中考数学冲刺——函数压轴3（41-50） .pdf

1、春中考冲刺讲师：小鞠老师思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师41如图，抛物线 yax2+bx2（a0）与 x 轴交于 A（3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C，直线 yx 与该抛物线交于 E，F 两点（1）求抛物线的解析式（2）P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PHEF 于点 H，求 PH 的最大值（3）以点 C 为圆心，1 为半径作圆，C 上是否存在点 M，使得BCM 是以 CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出 M 点坐标；若不存在，说明理由思考让我快乐【解答】解：（1）抛物线 yax2+bx2（a0）与 x 轴交于 A（

2、3，0），B（1，0）两点，抛物线的解析式为 yx2+x2；（2）如图 1，过点 P 作直线 l，使 lEF，过点 O 作 OPl，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，PH 最大，等于 OP，直线 EF 的解析式为 yx，设直线 l 的解析式为 yx+m，抛物线的解析式为 yx2+x2，联立化简得，x2+x2m0，4（2m）0，m，直线 l 的解析式为 yx，令 y0，则 x，M（，0），OM，在 RtOPM 中，OP，PH 最大（3）满足条件的点 M 的坐标为（，）或（1，2）或（，2）或（，2）初三中考冲刺系列中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师思考让我快乐初三中考冲刺系列42如

3、图一，抛物线 yax2+bx+c 过 A（1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若 y1y2，求 P 点横坐标 x1 的取值范围；（3）如图二，过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 E，该抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，连结CD、CB，点 F 为线段 CB 的中点，点 M、N 分别为直线 CD 和 CE 上的动点，求FMN 周长的最小值初三中考冲刺系列中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师思考让我快乐中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师【解答

4、】解：（1）抛物线 yax2+bx+c 过 A（1，0）B（3.0）、C（0，）三点解得：a，b，c；抛物线的解析式为：yx2+x+（2）抛物线的对称轴为 x1，抛物线上与 Q（4，y2）相对称的点 Q（2，y2）P（x1，y1 在该抛物线上，y1y2，根据抛物线的增减性得：x12 或 x14答：P 点横坐标 x1 的取值范围：x12 或 x14（3）C（0，），B，（3，0），D（1，0）OC，OB3，OD，1F 是 BC 的中点，F（，）当点 F 关于直线 CE 的对称点为 F，关于直线 CD 的对称点为 F，直线 FF与 CD、CE 交点为M、N，此时FMN 的周长最小，周长为 FF的长

5、，由对称可得到：F（，），F（0，0）即点 O，FFFO3，即：FMN 的周长最小值为 3，初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师43如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的边 BC 在 x 轴上，ABC90，以 A 为顶点的抛物线 yx2+bx+c 经过点 C（3，0），交 y 轴于点 E（0，3），动点 P 在对称轴上（1）求抛物线解析式；（2）若点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点 B 停止，设运动时间为 t 秒，过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D，过点 D 平行于 y 轴的直线 l 交抛物

6、线于点 Q，连接 AQ，CQ，当 t 为何值时，ACQ 的面积最大？最大值是多少？（3）若点 M 是平面内的任意一点，在 x 轴上方是否存在点 P，使得以点 P，M，E，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的 M 点坐标；若不存在，请说明理由思考让我快乐【解答】解：（1）将点 C、E 的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的解析式为：yx2+2x+3，则点 A（1，4）；（2）将点 A、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 AC 的表达式为：y2x+6，点 P（1，4t），则点 D（，4t），设点 Q（，4），SACQDQBCt2+t，0，故 SACQ 有最大值，当

7、 t2 时，其最大值为 1；（3）设点 P（1，m），点 M（x，y），当 EC 是菱形一条边时，当点 M 在点 P 右方时，点 E 向右平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 C，则点 P 向右平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 M，则 1+3x，m3y，而 MPEP 得：1+（m3）2（x1）2+（ym）2，解得：ym3，故点 M（4，）；当点 M 在点 P 左方时，同理可得：点 M（2，3+）；当 EC 是菱形一对角线时，则 EC 中点即为 PM 中点，则 x+13，y+m3，而 PEPC，即 1+（m3）24+m2，解得：m1，故 x2，y3m312，故点 M（2，2）；综

8、上，点 M（4，）或（2，3+）或 M（2，2）中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列思考让我快乐44把函数 C1：yax22ax3a（a0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180，得到新函数C2 的图象，我们称 C2 是 C1 关于点 P 的相关函数C2 的图象的对称轴与 x 轴交点坐标为（t，0）（1）填空：t 的值为2m1（用含 m 的代数式表示）（2）若 a1，当xt 时，函数 C1 的最大值为 y1，最小值为 y2，且 y1y21，求C2 的解析式；（3）当 m0 时，C2 的图象与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧）与 y 轴相交于点 D把

9、线段 AD 原点 O 逆时针旋转 90，得到它的对应线段 AD，若线 AD与 C2 的图象有公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围初三中考冲刺系列中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师思考让我快乐中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列【解答】解：（1）C1：yax22ax3aa（x1）24a，顶点（1，4a）围绕点 P（m，0）旋转 180的对称点为（2m1，4a），C2：ya（x2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x2m1，t2m1，故答案为：2m1；（2）a1 时，C1：y（x1）2+4，当t1 时，x时，有最小值 y2，xt 时，有最大值 y1（t1）2

