微考点6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（解析版）.pdf

1、微考点 6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似 211222yxyx为定值的情形，通过直线代换可得：21211 2112121 22222266yxkxxkx xxyxkxxkx xx，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”或者在处理斜率比值的时候：1212211212122211)()(xtmxkxxtmxkxtxyxtxyxxtyxtykkPBPA我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到12xx和12xx之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法这

2、样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：联立方程后得到韦达定理：21212121)()()()(xxtnxxtmtgxxtfxx代入之后进行代换消元解题.利用点在椭圆方程上代换题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】【例 1】已知双曲线2222:1(0)3xyCaaa的左顶点为 A，右焦点为 F，P 是直线:2al x 上一点，且 P 不在 x轴上，以点 P 为圆心，线段 PF 的长为半径的圆弧 AF 交 C 的右支于点 N(1)证明：2APNNPF；(2)取1a ，若直线 PF 与 C 的左、右两支分别交于

3、 E，D 两点，过 E 作 l 的垂线，垂足为 R，试判断直线 DR 是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析【分析】（1）过 N 作 l 的垂线，垂足为 H，且与圆弧 AF 交于点 M，则 MNAF，结合圆的知识可得AMNF，MHHN，设点00,N xy，则22002213xyaa，由2NFHN，可得2NFHN，即得AMNFMN（用双曲线的第二定义来说明，也可以），由相等弦长所对的圆心角相等，得APMMPNNPF ，进而求解；（2）设直线 PF 的方程为2xmy，由题意可得33,33m ，联立方程组，结合韦达定理可得12yy，12y y，由

4、题知，直线 DR 的方程为21211122yyyyxx，令0y，化简即可求解.【详解】（1）证明：过 N 作 l 的垂线，垂足为 H，且与圆弧 AF 交于点 M，则 MNAF，连接 AM，PM，NF因为在圆 P 中，PHAFPHMN，所以|AMNFMHHN，由题易知右焦点(2,0)Fa，设点00,N xy，则22002213xyaa，整理得2220033yxa因为2222220000000000223322|2|2222xayxaxaxaxaNFaaaaHNxxxx，所以|2|NFHN，所以|AMNFMN【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以见下：因为直线:2al x 为双曲线2222:

5、1(0)3xyCaaa的准线，根据双曲线的第二定义，可知|2|NFcHNa，即|2|NFHN，即得|AMNFMN】在圆 P 中，由相等弦长所对的圆心角相等，得APMMPNNPF ，所以2APNNPE（2）由题知双曲线22:13yC x ，渐近线为：33yx，右焦点为2,0F，直线 PF 的斜率不为 0，设直线 PF 的方程为2xmy因为直线 PF 与 C 的左，右两支分别交于 E，D 两点，则33,33m 设11222121,2D x yE xyRyyy，联立方程组22213xmyyx，得22311290mymy，则121222129,3131myyy ymm 由题知，直线 DR 的方程为21

6、211122yyyyxx，令0y，得12112112211221212121211113122222242x yymyyymy yyyyyyyxyyyyyyyy21215544yyyy，所以直线 DR 过定点 5,04.【跟踪训练】1.已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点2,0A，3(1,)2B，M，N 为椭圆 E 上关于 x轴对称的两点（不与点 B 重合），1,0Q，直线 MQ 与椭圆 E 交于另一点C，直线QP 垂直于直线 NC，P为垂足(1)求 E 的方程；(2)证明：（i）直线 NC 过定点，（ii）存在定点 R，使 PR 为定值【答案】(1)2214xy；(2)（i

7、）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）设方程为221mxny 0,0,mnmn，代入,A B 点的坐标，得出方程组，求解即得.（2）（i）设 MQ 的方程为10 xtyt，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出 NC 的方程为121112(yyyyxxxx，令0y，整理可得4x，即可得出定点；（ii）由已知可得QPPH，即可得出 P 的轨迹，得出答案.【详解】（1）设 E 的方程为221mxny 0,0,mnmn，则41314mmn，解得141mn，所以 E 的方程为2214xy.（2）（i）依题意，直线 MQ 的斜率存在且不为 0，设 MQ 的方程为10 xtyt，设点1

