21.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）（举一反三）（沪科版）（教师版）.docx

1、专题21.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【沪科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！一选择题（共10小题）1（2022市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记P|x|+|y|若抛物线yax2+bx+1与直线yx只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2C4，令t2b24a+2020，则t的取值范围为（）A2017t2018B2018t2019C2019t2020D2020t2021【分析】联立方程组求得C点坐标，并

2、由只有一个交点条件求得a、b的关系式，再由新定义和2C4列出b的不等式，求得b的取值范围，由t2b24a+2020，得出t关于b的函数解析式，再根据函数的性质求得t的取值范围【解答】解：由题意方程组y=xy=ax2+bx+1只有一组实数解，消去y得ax2+（b1）x+10，由题意得0，（b1）24a0，4a（b1）2，即a=14(b-1)2，方程ax2+（b1）x+10可以化为14(b-1)2x2+(b-1)x+1=0，即（b1）2x2+4（b1）x+40，x1x2=21-b，C（21-b，21-b），点C在第一象限，1b0，2C4，2|21-b|+|21-b|4，121-b2，解得：1b0，

3、t2b24a+2020，t2b2（b1）2+2020b2+2b+2019（b+1）2+2018，1b0，t随b的增大而增大，b1时，t2018，t0时，t2019，2018t2019故选：B2（2022市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x0时，它们对应的函数值相等；当x0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：正比例函数yx，它的相关函数为y=x(x0)-x(x0)已知点M，N的坐标分别为(-12，1)，(92，1)，连结MN，若线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A3n1或1n54B3n

4、1或1n54C3n1或1n54D3n1或1n54【分析】首先确定出二次函数yx2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，二次函数yx2+4x+n的对称轴为x=-42(-1)=2，当x2时，y1，即4+8+n1，解得n3，如图2所示：线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点抛物线yx24xn与y轴交点纵坐标为1，n1，解得：n1；当3n1时，线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，如图3所

5、示：线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点抛物线yx2+4x+n经过点（0，1），n1，如图4所示：线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点抛物线yx24xn经过点M（-12，1），14+2n1，解得：n=54，1n54时，线段MN与二次函数yx2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点综上所述，n的取值范围是3n1或1n54，故选：C3（2022青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点若二次函数yx2x+c（c为常数）在2x4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A2c14B4c94C4c14D10c9

6、4【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y2x上，由2x4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y2x，将x2代入y2x得y4，将x4代入y2x得y8，设A（2，4），B（4，8），如图，联立方程x2x+c2x，当0时，抛物线与直线y2x有两个交点，即94c0，解得c94，此时，直线x2和直线x4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x2代入yx2x+c得y6+c，把x4代入yx2x+c得y12+c，6+c-412+c8，解得c4，4c94满足题意故选：B4（2022秋汉阳区期中）我们定义：

7、若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”若关于x的二次函数yax2+tx2t对于任意的常数t恒有两个“好点”，则a的取值范围为（）A0a1B0a12C13a12D12a1【分析】“好点”A的横纵坐标相等，即：xyax2+tx2t（a0），（t1）2+8at0，整理得：t2（28a）t+10，（28a）240，即可求解【解答】解：“好点”A的横纵坐标相等，即：xyax2+tx2t（a0），b24ac（t1）2+8at0，整理得：t2（28a）t+10，10，故当0时，抛物线开口向上，且与x轴没有交点，故上式成立，（28a）240，解得：0a12，故选：B5

8、（2022秋和平区校级月考）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a2-ab(ab)b2-ab(ab)，例如：4*2，因为42，所以4*242428若函数y（2x）*（x+1），则下列结论：方程（2x）*（x+1）0的解为1和1；关于x的方程（2x）*（x+1）m有三个解，则0m1；当x1时，y随x的增大而增大；直线ykxk与函数y（2x）*（x+1）图象只有一个交点，则k2；当x1时，函数y（2x）*（x+1）的最大值为1其中正确结论的序号有（）ABCD【分析】根据题意，2xx+1时，（2x）*（x+1）2x22x，2xx+1时，（2x）*（x+1）x2+1，分别求解即可；由可知，画出函数

9、图象，数形结合即可求解；x1时，y0，结合图象可知，当x1时，y随x的增大而增大；先求出函数与ykxk有一个交点时k的取值，再结合函数图象可知，当k2时，直线ykxk与函数y（2x）*（x+1）图象只有一个交点；当x0时，函数有最大值1，由此可得正确【解答】解：由题意得：当2xx+1，即x1，（2x）*（x+1）（2x）22x（x+1）4x22x22x2x22x，2x22x0的解为x0或x1，x1；当2xx+1，即x1，（2x）*（x+1）（x+1）22x（x+1）x2+1+2x2x22xx2+1x2+10，x1或x1，x1，故正确；由可知，x1，（2x）*（x+1）2x22x，x1，（2x）

10、*（x+1）x2+1，如图，0m1时，关于x的方程（2x）*（x+1）m有三个解，故不正确；由函数图象可知，x1时，y0，结合图象可知，当x1时，y随x的增大而增大，故正确；当ykxk经过定点（1，0），kxkx2+1时，（k+2）20，k2，当k2时，直线ykxk与函数y（2x）*（x+1）图象只有一个交点，故不正确；当x1时，函数（2x）*（x+1）x2+1，当x0时，函数有最大值1，当x1时，函数y（2x）*（x+1）的最大值为1故正确；故选：D6（2022莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）

