4.1.2 指数函数的性质与图像-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版).docx

1、4.1.2指数函数的性质与图像学 习 目 标核 心 素 养1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点、难点)2能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质(重点)1.通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养2借助指数函数图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？折叠次数对应层数对折后的面积Sx1y221Sx2y422S2x3y823S3由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y2x(xN*)，对折后的面积Sx(

2、xN*)问题：实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？提示(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量1指数函数的定义一般地，函数yax称为指数函数，其中a是常数，a0且a1.思考：指数函数中为什么规定a0且a1?提示(1)如果a0，当x0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x0时，ax无意义；(2)如果a0且a1.2指数函数yax(a0且a1)的图像和性质a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1单调性在R上是增函数在R上是减函数拓展在同一平面直角坐标系中，底数a的大小决定了图像相对位置的高低：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，

3、即“底数大图像高”；在y轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低”3比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数y2x是指数函数()(2)函数y2x1是指数函数()(3)函数y(2)x是指数函数()(4)指数函数的图像一定在x轴上方()(1)(2)(3)(4)(1)因为指数幂2x的系数为1，所以函数y2x不是指数函数(2)因为指数不是x，所以函数y2x1不

4、是指数函数(3)因为底数小于0，所以函数y(2)x不是指数函数(4)因为指数函数的值域是(0，)，所以指数函数的图像一定在x轴的上方2指数函数yax与ybx的图像如图所示，则()Aa0，b0Ba0C0a1D0a1,0b1C函数yax的图像是下降的，所以0a1.3若2x11，则x的取值范围是()A(1,1)B(1，)C(0,1)(1，)D(，1)D不等式2x1120，因为y2x在R上是增函数，所以x10，即x1.4已知函数yx在2，1上的最小值是m，最大值是n，则mn的值为_12因为yx在2，1上为减函数，所以m13，n29，所以mn12.指数函数的概念【例1】(1)下列一定是指数函数的是()A

5、yaxByxa(a0且a1)CyxDy(a2)ax(2)函数y(a2)2ax是指数函数，则()Aa1或a3Ba1Ca3Da0且a1思路探究(1)观察函数解析式的形式，看是否满足指数函数的定义，然后下结论(2)根据指数函数的定义建立关于a的关系式求解(1)C(2)C(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中yxa(a0且a1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中yx显然是指数函数；D中只有a21，即a3时为指数函数(2)由指数函数定义知解得a3.1判断一个函数是指数函数的方法指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：(1)底数是大于0且不等于1的常数(2)指

6、数函数的自变量必须位于指数的位置上(3)ax的系数必须为1.(4)指数函数不会是多项式，如yax1(a0且a1)不是指数函数2已知某函数是指数函数求参数值的方法(1)令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程(2)解不等式与方程求出参数的值提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件1(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()Ay(4)x ByxCy4xDyax2(a0，a1)(2)若函数f(x)是指数函数，且f(2)9，则f(x)_.(3)已知函数f(x)(2a1)x是指数函数，则实数a的取值范围是_(1)B(2)3x(3)(1，)(1)函数y(4)x的底数40，故A中函

7、数不是指数函数；函数yx的系数为1，底数1，故B中函数是指数函数；函数y4x的系数为1，故C中函数不是指数函数；函数yax2a2ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B.(2)由题意设f(x)ax(a0且a1)，则f(2)a29，又因为a0，所以a3，所以f(x)3x.(3)由题意可知解得a且a1，所以实数a的取值范围是(1，)指数函数的性质角度一与指数函数有关的定义域、值域【例2】(1)函数y3x(2x1)的值域是()A.3,9 B. C. D. (2)函数y的定义域是_(3)已知函数f(x)ax(a0，a1)在区间1,1上的最大值与最小值的差是1，则实数a的值为_(1)B(2)(，

8、23，)(3)(1)函数y3xx在2,1上递减，所以ymax3(2)9，ymin31.故值域为.(2)因为函数有意义的充要条件是x2x60，即x2或x3，所以所求的定义域为(，23，)(3)当a1时，yax在1,1上单调递增，所以当x1时，y取到最小值a1，当x1时，y取到最大值a，所以aa11，解得a；当0a1时，yax在1,1上单调递减，所以当x1时，y取到最大值a1，当x1时，y取到最小值a，所以a1a1，解得a.1与指数函数相关的定义域问题(1)函数yaf(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同(2)涉及不等关系求定义域时，先化同底，再利用图像、单调性求范围2关于指数函数值域的求法当指

9、数函数的单调性可以确定时，分别求出其最大值、最小值得到函数的值域，若函数的单调性不确定时，则分情况讨论单调性，分别求出其最值，从而确定值域2(1)函数f(x)x在区间2,2上的最小值是()ABC4D4(2)函数y的定义域为_(1)A(2)3，)(1)函数f(x)x在定义域R上单调递减，所以f(x)在区间2,2上的最小值是f(2)2.(2)依题意得，2x80，所以2x823，又y2x为增函数，所以x3.所以函数y的定义域为3，)角度二指数函数性质的简单应用【例3】(1)已知a1.50.5，b0.51.5，c0.50.5，则()AabcBacbCbacDcab(2)使不等式92x13成立的x的集合

10、是()A. B.C. D.(1)B(2)A(1)a1.50.51,00.51.50.50.51，所以acb.(2)不等式即34x23，可得4x2，解得x.利用单调性比较大小(1)底数相同的直接利用单调性(2)底数、指数都不同的把1作为中间量比较(3)底数不同指数相同的借助图像间的关系比较3(1)已知a0.40.3，b0.30.4，c0.30.2，则()AbacBbcaCcbaDabc(2)已知a0.52.1，b20.5，c0.22.1，则a，b，c的大小关系是()AacbBbacCbacDcba(1)A(2)B(1)因为1a0.40.30.30.3b0.30.4，c0.30.21，所以bac.

