5.1 函数的概念和图象（八大题型）（解析版）.docx

1、5.1 函数的概念和图象 课程标准学习目标（1）通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养.（2）通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.（3）通过函数图象的画法及图象的应用提升数学直观想象素养与逻辑推理素养.（1）进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。（2）能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系刻画数学概念中的作用。（3）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域。（4）理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象知识点01 函数的概念1、函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应

2、，那么就称为从集合A到集合B的一个函数记作：，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域知识点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全致，而与表示自变量和函数值的字母无关【即学即练1】（2023全国高一

3、专题练习）已知，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（）ABCD【答案】C【解析】对于A选项，当时，且，A中的对应法则可以作为从到的函数；对于B选项，当时，且，B中的对应法则可以作为从到的函数；对于C选项，当时，且，C中的对应法则不能作为从到的函数；对于D选项，当时，则，且，D中的对应法则可以作为从到的函数.故选：C.知识点02 函数定义域的求法（1）确定函数定义域的原则当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件当函数是由实际问

4、题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示【即学即练2】（2023江苏苏州高一常熟中学校考阶段练习）函数的定义域为 【答案】【解析】要使有意义，只需满足，解得且.所以定义域为.故答案为：知识点0

5、3 函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个

6、简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约【即学即练3】（2023高一课时练习）求下列函数的值域(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）因为，所以，所以函数的值域为.（2）由，可得其对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由当时，；当时，所以函数的最大值为，所以函数在区间上的值域为.（3）由函数，可得其定义域为，则，即，所以函数的值域为且.（4）令，则，则，根据二次函数的

7、性质，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，函数取得最大值，最大值为，当时，所以函数的值域为.知识点04 函数的图像将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为，即，所有这些点组成的图形就是函数的图象.【即学即练4】（2023广东江门高一校考期中）如下图可作为函数的图象的是（）ABCD【答案】D【解析】根据函数的概念，进行判定，即可求解.根据函数的概念，可知对任意的值，有唯一的值相对应，结合选项，可得只有选项D可作为函数的图象.故选：D.题型一：函数的概念例

8、1（2023全国高一专题练习）如图图形，其中能表示函数的是（）ABCD【答案】B【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量有唯一的一个变量与对应，由图可知，ACD三个选项不符合函数的定义，B选项符合函数的定义.故选：B.例2（2023浙江嘉兴高一校考阶段练习）函数的图象与直线的交点个数（）A至少有1个B至多有1个C仅有1个D可能有无数多个【答案】B【解析】当x在定义域内任意取一个值,都有唯一的一个函数值与之对应,函数的图象与直线有唯一交点；当x不在定义域内时,函数值不存在,函数的图象与直线没有交点。故函数 的图象与直线至多有一个交点，即函数的图象与直线的交点至多有一个，故选：B.例3（

9、2023高一课时练习）下列等式中的变量不具有函数关系的是（）ABCD【答案】D【解析】对于A，对于每一个，按照，有唯一值与之对应，A是函数关系；对于B，对于每一个，按照，有唯一值与之对应，B是函数关系；对于C，对于每一个，按照，有唯一值与之对应，C是函数关系；对于D，当时，当时，变量不具有函数关系，D不是函数关系.故选：D变式1（2023全国高一专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（）ABCD【答案】A【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；对于B选项，时，有两个y与之对应，不是函数；对于C选项，当时，不存在，不是函数；对于D选项，集合A

10、中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.故选：A题型二：给出解析式求函数的定义域例4（2023山西太原高一太原五中校考阶段练习）函数的定义域是 【答案】【解析】根据题意可知需满足，解得且；所以函数定义域为.故答案为：例5（2023黑龙江哈尔滨高一哈尔滨三中校考阶段练习）函数的定义域为 【答案】【解析】依题意可得，解得且.所以函数的定义域为.故答案为：.例6（2023江苏镇江高一统考阶段练习）函数的定义域为 .【答案】【解析】函数有意义，则有，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：变式2（2023全国高一专题练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长

