12 化为x2-65x-750=0 解得x1=75，x2=-10（舍）（90-75)1.6%+60%=84%答:乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%.考点：1.应用题的读题能力；2.一元二次方程的应用.【变式10-1】（2023春江苏镇江九年级统考期末）如图所示，某会堂的座位分为前、后两区，前区第 1排共有20个座位，往后每排共

59、增加2个座位，前区最后1排与后区各排的座位数相同，后区比前区多8排(1)假设前区有x排，则后区每排的座位数可表示为 个；(2)若后排的座位数和为684个，问此会堂前后区共有多少排座位？【答案】(1)2x+18(2)28排【分析】根据“往后每排共增加2个座位”列出代数式，即可求解；（2）根据题意，列出方程，即可求解【详解】（1）解：根据题意得：后区每排的座位数为20+2x-1=2x+18；故答案为：2x+18（2）解：根据题意得2x+18x+8=684，解得x=10,x=-27(舍去）共有座位的排数为10+18=28，答：此会堂前后区共有28排座位【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题

60、意，准确列出方程是解题的关键【变式10-2】（2023春重庆万州九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）万州二中为了全面实施素质教育，切实提高人才培养水平，促进义务教育均衡发展，大力开展“初中综合社会实践活动”.今年上半年，初2020级的学生们都到“小周社会实践基地”参加了为期一周的综合社会实践活动，其中最让学生们感到刺激的活动就是“水上鹊桥”与“室内攀岩”.为了让学生们玩得尽兴，教官们准备组织这两项活动的比赛，已知报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的人数共80人，其中报名参加“室内攀岩”的人数比报名参加“水上鹊桥”人数的一半还少10人.(1)报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生各多少人？(

61、2)比赛开始前，参加“水上鹊桥”的人数在报名人数基础上增加了10m人，人均过桥时间比原计划的每人2分钟少m5分钟；参加“室内攀岩”的人数在报名人数基础上减少了m人，人均攀岩时间比原计划的每人3分钟多1分钟.则两项活动完成的总时间比原计划增加20分钟，求m的值.【答案】(1)“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生分别为60人、20人(2)2【分析】（1）设报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生各是x、y人，根据等量关系式：“水上鹊桥”+“室内攀岩”的人数=80人，其中报名参加“室内攀岩”的人数比报名参加“水上鹊桥”人数的一半还少10人，列出方程组，解方程组即可；（2）根据题意列出关于m的一元二次方程

62、，解方程即可得出答案【详解】（1）解：设报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生各是x、y人，由已知得：x+y=80y=12x-10，解得：x=60y=20答：报名参加“水上鹊桥”与“室内攀岩”的学生各是60人、20人（2）解：由已知得：60+10m2-m5+420-m=602+203+20，化简得：m2-2m=0，解得m=2或m=0（舍），答：m的值为2【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程，解方程即可【变式10-3】（2023春福建三明九年级统考期末）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡全体贫困中学生进行资助，每学期资助初中生1200元

63、/人，高中生1800元/人已知该乡受资助的初中生人数是受资助的高中生人数的2倍，且该企业在2019-2020学年上学期共资助这些学生105000元（1）该乡分别有多少名初中生和高中生获得了资助？（2）2019-2020学年上学期结束时，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生为了激励学生，该企业宣布将给下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生每人分别增加a%，2a%的资助在该措施的激励下，下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生人数分别比上学期增加了3a%，a%这样，下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生所获得资助的总金额达64800元，求a的值【答案】（1）分别有50名初

64、中学生和25名高中学生获得了资助；（2）20【分析】（1）设该乡有x名高中生获得了资助，有2x名初中生获得了资助，由题意列方程12002x+1800x=105000求解即可；（2）根据题意列得5030%(1+3a%)1200(1+a%)+2540% (1+a%)1800(1+2a%)=64800解方程即可【详解】解：（1）设该乡有x名高中生获得了资助，有2x名初中生获得了资助，由题意得12002x+1800x=105000解得：x=252x=50该乡分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助（2）由题意，得5030%(1+3a%)1200(1+a%)+2540% (1+a%)1800(1+2a%)=64800，18000(1+3a%)(1+a%)+18000 (1+a%)(1+2a%)=64800，(1+a%)(1+3a%)+(1+2a%)=3.6，(1+a%)(2+5a%)=3.6，(100+a)(200+5a)=36000，a2+140a-3200=0，解得a1=20，或a2=-160（舍去）a=20【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键