11、的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线yax2+bx+1与直线yx只有一个交点M，已知点M在第一象限，且2|M|4，令t2b24a+2022，则t的取值范围为（）A2018t2019B2019t2020C2020t2021D2021t2022【分析】根据二次函数图象性质直接判断【解答】解：抛物线yax2+bx+1与直线yx只有一个交点M，方程组y=xy=ax2+bx+1只有一组解消去y得：ax2+（b1）x+10，（b1）24a0，a=14（b1）2，ax2+（b1）x+10可化为：14（b1）2x2+（b1

12、）x+10，（b1）x+220，x1x2=21-bM（21-b，21-b），M在第一象限，1b0，b12|M|4，1|21-b2，121-b21b0，|t2b24a+20222b2（b1）2+2022（b+1）2+2020，1b0，抛物线开口向下，对称轴是b1，t随b的增大而增大，2020t2021故选：C7（2022岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P（m，n），给出如下新定义，若n=|n|(当m0时)n-2(当m0时)，则称点P（m，n）是点P（m，n）的限变点，例如：点P1（1，4）的限变点是P1（1，2），点P2（2，1）的限变点是P2（2，1），若点P（m，n）在二

13、次函数yx2+4x+1的图象上，则当1m3时，其限变点P的纵坐标n的取值范围是（）A1n3B1n4C1n3D1n4【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据函数新定义分类讨论m0和m0时n的取值范围【解答】解：抛物线yx2+4x+1，抛物线对称轴为直线x2，开口向下，x2时，y随x增大而增大，x2时，y随x增大而减小，点P（m，n）在二次函数yx2+4x+1的图象上，nm2+4m+1，1m0时，n|m2+4m+1|，将m1代入nm2+4m+1得n4，m1时，n4，将m0代入nm2+4m+1得n1，401，1m0时，0n4，当m0时，nn2m2+4m1，将m0代入nm2+4m1得n1

14、，将m2代入nm2+4m1得n3，当m0时，1n3，综上所述，1n4，故选：D8（2022自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”如图，直线l：y=13x+b经过点M（0，14），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），An+1（xn+1，0）（n为正整数）若x1d（0d1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A512或712B512或1112C712

15、或1112D712【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半又0d1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1【解答】解：直线l：y=13x+b经过点M（0，14），则b=14；直线l：y=13x+14由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；该等腰三角形的高等于斜边的一半0d1，该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；当x1时，y1=131+14=7121，当x2时

16、，y2=132+14=11121，当x3时，y3=133+14=541，美丽抛物线的顶点只有B1、B2若B1为顶点，由B1（1，712），则d1-712=512；若B2为顶点，由B2（2，1112），则d1（2-1112）1=1112，综上所述，d的值为512或1112时，存在美丽抛物线故选：B9（2022秋诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y（xm）2m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值之差为（）A5B7+172C4D7-172【分析】画出图象，从图象可以看出，当

17、函数图象从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y（xm）2m的顶点（m，m）在直线yx上运动，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），B（2，2），从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的

18、值，即可求出m的最大值及最小值当互异二次函数y（xm）2m经过点A（0，2）时，m2或m1；当互异二次函数y（xm）2m经过点B（2，2）时，m=5-172或m=5+172互异二次函数y（xm）2m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是5+172，1最大值和最小值之差为5+172-（1）=7+172，故选：B10（2022秋亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形已知点P是抛物线yx2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（）A16B4C

19、12D18【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可【解答】解：点P（m，n）是抛物线yx2+k上的点，nm2+k，knm2，点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，2|m|+2|n|mn|16，|m|4，|n|4，当n0时，knm241612；当n0时，knm241620；故选：C二填空题（共10小题）11（2022芦淞区模拟）定义a，b，c为函数yax2+bx+c的特征数，下面给出特征数位2m，1m，1m的函数的一些结论：当m3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；当m1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2；当m1时，函数在x14时，y随x的增

20、大而减小；当m0时，函数图象经过同一个点上述结论中所有正确的结论有（填写所有正确答案的序号）【分析】把m3代入2m，1m，1m，求得a，b，c，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答【解答】解：因为函数yax2+bx+c的特征数为2m，1m，1m；当m3时，y6x2+4x+26（x-13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；当m1时，y2x22，令y0，则有2x220，解得，x11，x21，|x2x1|2，所以当m1时，函数图

21、象截x轴所得的线段长度等于2，此结论正确；当m1时，y2x2+2x，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是直线x=-b2a=-22(-2)=12，在对称轴的右边y随x的增大而减小，1412，右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；当x1时，y2mx2+（1m）x+（1m）2m+（1m）+（1m）0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确根据上面的分析，都是正确的，是错误的故答案为：12（2022秋浦东新区期末）定义：直线与抛物