11、为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 .【答案】【解析】设矩形另一边的长为m，由三角形相似得：，（）,所以,所以矩形草坪的面积，解得：.故答案为：变式3（2023辽宁大连高一校联考阶段练习）已知函数，则函数的定义域 【答案】【解析】由函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域.故答案为：题型三：抽象函数求定义域例7（2023全国高一专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（）ABCD【答案】D【解析】由，得，所以的定义域为，由，得，所以的定义域为，故选：D例8（2023吉林长春高一长春市第二实验中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

12、）ABCD【答案】C【解析】因为函数的定义域为，所以，可得，令，解得所以函数的定义域为故选：C.例9（2023福建厦门高一厦门一中校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（）ABCD【答案】D【解析】函数的定义域是，则，故，解得.故选：D变式4（2023福建厦门高一校考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（）ABCD【答案】C【解析】因为函数的定义域为，则，可得，所以函数的定义域为，对于函数，则，得，所以的定义域为.故选：C变式5（2023河南郑州高一郑州四中校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）ABCD【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为

13、，解得，即的定义域为.故选：A变式6（2023全国高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）ABCD【答案】C【解析】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为.故选：C题型四：给出函数定义域求参数范围例10（2023四川内江高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】【解析】函数的定义域为，在上恒成立，当时，恒成立，满足题意；当时，要使在上恒成立，则解得综上若函数的定义域为，则实数的取值范围是故答案为：.例11（2023全国高一专题练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】【解析】函数的定义域为，则

14、在上恒成立，则当时，成立，当时，在上恒成立，等价于，解得，综上所述：，即实数的取值范围是，故答案为：.例12（2023湖南常德高一汉寿县第一中学校考期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意，在中，定义域为，当时，符合题意；当时，解得：，综上，.故答案为：.变式7（2023高一课时练习）若函数的定义域为，则的范围是 .【答案】【解析】由已知可得，不等式在上恒成立.当时，不等式可化为在上恒成立，满足；当时，要使不等式在上恒成立，应有，解得.综上所述，的范围是.故答案为：.变式8（2023高一单元测试）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 【答案】【解析】由题意恒成立

15、，显然，故答案为：题型五：同一函数的判断例13（多选题）（2023贵州六盘水高一校考阶段练习）与为相等函数的是（）ABCD【答案】BC【解析】函数的定义域是R，对应法则是取绝对值，对于A，函数定义域是，A不是；对于B，函数的定义域是R，对应法则是取绝对值，B是；对于C，函数的定义域是R，对应法则是取绝对值，C是；对于D，函数的定义域是R，对应法则与函数的对应法则不同，D不是.故选：BC例14（多选题）（2023广东佛山高一校联考期中）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A与B与C与D与【答案】AC【解析】对于A，两个函数的定义域相同，都是，对应关系相同，故为相同函数，故A正确；对于

16、B，函数的定义域为，函数的定义域为，故两个函数不为相同函数，故B错误；对于C，两个函数的定义域相同，都是，对应关系相同，故为相同函数，故C正确；对于D，因为的定义域为，所以，两个函数的对应关系不同，故不为相同函数，故D错误.故选：AC例15（多选题）（2023江西上饶高一校考期中）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A与B与C与D与【答案】BD【解析】A选项：定义域为，定义域为R ，定义域不相同，故A错；B选项：定义域和对应法则都相同，故B正确；C选项：定义域为，定义域为，定义域不相同，故C错；D选项：，定义域和对应法则都相同，故D正确.故选：BD.变式9（多选题）（2023河南南

17、阳高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习）下列四组函数，表示相同函数的一组是（）A，（）B，C，D，【答案】AC【解析】对于A，（）的定义域相同，化简后对应关系相同，是相同函数；对于B，的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，对应关系不同，不是相同函数；对于C，的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是相同函数；对于D，的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，化简后对应关系相同，不是相同函数.故选：AC题型六：给出自变量求函数值例16（2023贵州高一校联考阶段练习）已知函数，则 .【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.例17（2023吉林