10、+4，则 y1y2（t1）2+41，无解；1t时，x1 时，有最大值 y14，x时，有最小值 y2（t1）2+4，y1y21（舍去）；当 t时，x1 时，有最大值 y14，xt 时，有最小值 y2（t1）2+4，y1y2（t1）21，解得：t0 或 2（舍去 0），故 C2：y（x2）24x24x；（3）m0，C2：ya（x+1）2+4a，点 A、B、D、A、D的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，3a）、（0，1）、（3a，0），当 a0 时，a 越大，则 OD 越大，则点 D越靠左，当 C2 过点 A时，ya（0+1）2+4a1，解得：a，当 C2 过点 D时，同理可得：a1，故：0a

11、或 a1；当 a0 时，当 C2 过点 D时，3a1，解得：a，故：a；综上，故：0a或 a1 或 a思考让我快乐45已知二次函数 yax2（a0）的图象过点（2，1），点 P（P 与 O 不重合）是图象上的一点，直线 l 过点（0，1）且平行于 x 轴PMl 于点 M，点 F（0，1）（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点 P 在线段 MF 的中垂线上；（3）设直线 PF 交二次函数的图象于另一点 Q，QNl 于点 N，线段 MF 的中垂线交 l 于点 R，求的值；（4）试判断点 R 与以线段 PQ 为直径的圆的位置关系初三中考冲刺系列中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师思考让我

12、快乐中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）yax2（a0）的图象过点（2，1），1a22，即 a，yx2；（2）设二次函数的图象上的点 P（x1，y1），则 M（x1，1），y1x12，即 x124y1，PM|1y1|，又 PF|y11|PM，即 PFPM，点 P 在线段 MF 的中垂线上；（3）连接 RF，R 在线段 MF 的中垂线上，MRFR，又PMPF，PRPR，PMRPFR（SSS），PFRPMR90，RFPF，连接 RQ，又在 RtRFQ 和 RtRNQ 中，Q 在 yx2 的图象上，由（2）结论知QFQN，RQRQ，RtRFQRtRNQ（HL），即 RNF

13、R，即 MRFRRN，1；（4）在PQR 中，由（3）知 PR 平分MRF，QR 平分FRN，PRQ（MRF+FRN）90，点 R 在以线段 PQ 为直径的圆上初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师46如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+2（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线经过点 D（2，3）和点 E（3，2），点 P 是第一象限抛物线上的一个动点（1）求直线 DE 和抛物线的表达式；（2）在 y 轴上取点 F（0，1），连接 PF，PB，当四边形 OBPF 的面积是 7

14、 时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点 P 在抛物线对称轴的右侧时，直线 DE 上存在两点 M，N（点 M在点 N 的上方），且 MN2，动点 Q 从点 P 出发，沿 PMNA 的路线运动到终点 A，当点 Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点 N 的坐标思考让我快乐中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）将点 D、E 的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+x+2，同理可得直线 DE 的表达式为：yx1；（2）如图 1，连接 BF，过点 P 作 PHy 轴交 BF 于点 H，将点 FB 代入一次函数表达式，同理可得直线 BF 的表达

15、式为：yx+1，设点 P（x，x2+x+2），则点 H（x，x+1），S 四边形 OBPFSOBF+SPFB41+PHBO2+2（x2+x+2+x1）7，解得：x2 或，故点 P（2，3）或（，）；（3）当点 P 在抛物线对称轴的右侧时，点 P（2，3），过点 M 作 AMAN，过作点 A直线 DE 的对称点 A，连接 PA交直线 DE 于点 M，此时，点 Q 运动的路径最短，MN2，相当于向上、向右分别平移 2 个单位，故点 A（1，2），AADE，则直线 AA过点 A，则其表达式为：yx+3，联立得 x2，则 AA中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点 A（3，0），同理可得：直线 A

16、P 的表达式为：y3x+9，联立并解得：x，即点 M（，），点 M 沿 ED 向下平移 2个单位得：N（，）初三中考冲刺系列思考让我快乐中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列47如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，且过点 D（2，3）点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值（3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标思考让我快乐中考函数压轴 3（#41-50）讲师

17、：小鞠老师【解答】解：（1）函数的表达式为：ya（x+1）（x3），将点 D 坐标代入上式并解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）设直线 PD 与 y 轴交于点 G，设点 P（m，m22m3），将点 P、D 的坐标代入一次函数表达式：ysx+t 并解得：直线 PD 的表达式为：ymx32m，则 OG3+2m，SPODOG（xDxP）（3+2m）（2m）m2+m+3，10，故 SPOD 有最大值，当 m时，其最大值为；（3）OBOC3，OCBOBC45，ABCOBE，故OBE 与ABC 相似时，分为两种情况：当ACBBOQ 时，AB4，BC3，AC，过点 A 作 AHBC 于点 H