22、线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”已知直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线y（xm）2+n的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是 2【分析】根据直线yx+3，可以求出该直线与y轴的交点，从而可以得到点B的坐标，再根据点B恰好是抛物线y（xm）2+n的顶点，即可得到m、n的值，然后将抛物线与直线建立平面直角坐标系，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线y的割距【解答】解：（1）yx+3，当x0时，y3，点B的坐标为（0，3），点B恰好是抛物线y（xm）2+n的顶点，m0，n3，抛物线yx2+3，y=-x+3y=-

23、x2+3，解得x=0y=3或x=1y=2，抛物线与直线y的交点为（0，3），（1，2），此时抛物线关于直线y的割距是：(1-0)2+(3-2)2=2，故答案为：213（2022宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m0，对于任意的函数值y，都满足mym，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1将函数yx2+1（2xt，t0）的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足94n52时，则t的取值范围是 12t34或54t32【分析】根据题干定义可得函数最大值94y52或函数最小值-52y-94，由t0

24、可得函数最大值为y1+t可得0t32，进而可得函数最小值为直线x2与抛物线交点纵坐标，进而求解【解答】解：由题干可得函数yx2+1+t在2xt时，函数最大值或最小值为n，94n52，t0，抛物线yx2+1+t开口向下，顶点坐标为（0，1+t），1+t为函数最大值，当1+t=52时，t=32，0t32，当t2时，直线x2与直线xt与抛物线交点关于对称轴对称，0t32时，直线x2与抛物线交点为最低点，把x2代入yx2+1+t得y3+t，当3+t=-52时，t=12，t12，当941+t52时，54t32，当-52-3+t-94时，12t34，12t34或54t32满足题意故答案为：12t34或54

25、t3214（2022秋德清县期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”若抛物线yax22ax+a+3与x轴围成的区域内（不包括抛物线和x轴上的点）恰好有8个“整点”，则a的取值范围是-12a-14【分析】如图所示，a0，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点A、B之间（含点B），即可求解【解答】解：yax22ax+a+3a（x1）2+3，故抛物线的顶点为：（1，3）；如图所示，a0，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点A、B之间（含点B），当抛物线过点A（3，1）时，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a=-12；当抛物线过点（2，2）时，则

26、2a（21）2+3，解得：a1；当抛物线过点（3，2）时，同理可得：a=-14同理当抛物线过点B（4，1）时，a=-29故答案为：-12a-1415（2022秋鄞州区校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：B（3，0）、C（1，3）都是“整点”当抛物线yax24ax+1与其关于x轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，a的取值范围 23a34【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为x2，过点（0，1），对a分情况讨论，分别求解即可【解答】解：由yax24ax+1可得，其图象对称轴为直线x2，且其图象必过点（0，1），当a0时，此

27、时整点有（0，0）（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），.，等等，显然超过9个，a0不符合题意，舍去；当a0时，若过点（1，1）时，则1a4a+1，解得a=23，此时刚好9个整点，若过点（2，2）时，则24a8a+1，解得a=34，此时有10个整点，23a34故答案为：23a3416（2022秋思明区校级期中）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y），给出如下定义：若y=y(x0)-y(x0)，则称点Q为点P的“可控变点”请问：若点P在函数yx2+16（5xa）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y的取值范围是16y16，则实数a的取值范围是7a42【分析】本

28、题先理解定义，依据题意画出函数图象即可求解【解答】解：依题意，yx2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y=-x2+16(x0)x2-16(-5x0)的图象上（如图），当x5时，y25169，当y9时，x27，x0，x=716y16，当y16，代入y=-x2+16(x0)x2-16(-5x0)，得：x42，当y16，代入上式得：x42，若a42，则y取不到16；当a42，则y取值超过范围；故7a4217（2022徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”如果抛物线yax2+bx+c（a0）与抛物线y（x1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合

29、条件的函数解析式：yx22x+4【分析】抛物线y（x1）2+1向上或向下平移2个单位求解【解答】解：将抛物线y（x1）2+1向上平移2个单位可得抛物线y（x1）2+1y（x1）2+3x22x+4，故答案为：yx22x+418（2022二道区校级模拟）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y（xm）2m与正方形OABC有公共点时m的最大值是 5+172【分析】根据抛物线顶点坐标可得抛物线顶点的运动轨迹，从而可得当抛物线经过点B时m取最大值，进而求解【解答】解：y（xm）2m，抛物线顶点坐标为

30、（m，m），抛物线顶点在直线yx上，四边形AOBC为正方形，点B坐标为（2，2），点A（0，2），点C（2，0），如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，将（2，2）代入y（xm）2m得2（2m）2m，解得m=5+172或m=5-172（舍），故答案为：5+17219（2022郫都区模拟）定义：由a，b构造的二次函数yax2+（a+b）x+b叫做一次函数yax+b的“滋生函数”，一次函数yax+b叫做二次函数yax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a0）若一次函数yax+b的“滋生函数”是yax23x+a+1，那么二次函数yax23x+a+1的“本源函数”是 y2x1【分析】根