18、长春高一校考阶段练习）函数，由下列表格给出，则 123424314321【答案】4【解析】由题意得，所以，故答案为：4例18（2023陕西西安高一西安中学校考阶段练习）已知函数.则 .【答案】2【解析】因为，所以，所以，故答案为：2变式10（2023浙江台州高一统考期末）定义在上的函数满足，则 【答案】【解析】因为，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以，又因为，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，由，可得，又因为，所以，所以.故答案为：变式11（2023全国高一随堂练习）设函数对任意正实数都有，已知，则 .【答案】/【解析】因为，所以令，则，令，则，令，则，因为，所

19、以，所以，故答案为：变式12（2023全国高一专题练习）定义域为的函数和，则 .【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：变式13（2023陕西榆林高一陕西省神木中学校考阶段练习）定义在上的函数满足下列两个条件：(1)对任意的恒有成立；(2)当时，则的值是 【答案】1【解析】因为任意的恒有，所以；因为当时，所以，所以.故答案为：1.题型七：求函数的值域例19（2023全国高一专题练习）求下列函数的值域(1)；(2)，；(3)；(4).【解析】（1），即，的值域为.（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；，的值域为.（3），的值域为.（4）令，则且，则当时，的值域为.例20（20

20、23高一课时练习）求下列函数的值域(1)；(2)；(3).【解析】（1）由于，且；所以可得，因此函数的值域是（2）令，所以，即，当时，即函数的值域为.（3）易知需满足，即，即函数定义域为；，由二次函数性质可得，所以的值域为例21（2023全国高一课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)【解析】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为（2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为（3）（分离常数法），因为，所以，所以故函数的值域为（4）（换元法）设，则，且，所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为（5）因为，所以，当且仅当，即

21、时，等号成立故函数的值域为（6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故函数的值域为（7）由知，整理得当时，方程无解；当时，即故所求函数的值域为变式14（2023高一校考课时练习）求下列函数的值域:(1)，(2)，(3)，(4)【解析】（1）由题意可得：，因为，则，所以原函数的值域为.（2）因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以原函数的值域为.（3）令，解得，可得函数的定义域为，因为，可得所以原函数的值域为.（4）设，则，所以原函数转化为，因为函数的图象开口向下，对称轴方程为，可知当时，函数取到最大值，所以原函数的值域为.变式15（2023全国高一专题练习）试求下列函数的定义域

22、与值域(1)，；(2)；(3)；(4).【解析】（1）因为的定义域为，则，同理可得，所以函数的值域为.（2）函数的定义域为R，因为，所以函数的值域为.（3）函数的定义域为，因为，所以函数的值域为.（4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是.设，则，于是，又，所以，所以函数的值域为.变式16（2023高一课时练习）已知函数.(1)若函数定义域为R，求a的取值范围；(2)若函数值域为，求a的取值范围.【解析】（1）因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，当时，不符合题意；当时，要想在R上恒成立，即在R上恒成立，只需，所以a的取值范围为；（2）当时，符合题意；当时，要想函数值域为，只需，综上所

23、述：a的取值范围为.变式17（2023全国高一专题练习）已知函数.(1)若函数定义域为，求的取值范围；(2)若函数值域为，求的取值范围.【解析】（1）函数定义域为，对任意都成立，当时，显然不恒成立，不合题意；当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，综上，实数的取值范围为（2）函数值域为，能取遍所有正数，1：，解得，2：， 符合题意实数的取值范围为题型八：函数的图象例22（2023全国高一专题练习）在图中的三个图形中，是函数图象的是（）A（1）（2）B（2）（3）C（2）D（3）【答案】B【解析】根据函数的定义，一个对应唯一的，这样的图象才是函数图象，所以（2）（3）是函数图象.故选：B例23

24、（2023宁夏吴忠高一统考期中）函数的图像是（）ABCD【答案】D【解析】由函数的定义域为,所以A.C选项错误;当,函数为一次函数,故B选项错误,D选项正确;故选:D.例24（2023新疆喀什高一统考期中）函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（）ABCD【答案】B【解析】定义域为，所以函数在是断开的，故排除C，D；当x为很小的正数时，排除A故选：B变式18（2023高一课时练习）设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有()个A1个B2个C3个D4个【答案】A【解析】由函数的定义知，不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是0，2；不能表示集合到的函数关系，因为图中

