5.4 正余弦定理（精讲）（学生版）.docx

1、5.4 正余弦定理（精讲）一正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形边化角：a2Rsin A b2RsinB c2RsinC角化边：sin A sin B， sin C；abcsinAsinBsinCcos A；cos B；cos C二三角形常用面积公式1.Saha(ha表示边a上的高)2.Sabsin Cacsin_Bbcsin_A3.Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)三三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式

2、absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解四三角形中的射影定理在ABC中，ab cos Cc cos B；ba cos Cc cos A；cb cos Aa cos B五盘点易错易混1利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R2.三角形中的大角对大边：在ABC中，ABabsin Asin B3判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解一正、余弦定理的选用1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角由于这两种情形下的三角形是唯一确定的

3、，所以其解也是唯一的二求解三角形面积问题1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键三选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；2.若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；4.代数式变形或者三角恒等变换前置；5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；6.同时出现两个自由角（或三

4、个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.考法一 常见的边角互换模型【例1-1】（2023春湖南）在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（）AB1CD【例1-2】（2023全国统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（）ABCD【例1-3】（2022安徽马鞍山一模）已知的内角的对边分别为，设，则 （）ABCD【例1-4】（2022重庆）在中，分别是角，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为_【一隅三反】1（2023春广东茂名高三统考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A（）ABCD2（2023河南洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）ABC的内角A，

5、B，C的对边分别为a，b，c，已知，则c（）A4B6CD3（2023春福建南平）（多选）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且，则（）ABCD4（2023四川）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（）ABCD考法二 三角形的周长与面积【例2-1】（2023广东）在锐角三角形中，角，所对的边分别为，已知，则的面积为_.【例2-2】（2023山东青岛统考三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角B；(2)若c3a，D为AC中点，求的周长【一隅三反】1（2023重庆统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设

6、的三个内角所对的边分别为，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，则用“三斜求积”公式求得的面积为（）ABCD12（2023陕西西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，C为钝角，且.(1)求角B的大小；(2)若的面积为6，求的周长.3（2023湖北武汉统考三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，求的面积.考法三 三角形的中线与角平分线【例3-1】（2023湖北）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，_，求.在D为AC的中点，BD为ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上

7、.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【例3-2】（2023河南洛阳洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知为的内角所对的边，向量,，且(1)求；(2)若，的面积为，且，求线段的长【一隅三反】1（2023全国统考高考真题）在中，D为BC上一点，AD为的平分线，则_2（2023山东泰安统考模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.(1)求角C的大小；(2)若的平分线交AB于点D，且，求的面积.3.（2023春河南洛阳高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且(1)求角A的大小；(2)若，边上的中线，求的面积考法四 三角形中的取值范围【例4-1】（2023

8、江苏无锡江苏省天一中学校考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则（）ABCD【例4-2】（2023江西上饶统考二模）在中，则的最小值（）A-4BC2D【例4-3】（2023辽宁辽宁实验中学校考模拟预测）在中，若，则的最大值为_【例4-4】（2023安徽滁州安徽省定远中学校考一模）已知在中，角，的对边分别是，面积为，且_在，；这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题(1)求；(2)若，点是边的中点，求线段长的取值范围【一隅三反】1（2023陕西宝鸡统考二模）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则a的取值范围为（）ABCD2（2023上海上海

9、市七宝中学校考模拟预测）在中，角、所对的边分别为、，的平分线交于，若，则的最小值为_.3（2023福建南平统考模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(1)求A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值4（2023全国高三专题练习）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.(1)求角C的大小；(2)若，求的周长的取值范围.5（2023广西南宁南宁三中校考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且(1)求的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围考法五 三角形解的个数【例5】（2023春江苏连云港）由下

10、列条件解，其中有两解的是（）A，B，C，D，【一隅三反】1（2023春重庆）中，是角的对边，则此三角形有（）A一个解B2个解C无解D解的个数不确定2（2023贵州统考模拟预测）中，角的对边分别是，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（）ABCD3（2023北京朝阳高三专题练习）在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（）；.ABCD考法六 正余弦定理在几何中应用【例6-1】（2023河南开封校考模拟预测）如图，在中，点在边上，(1)求的长；(2)若的面积为，求的长【例6-2】（2023北京大兴校考三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，.(1)求的面积；(2)求的值及的长度.【一隅三反】1（2023广西统考模拟预测）如图，在中，内角，的对边分别为，过点作，交线段于点，且，.(1)求；(2)求的面积.2（2023上海徐汇统考三模）如图，中，角、的对边分别为、.(1)若，求角的余弦值大小；(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.3（2023广东惠州统考一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值