31、据“滋生函数”的定义可得ax23x+a+1ax2+（a+b）x+b，从而可得关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，进而求解【解答】解：yax+b的“滋生函数”是yax23x+a+1，ax23x+a+1ax2+（a+b）x+b，即a+b=-3b=a+1，解得a=-2b=-1，yax23x+a+1的“本源函数”是y2x1，故答案为：y2x120（2022亭湖区校级开学）定义a，b，cc（acb），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，例如：1，3，22，8，3，66，已知函数yx2+1，x+2，x+3与直线y=13x+b有3个交点时，则b的值为 73或83【分析】画出函数的数yx2+1

32、，x+2，x+3的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可【解答】解：由题意：函数yx2+1，x+2，x+3的图象如图所示（图中实线）由图象可得，当直线y=13x+b经过点A和点B时，函数yx2+1，x+2，x+3与直线y=13x+b有3个交点，令x2+1x+3，解得x1或x2（舍去），A（1，2），令x+3x+2，解得x=-12，B（-12，52），当直线y=13x+b经过点A时，13（1）+b2，解得b=73；当直线y=13x+b经过点B时，13（-12）+b=52，解得b=83故答案为：73或83声三解答题（共10小题）21（2022工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和

33、为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”例如，点（1，1）是函数yx+2的图象的“好点”（1）在函数yx+3，y=3xyx2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是 ；（填序号）（2）设函数y=-4x（x0）与ykx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作ACy轴，垂足为C当ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数yx2+2x的图象在直线ym下方的部分沿直线ym翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值【分析】（1）判断yx与各个函数图像是否有公共点即可；（2）先得出y=-4x的“好点”，从而得出AC的长，在yx上的点B，使得ABAC

34、，从而求得点B坐标，将B点坐标代入ykx+3求得k的值；（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即yx与折叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果【解答】解：（1）yx+3，y+x3，不是“好点”的函数，y=3x，x0，xy30x+y0，不是“好点”的函数，y=x2+2x+1x+y=0，x2+3x+10，324110，方程组有解，是“好点”的函数，故答案为：；（2）y=-4xx+y=0，x0，x=-2y=2，A（2，2），由题意得，当ABC为等腰三角形时，只有ABAC2，yx，B（x，x），（x+2）2+（x2）222，x1=

35、2-2，x2=-2-2，当x=2-2时，y=-2+2，（2-2）k+3=-2+2，k=32-42，当x=-2-2时，y=2+2，（-2-2）k+3=2+2，k=-32-42，k=32-42；（3）设翻折后的抛物线解析式为yx22x+k，yx2+2x的图像上有两个“好点”：（0，0）和（3，0），当yx22x+k上有一个“好点”时，把yx代入得，xx22x+k，化简整理得，x2+xk0，1+4k0，k=-14，yx22x-14，由y=x2+2xy=-x2-2x-14得，2y=-14，y=-18，m=-18当（0，0）在yx22x+k上时，此时x22xx，x0或x1，这时也有三个“好点”：（3，3

36、），（0，0），（11），m=-18或022（2022春荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数yax2+bx+c（a，b，c为常数且a0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x10x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点（1）若a1，b2，c3求此二次函数图象的顶点M的坐标；定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”求证：二次函数yax2+bx+c有两个不同的“好点”（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足PCAPBC，且tanPBC=12，PBC的面积为13，求二次函数的表达式【分析】（1）利用配方法可

37、得顶点M的坐标；根据xy列方程，计算0可得结论；（2）由tanPBC=12，点C的坐标为（0，c），则BO2c，点B坐标为（2c，0），利用一元二次方程根与系数的关系：x1x2=ca，可得x12c=ca，求出x1=12a，标表示出点A坐标为（12a，0），由顶点坐标M（-b2a，4ac-b24a），C（0，c），用待定系数法表示出直线MC的解析式为：y=b2x+c，点P坐标为（-2cb，0），再相似得PC2PAPB，勾股定理得PC2OP2+OC2，列等式利用整体思想先求出b的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出a，c的值，从而写出解析式即可【解答】解：（1）a1，b2，c3，二次函数的

38、解析式为：yx2+2x+3（x1）2+4，顶点M的坐标为（1，4）；（2）当xy时，x2+2x+3x，x2x30，（1）241（3）130，二次函数yx2+2x+3有两个不同的“好点”；（3）tanPBC=12，点C的坐标为（0，c），则BO2c，点B坐标为（2c，0），由一元二次方程根与系数的关系：x1x2=ca可得x12c=ca，x1=12a，点A坐标为（12a，0），顶点坐标M（-b2a，4ac-b24a），C（0，c），设直线MC的函数关系式为：ymx+n，根据题意得：-b2am+n=4ac-b24an=c，解得：m=b2n=c，直线MC的解析式为：y=b2x+c，点P坐标为（-2cb

39、，0），由此可得PA=12a+2cb，PB2c+2cb，PCAPBC，CPABPC，PCAPBC，PCPA=PBPC，PC2PAPB，PC2OP2+OC2（-2cb）2+c2=4c2b2+c2，4c2b2+c2（12a+2cb）（2c+2cb），c2=ca+cab+4c2b，c=1a+1ab+4cb=b+1+4acab，把点B（2c，0）代入二次函数解析式，得：4ac2+2bc+c0，4ac+2b+10，4ac+b+1b，将式代入式得，c=-bab=-1a，将c=-1a代入4ac+2b+10，得，4+2b+10，解得：b=32，P的坐标为（-4c3，0），又SPBC=12PBCO=12（2c+