11、(2)a0.52.1(0,1)，b20.51，c0.22.1，052.10.22.1，所以ac，所以bac.角度三形如yaf(x)的函数的单调性、值域【例4】求函数y2xx2的值域与单调区间思路探究指数函数的图像与性质及复合函数的单调性与值域用换元法将其化为指数函数解令t2xx2，则yt，而t(x1)211，所以yt，故所求函数的值域为.因为yt在R上是单调递减，函数t2xx2在(，1上是增函数，在(1，)上是减函数根据复合函数单调性得，函数y2xx2的减区间是(，1，增区间是(1，)复合函数的单调性、值域(1)分层：一般分为外层yat，内层tf(x)(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即

12、内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求yat的值域4(一题两空)函数f(x)x22x的单调递减区间是_，值域是_1，)令tx22x(x1)21，则f(x)t，利用二次函数的性质可得函数t的增区间为1，)，所以函数f(x)x22x的减区间是1，)因为t1，所以0f(x)，所以函数f(x)x22x的值域为.指数函数的图像探究问题1指数函数yax(a0且a1)的图像过哪一定点？函数f(x)ax12(a0且a1)的图像又过哪一定点呢？提示法一：(平移法)yax过定点(0,1)，将函数yax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到yax12，此

13、时函数图像过定点(1,3)法二：(解方程法)指数函数yax(a0且a1)的图像过定点(0,1)；在f(x)ax12中，令x10，即x1，则f(x)3，所以函数f(x)ax12(a0且a1)的图像过定点(1,3)2指数函数yax(a0且a1)的图像可能在第三或第四象限吗？为什么？提示不可能因为指数函数yax(a0且a1)的定义域是(，)，值域是(0，)，这就决定了其图像只能在第一象限和第二象限3从左向右，指数函数yax(a0且a1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凸？提示当0a0且a1)的图像从左向右呈下降趋势；当a1时，指数函数yax(a0且a1)的图像从左向右呈上升趋势指数函

14、数的图像下凸【例5】(1)下列几个函数的图像如图所示：yax；ybx；ycx；ydx.则a，b，c，d与0和1的关系是()A0ab1cdB0ba1dcC0ba1cdD1abc0且a1)满足f(1)1，若函数g(x)f(x1)4的图像不过第二象限，则a的取值范围是()A(2，)B(2,5C(1,2)D(1,5(3)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_(1)B(2)B(3)1,1(1)由指数函数图像得到当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，因此得到cd1，反之，1ab0，所以0ba1d1，所以a11，即a2，因为函数g(x)f(x1)4的图像不过第二象限，所以g(0

15、)a1140，所以a5，所以a的取值范围是(2,5(3)曲线|y|2x1与直线yb的图像如图所示，由图像可得：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,11处理函数图像问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0,1)(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性2指数型函数图像过定点问题的处理方法求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点5(1)在同一坐标系中画出函数yax，yxa的图像，可能正确的是()(2)要得到函数y23x的图像，只需将函数yx的图像()A向右平移

16、3个单位B向左平移3个单位C向右平移8个单位D向左平移8个单位(3)函数ya|x|(0a1)的图像是()(1)D(2)A(3)A(1)a为直线yxa在y轴上的截距，对应函数yxa单调递增，又当a1时，函数yax单调递增，当0a1时，函数yax单调递减，A中，从图像上看，yax的a满足a1，而直线yxa的截距a1，不符合以上两条；B中，从图像上看，yax的a满足0a1，而直线yxa的截距a1，不符合以上两条；C中，从图像上看，yax的a满足a1，而函数yxa单调递减，不符合以上两条，只有选项D的图像符合以上两条，故选D.(2)因为y23xx3，所以yx的图像向右平移3个单位得到yx3，即y23x

17、的图像(3)ya|x|x|，易知函数为偶函数，0a1，1，故当x0时，函数为增函数，当x0时，函数为减函数，当x0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.一、知识总结1判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0且a1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1. 2比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax(a0且a1)的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.3解简单指数不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式，

18、有时需要对底数进行讨论，有时需借助图像求解二、方法归纳数形结合法、换元法三、常见误区1在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax0.2研究yaf(x)型函数，易忽视讨论a1还是0a1.1下列函数中一定是指数函数的是()Ay2x1Byx2Cy3xDy23xC只有y3xx符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合yax(a0，且a1)的形式2函数y(1)x在R上是()A增函数B奇函数C偶函数D减函数D011，函数y(1)x在R上是减函数3不论a取何正实数，函数f(x)ax12恒过点()A(1，1)B(1,0)C(0，1)D(1，3)A令x10，则x1，f(1)1，所以函数f(x)ax12的图像恒过点(1，1)4已知a23.5，b22.5，c33.5，请将a，b，c按从小到大的顺序排列_bac由指数函数y2x知，因为2.53.5，所以22.523.5，即ba，又c33.5a23.5，故bac.