18、，SABCAHBCABOC，解得：AH2，则 sinACB，则 tanACB2，则直线 OQ 的表达式为：y2x，联立并解得：x，故点 Q1（，2），Q2（，2），BACBOQ 时，tanBAC3tanBOQ，则点 Q（n，3n），则直线 OQ 的表达式为：y3x，联立并解得：x，故点 Q3（，），Q4（，）；综上，当OBE 与ABC 相似时，Q 的坐标为：（，2）或（，）或（，2）或（，）初三中考冲刺系列思考让我快乐48如图，抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x2，抛物线与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y轴交于点 C，且点 A 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的函数表达式；（2）

19、将抛物线 yx2+bx+c 图象 x 轴下方部分沿 x 轴向上翻折，保留抛物线在 x 轴上的点和 x轴上方图象，得到的新图象与直线 yt 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 D，E，F，G当以 EF 为直径的圆过点 Q（2，1）时，求 t 的值；（3）在抛物线 yx2+bx+c 上，当 mxn 时，y 的取值范围是 my7，请直接写出 x 的取值范围中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列思考让我快乐中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）抛物线的对称轴是 x2，且过点 A（1，0）点，解得：，抛物线的函数表达式为：yx24x5；（2）yx24

20、x5（x2）29，则 x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y（x2）2+9x2+4x+5，（1x5），其顶点为（2，9）新图象与直线 yt 恒有四个交点，0t9，设 E（x1，y1），F（x2，y2）由解得：x2，以 EF 为直径的圆过点 Q（2，1），EF2|t1|x2x1，即 22|t1|，解得 t，又0t9，t 的值为；初三中考冲刺系列（3）当 m、n 在函数对称轴左侧时，mn2，由题意得：xm 时，y7，xn 时，ym，即：，解得：2x；当 m、n 在对称轴两侧时，x2 时，y 的最小值为9，不合题意；当 m、n 在对称轴右侧时，同理可得：x6；故 x 的取值范围是：2x或x6

21、思考让我快乐中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师49在平面直角坐标系中，已知抛物线 L：yax2+（ca）x+c 经过点 A（3，0）和点 B（0，6），L 关于原点 O 对称的抛物线为 L（1）求抛物线 L 的表达式；（2）点 P 在抛物线 L上，且位于第一象限，过点 P 作 PDy 轴，垂足为 D若POD 与AOB 相似，求符合条件的点 P 的坐标初三中考冲刺系列思考让我快乐中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，L：yx25x6（2）点 A、B 在 L上的对应点分别为 A（3，0）、B（0，6），设抛物线

22、 L的表达式 yx2+bx+6，将 A（3，0）代入 yx2+bx+6，得 b5，抛物线 L的表达式为 yx25x+6，A（3，0），B（0，6），AO3，OB6，设：P（m，m25m+6）（m0），PDy 轴，点 D 的坐标为（0，m25m+6），PDm，ODm25m+6，RtPOD 与 RtAOB 相似，PDOBOA 时，即 m2（m25m+6），解得：m或 4；当PDOAOB 时，同理可得：m1 或 6；P1、P2、P3、P4 均在第一象限，符合条件的点 P 的坐标为（1，2）或（6，12）或（，）或（4，2）初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考函数压轴 3（#41-50）讲

23、师：小鞠老师50如图，直线 yx3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，点 B 的坐标为（1，0），抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A，B，C 三点，抛物线的顶点为点 D，对称轴与 x 轴的交点为点E，点 E 关于原点的对称点为 F，连接 CE，以点 F 为圆心，CE 的长为半径作圆，点 P 为直线yx3 上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）求BDP 周长的最小值；（3）若动点 P 与点 C 不重合，点 Q 为F 上的任意一点，当 PQ 的最大值等于CE 时，过P，Q 两点的直线与抛物线交于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左侧），求四边形 ABMN 的面积思考让我快乐【解

24、答】解：（1）直线 yx3，令 x0，则 y3，令 y0，则 x3，故点 A、C 的坐标为（3，0）、（0，3），则抛物线的表达式为：ya（x3）（x1）a（x24x+3），则 3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+4x3；（2）连接 DB交于直线于 P；此时三角形 BDP 周长BD+PB+PDBD+DB为最小值，D（2，1），则点 G（2，1），即：BGEG，即点 G 是 BB的中点，过点 B（3，2），BDP 周长最小值BD+BB；（3）如图 2 所示，连接 PF 并延长交圆与点 Q，此时 PQ 为最大值，点 A、B、C、E、F 的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，0）、（2，0），则 CE，FQCE，则 PFCECE，设点 P（m，m3），点 F（2，0），PF213（m2）2+（m3）2，解得：m1，故点 P（1，2），将点 P、F 坐标代入一次函数表达式并解得：直线 PF 的表达式为：yx，联立并解得：x，故点 M、N 的坐标分别为：（，）、（，），过点 M、N 分别作 x 轴的垂线交于点 S、R，则 S 四边形 ABMNS 梯形 NRSMSARNSSBM初三中考冲刺系列中考函数压轴 3（#41-50）讲师：小鞠老师