40、4c3）c=13，5c23=13，解得，c=55（-55舍去），又c=-1a，a=-5，二次函数的表达式为：y=-5x2+32x+5523（2022春海门市期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足ymx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”例如：当m2时，点（2，2）即为函数y3x+4的“2倍点”（1）在点A（2，3），B（2，3），C（3，2）中，点A（2，3）和C（3，2）是函数y=6x的“1倍点”；（2）若函数yx2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；（3）若函数yx+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的

41、所有值【分析】（1）根据函数的“m倍点”的定义可作判断；（2）先确定函数yx2+bx存在唯一的“4倍点”，则m4，满足y4x+4，两函数有唯一一个交点，0，可解答；（3）根据定义可知：“m倍点”的横纵坐标是ymx+m与yx+2m+1的公共解，计算可得其解为x=1y=2m，根据函数yx+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，列不等式可得结论【解答】解：（1）当m1时，mx+m21+13，236，点A（2，3）是函数y=6x的“1倍点”；mx+m21+113，点B（2，3）不是函数y=6x的“1倍点”；mx+m31+12，3（2）6，点C（3，2）是函数y=6x的“1倍

42、点”；综上，点A（2，3）和C（3，2）是函数y=6x的“1倍点”；故答案为：点A（2，3）和C（3，2）；（2）当m4时，y4x+4，函数yx2+bx存在唯一的“4倍点”，4x+4x2+bx，x2+（4b）x+40，（4b）2+4140，b0或8；（3）y=-x+2m+1y=mx+m，x=1y=2m，函数yx+2m+1的“m倍点”为（1，2m），如图所示，直线x1与A交于点B，连接AB，过点B作BCy轴于C，AC=(2m)2-12=4m2-1，10-4m2-12m，m23140，m为正整数，m1或224（2022费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的

43、“等值点”，例如，点（2，2）是函数y2x2的图象的“等值点”（1）分别判断函数y=5x，y=x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）写出函数yx2+2的等值点坐标；（3）若函数yx2+2（xm）的图象记为W1，将其沿直线xm翻折后的图象记为W2当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请写出m的取值范围【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（3）由函数yx2+2的等值点坐标为（2，2），（1，1），再利用翻折的性质分类讨论即可【解答】解：（1）在y=5x中

44、，令yx得x=5x，解得x=5或x=-5，y=5x的图象上存在两个“等值点”：（5，5）或（-5，-5），在yx+2中，令yx得xx+2，得02不成立，函数yx+2的图象上不存在“等值点”；答：函数y=5x的图象上存在两个“等值点”：（5，5）或（-5，-5），函数yx+2的图象上不存在“等值点”；（2）在yx2+2中，令yx得xx2+2，解得x2或x1，函数yx2+2的等值点坐标为（2，2），（1，1）；（3）当m1时，由（2）知，W1，W2两部分组成的图象上总有有2个“等值点”：（2，2），（1，1）在W1上，若W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，则W2上无“等值点“，由W1：

45、yx2+2（xm）沿直线xm翻折后的图象记为W2，可得W2的解析式为y（x2m）2+2（xm），在y（x2m）2+2（xm）中，令yx得：x（x2m）2+2，整理得：x2+（14m）x+4m220，0，（14m）24（4m22）0，解得m98，此时m98；当m1时，W1，W2两部分组成的图象上有3个等值点：（2，2），（1，1），（2，2）；当2m1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”；当m2时，W1，W2两部分组成的图象上只有1个“等值点”：（2，2）；当m2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m98或2

46、m125（2022春武侯区校级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）（1）求抛物线解析式；（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF1，DE2k（k为常数，且k0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的

47、坐标（用k表示）；若k1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由【分析】（1）把点坐标代入解析式，用待定系数法即可求得二次函数解析式；（2）过抛物线上P点作直线EG的平行线，PEG的面积=12EG乘以点P到直线EG的距离，当点P到直线EG距离最短时，PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短，联立一次函数与二次函数求出交点坐标即可；将直线DF解析式设为y2x+m，联立一次函数与二次函数，得到点M和点N的坐标，分

48、别求出MN，MP，NP长，分类讨论解出m即可【解答】解：抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入yax2+bx+c得：a-b+c=025a+5b+c=0c=-5，解得a=1b=-4c=-5抛物线的解析式为：yx24x5（2）过抛物线上P点作直线EG的平行线，PEG的面积=12EG乘以点P到直线EG的距离，当点P到直线EG距离最短时，PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短，这样的P点只有一个，“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化；EF1，D

49、E2k，EG所在直线的解析式可设为：y2kx+m，过点P与直线EG平行的直线解析式为：y2kx+b，令2kx+bx24x5，得x2（4+2k）x（5+b）0，过P点的直线与抛物线只有一个交点，（4+2k）2+4（5+b）0，可得（2+k）2（5+b），x2（4+2k）x+（2+k）20，解得x2+k，y（k+2）24（2+k）5k29，P（k+2，k29）；当k1时，P（3，8），设直线DF的解析式为：y2x+n，令2x+nx24x5，得x22x5n0，解得x=n+6+1或x=-n+6+1，DF所在的直线与抛物线交于点M，N，4+4（5+n）0，即n6，点M在点N的右侧，M（n+6+1，2n+