25、y的范围是0，2；不能表示集合到的函数关系，因为对于一个x，可能有两个y值与之对应；能表示集合到的函数关系.故满足题意的有，共1个.故选：A.变式19（2023高一课时练习）函数的图象是（）ABCD【答案】B【解析】函数，把函数的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，即可得到函数的图象，故选：B变式20（2023高一课时练习）函数的图象是（）ABCD【答案】B【解析】根据函数特殊位置进行排除即可.当时，排除;当时，排除;当时，排除;故选：B.变式21（2023高一课时练习）2020年9月我校正式成为市争创特色学校的项目学校（“非遗文创”特色），其中“江南传统民居木作技艺”是一项非遗

26、保护项目，现有木料形状图如下，那么旋转后可以看成函数的图像的是（）ABCD【答案】C【解析】根据函数的定义判断把它们放到坐标平面上，只有旋转后可以形成对于可取范围的任一有唯一的与之对应，因此旋转后可以看作函数的图象故选：C变式22（2023全国高一课堂例题）作出函数的图象【解析】选择方便计算的几个数值，列表如下：00.2512.2546.2591600.511.522.534根据表中数据在平面直角坐标系中描点、连线，得到图象.变式23（2023全国高一课堂例题）试画出下列函数的图象：(1)；(2)，.【解析】（1）因为一次函数的图象是直线，所以取特殊点即可；（2）因为二次函数是抛物线，当时，函

27、数单调递增，所以取特殊点连线即可，其中是空心点.一、单选题1（2023天津北辰高一校考阶段练习）下列函数中，与相同的函数是（）ABCD【答案】D【解析】解析：对于选项A，和的对应关系不同，所以不是相同函数，故A错误；对于选项B，的定义域为，和的定义域不同，所以不是相同函数，故B错误；对于选项C，的定义域为，和的定义域不同，所以不是相同函数，故C错误；对于选项D，因为，所以的定义域是，且，和函数对应关系和定义域都相同，所以是相同函数，故D正确故选：D.2（2023全国高一专题练习）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀

28、的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（）ABCD【答案】A【解析】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，A选项较为合适.故选：A.3（2023全国高一专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为（）ABCD【答案】D【解析】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得.故选：D4（2023全国高一专题练习）已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（）A2，3B3，4C3，5D2，5【答案】D【解析

29、】函数的定义域为A，值域为B，所以当时，；当时，；当时，；当时，；所以，又，所以若，解得或，因为，所以.此时，所以，则；若，又，所以不成立.综上，.故选：D.5（2023全国高一专题练习）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，若，且，则（）ABCD【答案】B【解析】与互素且不超过的正整数为，与互素且不超过的正整数为、，与互素且不超过的正整数为、，与互素且不超过的正整数为、，与互素且不超过的正整数为、，因为，所以，则，因为与互素且不超过的正整数为、，所以，.故选：B.6（2023福建厦门高一厦门双十中学校考阶段练习）函数的值域是（）ABC0D【答案】D【解析】函数的

30、定义域满足，解得或，所以函数的定义域为，当时，当时，所以函数的值域是.故选：D7（2023山东枣庄高一枣庄市第三中学校考阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围为（）A或B或CD【答案】D【解析】因为函数的定义域为，即关于的方程无解，当时，显然无解，符合题意；当，则，解得，综上可得.故选：D8（2023全国高一专题练习）已知函数，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】函数，当时，则，则，函数在的值域记为，对任意的，存在，使，则，当时，则，则；当时，因为，则，则，所以，解得；当时，因为，则，即，所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.二、多选题9（2023

31、福建南平高一校考阶段练习）下列函数中哪个与函数不是同一个函数（）ABCD.【答案】ACD【解析】对于A，（），它与函数（）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数（）不是同一个函数.对于B（），它与函数（）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数（）是同一个函数.对于C，它与函数（）的定义域都是实数集R，但是当时，它的对应关系与函数（）不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.对于D（，它与函数（）的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.故选：ACD.10（2023安徽阜阳高一阜阳市第三中学校考阶段练习）下列说法正确的是（）A函数值域