50、6+n2），N（-n+6+1，2n+6+n2），MN220（n+6），MP2（n+6-2）2+（2n+6-n6）2，NP2（-n+6-2）2+（2n+6+m+6）2，当MPN90时，MP2+NP2MN2，解得n2或n5，直线DF的解析式为：y2x2或y2x5；当PMN90时，MP2+MN2NP2，解得n2或n=-234，直线DF的解析式为：y2x2或y2x-234；当PNM90时，NP2+MN2MP2，无解；综上，直线DF的解析式为：y2x2或y2x5或y2x-23426（2022武侯区模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点

51、（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记S（l，C）PQMN，则称S（l，C）是直线l与抛物线C的“截积”【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为yx+2（1）若抛物线C的函数表达式为y2x21，分别求出点M，N的坐标及S（l，C）的值；（2）在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线l，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线C的顶点P落在直线l上，试探究S（l，C）是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设抛物线C的函数表达式为ya（xh）2+k，若S（l，C）62，MN42，且点P在点Q的下方，求a的值【分析】（1）联立直线

52、l与抛物线C的解析式求解，即可求出M，N的坐标，再求出点Q的坐标，利用新定义求出答案；（2）设平移后的抛物线C的顶点坐标为P（m，m1），求出PQ3，联立整理得，（xm）（2x2m1）0，求出N（m-12，m+32），M（m，m+2），进而求出MN=22，即可求出答案；（3）由抛物线C的函数表达式为ya（xh）2+k的顶点坐标为（h，k），得出PQh+2k，再求出PQ=32，得出h+2k=32，联立整理得，ax2（2ah+1）x+ah2+k20，设N（x1，y1），M（x2，y2），得出x1+x2=2ah+1a，x1x2=ah2+k-2a，进而得出MN22（x1+x2）24x1x2=8a(h-

53、k+2)+2a2=12a+2a2=32，即可求出答案【解答】解：（1）直线l的函数表达式为yx+2，抛物线C的函数表达式为y2x21，联立解得，x=-1y=1或x=32y=72，N（1，1），M（32，72），针对于直线l：yx+2，令x0，则y2，Q（0，2），抛物线C的函数表达式为y2x21，顶点P（0，1），S（l，C）MNPQ=(32+1)2+(72-1)23=1522；（2）S（l，C）是定值，其值为1522；由（1）知，P（0，1），ll，直线l的解析式为yx1，设平移后的抛物线C的顶点坐标为P（m，m1），抛物线C的函数表达式为y2x21，平移后的抛物线C的解析式为y2（xm）2

54、+（m1），Q（m，m+2），PQ3，直线l的函数表达式为yx+2，联立整理得，x（2m+3）2x（m1）0，xm+32或xm1，N（m1，m+1），M（m+32，m+72），MN=(m-1-m-32)2+(m+1-m-72)2=522，S（l，C）PQMN3522=1522，即S（1，C）是定值，其值为1522（3）抛物线C的函数表达式为ya（xh）2+k的顶点坐标为（h，k），Q（h，h+2），PQh+2k，S（l，C）62，PQ=S(l，C)MN=6242=32，32=h+2k，直线l的函数表达式为yx+2，联立整理得，ax2（2ah+1）x+ah2+k20，设N（x1，y1），M（x2

55、，y2），x1+x2=2ah+1a，x1x2=ah2+k-2a，MN2（x1x2）2+（y1y2）22（x1x2）22（x1+x2）24x1x22(2ah+1)2a2-4(ah2+k-2)a=8a(h-k+2)+2a2 =12a+2a2，MN42，12a+2a2=（42）232，16a26a10，a=12或a=-1827（2022南关区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于3，则称点P为三好点（1）在点R（0，3），S（1，2），T（6，3）中，属于三好点的是 R、S（填写字母即可）；（2）若点A在x轴正半轴上，且点A为三好点，直线y2x+b经

56、过点A，求该直线与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若直线ya（a0）与抛物线yx2x2的交点为点M，N，其中点M为三好点，求点M的坐标；（4）若在抛物线yx2nx+2n上有且仅有两个点为三好点，直接写出n的取值范围【分析】（1）由定义直接判断即可；（2）由题意先求出A点坐标，在求出直线解析式，即可求解；（3）由题意知，三好点在C（3，0），A（3，0），B（0，3），D（0，3）为顶点的正方形上，求出直线AB的解析式为yx+3，当点M为直线AB与抛物线yx2x2的公共点时，求出M1（1-6，4-6）；再求出直线BC的解析式为yx+3，当点M为直线BC与抛物线yx2x2的公共点时，求出M2（5，

57、3-5）即可；（4）由（3）可知，抛物线上有三好点，则三好点必在在C（3，0），A（3，0），B（0，3），D（0，3）为顶点的正方形上，当抛物线与线段AB有一个交点时，求得n1，此时抛物线上有三个三好点，当抛物线与直线CD有一个交点时，求得n5+23，此时抛物线上有三个三好点，则5+23n1时，抛物线上有两个三好点；当抛物线经过点A时，求得n=95，此时抛物线上有三个三好点，所以当n95时，抛物线上有两个三好点；当抛物线经过点C时，求得n9，此时抛物线上有一个三好点，所以当n9时，抛物线上有两个三好点【解答】解：（1）根据三好点的定义得：0+|3|3，1+23，6+|3|93，R、S是三好点

58、，故答案为：R、S；（2）点A在x轴正半轴上，且点A为三好点，A（3，0），又直线y2x+b经过点A，023+b，b6，直线为y2x6，当x0时，y6，S=12369，直线与坐标轴围成的三角形的面积为9；（3）如图1，由题意知，三好点在C（3，0），A（3，0），B（0，3），D（0，3）为顶点的正方形上，设直线AB的解析式为ykx+b，则-3k+b=0b=3，解得：k=1b=3，直线AB的解析式为yx+3，当点M为直线AB与抛物线yx2x2的公共点时，由y=x+3y=x2-x-2，得M1（1-6，4-6）；直线BC的解析式为yx+3，当点M为直线BC与抛物线yx2x2的公共点时，由y=-x+

59、3y=x2-x-2，得M2（5，3-5），点M的坐标为（1-6，4-6）或（5，3-5）；（4）由（3）可知，抛物线上有三好点，则三好点必在在C（3，0），A（3，0），B（0，3），D（0，3）为顶点的正方形上，如图2，当抛物线与线段AB有一个交点时，y=x+3y=-x2-nx+2n，x2+（n+1）x+32n0，（n+1）24（32n）0，n1或n11，抛物线的对称轴在y轴的左侧，n0，n1，此时抛物线上有三个三好点，CDAB，设直线CD的解析式为yx+h，h3，yx3，如图3，当抛物线与直线CD有一个交点时，y=x-3y=-x2-nx+2n，x2+（n+1）x32n0，（n+1）24（3

60、2n）0，n523，此时抛物线的对称轴在y轴的右侧，n0，n5+23，n5+23时，此时抛物线上有三个三好点，5+23n1时，抛物线上有两个三好点；如图4，当抛物线经过点A时，09+3n+2n，n=95，此时抛物线上有三个三好点，当n95时，抛物线上有两个三好点；如图5，当抛物线经过点C时，093n+2n，n9，此时抛物线上有一个三好点，当n9时，抛物线上有两个三好点；综上所述：当n9或n95或523n1时，抛物线上有两个三好点28（2022秋长沙期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称

61、为图形的“极小和”（1）抛物线yx22x2的图象上点P（1，3）的“横纵和”是 2；该抛物线的“极小和”是 -94（2）记抛物线yx2（2m+1）x2的“极小和”为s，若2021s2020，求m的取值范围（3）已知二次函数yx2+bx+c（c0）的图象上的点A（m2，2c）和点C（0，c）的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由【分析】（1）根据题目中的规定易得点P（1，3）的“横纵和”；根据定义求出x+y是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论；（2）根据定义求出x+y（xm）2m22，即可得出2021m2

62、22020，解得2018m2019或-2019m-2018；（3）先求出“极小和”，即可根据二次函数的性质求得最大值【解答】解：（1）点P（1，3），“横纵和”是1+（3）2，x+yx22x2+xx2x2（x-12）2-94，抛物线的“极小和”是-94；故答案为：2，-94；（2）x+yx2（2m+1）x2+xx22mx2（xm）2m22，记抛物线yx2（2m+1）x2的“极小和”为s，sm22，2021s2020，2021m222020，即2018m2019或-2019m-2018；（3）依题意有m2+2c0+c即：m2c，A（c，2c），将A（c，2c）代入yx2+bx+c（c0）得，2c

63、c2bc+c，c0，化简可得：bc1，即：yx2+（c1）x+c，则：y+xx2+cx+c（x+c2）2-c24+c，令yx2+（c1）x+c的“极小和”为w，则：w=-c24+c=-14（c2）2+1，当c2时，w有最大值，最大值为129（2022泰兴市二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若P、Q的坐标分别为（x1，y1）、Q（x2，y2），则称|x1x2|+|y1y2|为若P、Q的“绝对距离”，表示为dPQ【概念理解】（1）一次函数y2x+6图象与x轴、y轴分别交于A、B点dAB为 9；点N为一次函数y2x+6图象在第一象限内的一点，dAN5，求N的坐标；一次函数y=x+32的图象与y轴

64、、AB分别交于C、D点，P为线段CD上的任意一点，试说明：dAPdBP【问题解决】（2）点P（1，2）、Q（a，b）为二次函数yx2mx+n图象上的点，且Q在P的右边，当b2时，dPQ4若b2，求dPQ的最大值；（3）已知P的坐标为（1，1），点Q为反比例函数y=3x（x0）图象上一点，且Q在P的右边，dPQ2，试说明满足条件的点Q有且只有一个【分析】（1）由y2x+6得A（3，0），B（0，6），即得dAB|30|+|06|9；设N（t，2t+6），由N在第一象限得0t3，根据dAN5得：|3t|+|0+2t6|5，即可解得t=43，N（43，103）；由yx+32中，得C（0，32），由y