32、中的每一个数在定义域中都有数与之对应B函数的定义域和值域一定是无限集合C对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同D表示当时，函数的值，这是一个常量【答案】AD【解析】函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征，A正确；函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数定义域为，值域为，B错误；当x不同时，函数y的值可能相同，如函数，当和时，y都为1，C错误；表示当时，函数的值是一个常量，D正确.故选：AD11（2023江苏镇江高一江苏省镇江中学校考期中）下列函数中，值域为的是（）ABCD【答

33、案】AD【解析】对A，因为，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故A正确；对B，（），当时，当且仅当，即等号成立，当时，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故B错误；故C，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号不成立，故C错误；对D，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故D正确.、故选：AD.12（2023高一课时练习）下面结论正确的是（）A若，则的最大值是B函数的最小值是2C函数（）的值域是D，且，则的最小值是3【答案】ACD【解析】时，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，从而的最大值是，A正确；，当且仅当时等号成立，但无实数解，因

34、此等号不能取得，2不是最小值，B错；时，因为，所以时，时，时，所以值域是，C正确；，且，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是413，D正确故选：ACD三、填空题13（2023广西南宁高一南宁市第一中学校考阶段练习）函数的值域为 【答案】【解析】由函数，根据二次函数的性质，当时，得到；当时，得到，所以函数在的值域为.故答案为：.14（2023广西柳州高一柳州高级中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得.所以函数的定义域为.故答案为：15（2023山东德州高一校考阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值

35、范围为 【答案】【解析】由题意得，在R上恒成立，当时，成立；当时，即，解得；综上所述，.故答案为：.16（2023浙江宁波高一余姚中学校考阶段练习）函数在上的值域是 .【答案】【解析】函数，当时，；当时，根据对勾函数的性质可知：当时，则，所以，当时，则，所以，综上所述，函数在上的值域是.故答案为：四、解答题17（2023全国高一专题练习）已知(1)求和；(2)求函数的值域【解析】（1）由函数，可得，.（2）解法1：因为，可得恒成立，可得，所以，即函数的值域为.解法2：假设是所求值域中的元素，则关于的方程应该有解，即应该有解，从而，即，解得，所以函数的值域为18（2023福建厦门高一校考阶段练习

36、）已知函数，(1)求的定义域；(2)求，的值；(3)当时，求的值.【解析】（1）函数有意义，则，解得，且，所以函数的定义域是.（2）依题意，.（3）当时，则.19（2023福建厦门高一厦门一中校考阶段练习）已知函数(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式【解析】（1）函数的定义域为，时，恒成立当时，不等式化为：，解得，不符合题意，舍去；当时，则时，恒成立，所以，即，解得，综上所述，实数的取值范围是（2）1）当时，关于的不等式化为：，对进一步分类讨论：时，则不等式的解集为；时，则不等式的解集为；时，则不等式的解集为2）当时，关于的不等式化为，则不等式的解集为3）当时，关于的

37、不等式化为：，则不等式的解集为综上所述，不等式的解集为；，不等式的解集为；，不等式的解集为；，不等式的解集为，不等式的解集为20（2023全国高一专题练习）求下列函数的值域.(1);(2);(3)，(4)【解析】（1）设，则，所以，根据二次函数的图象和性质，函数的值域为.（2）函数的定义域为，所以函数的值域为.（3）因为函数图象的对称轴为，所以函数在单调递减，单调递增，所以函数的值域为.（4），当时，当且仅当时等号成立； 当时，当且仅当时等号成立.故函数值域为.21（2023全国高一专题练习）已知函数(1)求与与；(2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现；(3)求【解析】（1）， ，.（2）由（1）发现.证明如下：+.（3）.由（2）知，原式.22（2023全国高一专题练习）已知函数对任意的实数，都有成立.(1)求，的值;(2)求证：（）;(3)若，（，均为常数），求的值.【解析】（1）令，则，故.令，则，故.（2），又，故（）.（3），故.