65、=-2x+6y=x+32得D（32，3），设P（m，m+32），0m32，即得dAP|3m|+|0m-32|3m+m+32=92，dBP|0m|+6m-32|m+92-m=92，从而证明dAPdBP；（2）将P（1，2）代入yx2mx+n得mn1，即知二次函数为yx2（n1）x+n，当b2时，2a2（n1）a+n，可解得an2或a1，根据Q在P的右边，可得Q（n2，2），又dPQ4，有|n21|+|22|4，即n34，n7，二次函数为yx26x+7，则ba26a+7，因b2，所以1a5，即得dPQ|a1|+|a26a+72|（a-72）2+254，故dPQ的最大值为254；（3）设Q（r，3r

66、），由Q在P的右边得r1，根据dPQ2，即得|3r-1|3r，当3r-10时，3r-13r，解得r1（舍去）或r3，可得Q（3，1）符合题意；当3r-10时，1-3r=3r，解得r1（舍去）或r3，即得满足条件的点Q有且只有一个【解答】解：（1）在y2x+6中，令x0得y6，令y0得x3，A（3，0），B（0，6），dAB|30|+|06|9，故答案为：9；设N（t，2t+6），N在第一象限，t0-2t+60，解得0t3，由dAN5得：|3t|+|0+2t6|5，3t2t+65，解得t=43，N（43，103）；如图：在yx+32中，令x0得y=32，C（0，32），由y=-2x+6y=x+3

67、2得x=32y=3，D（32，3），设P（m，m+32），P为线段CD上的点，0m32，dAP|3m|+|0m-32|3m+m+32=92，dBP|0m|+6m-32|m+92-m=92，dAPdBP；（2）将P（1，2）代入yx2mx+n得：21m+n，mn1，二次函数为yx2（n1）x+n，当b2时，2a2（n1）a+n，解得an2或a1，Q在P的右边，an2且n3，Q（n2，2），dPQ4，|n21|+|22|4，即n34，n7，二次函数为yx26x+7，ba26a+7，b2，a26a+72，即a26a+50，1a5，dPQ|a1|+|a26a+72|a1|+|a26a+5|a1a2+6

68、a5a2+7a6（a-72）2+254，dPQ的最大值为254；（3）设Q（r，3r），Q在P的右边，r1，dPQ2，|r1|+|3r-1|2，即|3r-1|3r，当3r-10时，3r-13r，解得r1（舍去）或r3，r3，即Q（3，1）符合题意；当3r-10时，1-3r=3r，解得r1（舍去）或r3，而r3时，3r-10，故此时r3舍去，综上所述，只有Q（3，1）符合题意；满足条件的点Q有且只有一个30（2022开福区校级一模）定义：当x取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”（1）判断：函数yx2+2x+2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时

69、的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”y3|ax2+bx+c|+2当a0，c0时，此时的恒心值为 2；若三个整数a、b、c的和为12，且ba=cb，求a的最大值与最小值，并求出此时相应的b、c的值；（3）恒心函数yax2+bx+c（ba）的恒心值为0，且a+b+ca+bm恒成立，求m的取值范围【分析】（1）根据“恒心函数“的定义即可判断；（2）根据b24ac0，得到函数y13|ax2+bx+c|的图象恒在x轴的上方，即可求解；设ba=cb=x，则bax，cax2，构造关于x的方程x2+x+1-12a=0，分类讨论，根据根的判别式求解即可；（3）由题意得yax2+bx+c0恒

70、成立，则a0，且b24ac0，即c=b24a，令t=ab，整理a+b+ca+b即可求解【解答】解：（1）yx2+2x+2（x+1）2+11，函数yx2+2x+2是“恒心函数”，且“恒心值“为1；（2）对于“恒心函数“y3|ax2+bx+c|+2，当a0，c0时，b24ac0，函数y3|ax2+bx+c|+2的图象开口向上，与x轴没有交点，即函数y3|ax2+bx+c|+2的图象恒在x轴的上方，y3|ax2+bx+c|+20+2，“恒心值“为2，故答案为2设ba=cb=x，则bax，cax2，a+b+ca（1+x+x2）12，x2+x+1-12a=0，由题意知a、b、c为整数，则上述方程的解一定

71、是有理数，14（1-12a）0，a0，0a16，当a1时，x2+x110，b24ac45，45=35不是有理数，不符合题意，当a2时，x2+x50，b24ac21，21不是有理数，不符合题意，当a3时，x2+x30，b24ac13，13不是有理数，不符合题意，当a4时，x2+x20，b24ac9，9=3是有理数，且x11，x22，a的最小值为4，此时bax4，cax24或bax8，cax216，当a16时，a+b+ca（1+x+x2）16（1+x+x2）12，解得x1x2=-12，bax8，cax24，综上，a的最小值为4，此时b4，c4或b8，c16，a的最大值为16，b8，c4；（3）yax2+bx+c恒心值为0，即ya2+bx+c0恒成立，a0，且b24ac0，c=b24a，a+b+ca+b=1+ca+b=1+b24aa+b=1+14(ab)2+4(ab)，ba0，0ab1，令t=ab，（0t1），04t2+4t8，a+b+ca+b=1+14t2+4t1+18=98，m98