8、1,C x y，22,M xy，则22,N xy，由22144xtyxy消去 x 并整理得224230tyty，则216480t，12224tyyt，12234y yt，显然121223()ty yyy，直线 NC 的斜率1212NCyykxx，直线 NC 的方程为121112(yyyyxxxx，令0y，则1122 12111212yxxy xx yxxyyyy 21211211ytytyyyy12121224ty yyyyy，所以直线 NC 恒过定点4,0.（ii）令直线 NC 过的定点4,0 为点 H，由0QP NC，P 在 NC 上，得QPPH，则点 P 在以QH 为直径的圆上，从而QH

9、 的中点5(,0)2R为定点，使 PR 为定值 32.【点睛】思路点睛：设 MQ 的方程为10 xtyt，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.2.椭圆 C:222210 xyabab的一个焦点为1,0F，且过点31,2M(1)求椭圆 C 的标准方程和离心率；(2)若过点 2,03 且斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 P 在直线6x 上，且 NP 与 x 轴平行，求直线 MP 恒过的定点【答案】(1)标准方程为 C：22143xy，离心率为12；(2)10,03【分析】（1）法一：由题意可得2222211914cababc，解方程即

10、可求出,a b c，可求出椭圆 C 的标准方程和离心率；法二：由椭圆的定义求出1a ，再结合222bac求出b，可求出椭圆 C 的标准方程和离心率；（2）设方程为23xmy，11,M x y，22,N xy，联立直线 MN 方程和椭圆的方程可得121283my yyy，表示出直线 MP 方程，对称性可知直线 MP 恒过的定点在 x 轴上，令0y，将121283my yyy代入化简即可得出答案.【详解】（1）法一：由题意2222211914cababc，可得222431abc，则椭圆 C 的标准方程为 C：22143xy，离心率为12cea；法二：设椭圆的左焦点为1,0F，则由椭圆的定义知222

11、2335321 11 142222aMFMF，所以2a，又1c ，得2223bac，则椭圆 C 的标准方程为 C：22143xy，离心率为12cea；（2）因为直线 MN 过点 2,03 且斜率不为 0，所以设直线 MN 方程为23xmy，11,M x y，22,N xy，则26,Py，联立2223143xmyxy，消去 x 得，223234403mymy，所以122122043432334myymy ym，所以121283my yyy，直线 MP 方程为122166yyyyxx，由对称性可知直线 MP 恒过的定点在 x 轴上，所以令0y，得212166yxxyy，且1123xmy，所以211

12、2212221212121681668333363ymymy yyyyyxyyyyyy，可得103x，直线 MP 恒过的定点 10,03【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点00,xy，常利用直线的点斜式方程或截距式 ykxb 来证明.题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】

13、【例 1】椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为 4，且椭圆 C 过点33,2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知 A、B 为椭圆 C 的左、右顶点，过右焦点 F 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于点 M、N，直线 AM 与直线4x 交于点 P，记 PA、PF、BN 的斜率分别为1k、2k、3k，问132kkk是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.【答案】(1)22:143xyC；(2)132kkk是定值 2，理由见解析【分析】（1）先求出2a，将33,2代入求出23b ，得到椭圆方程；（2）设直线 MN：1xmy，联立椭圆方程，设1122,M x yN xy，

14、得到两根之和，两根之积，表达出1112ykx，12122ykx，2322yxk，计算出12212113212322kmy yymy ykyk，将两根之积代入，化简得到21211321231434821834yyymkmmmkky，再代入两根之和，得到132kkk是定值 2.【详解】（1）由题意得24a，解得2a，将33,2代入椭圆方程222:14xyCb 中得，233144b，解得23b ，故椭圆方程为22:143xyC（2）因为2a，431c ，所以1,0F，2,0A，2,0B，设直线 MN：1xmy，联立1xmy 与22:143xyC 可得，2234690mymy，223636 340mm

15、 恒成立，设1122,M x yN xy，则12122269,3434myyy ymm，直线 AM：1122yxyx，令4x 得1162yyx，故1164,2yPx，1112ykx，1112160224 12yxykx，2322yxk，则1221122112112113232222222111222yyymyxxykxxkxyymyky22122122212112933433418223439111222212843ymymmymmy yymmmy yymym12221212121343434331834182182148yymyyymymymmmmm222221111183434343424

16、1843621482 318ymymymymmmmmmm.132kkk为定值 2.【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【例 2】已知椭圆 C：22xa 22yb 1(ab0)的左、右顶点分别为 A，B，离心率为12，点 P31,2 为椭圆上一点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）如图，过点 C(0，1)且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线 BN的斜率为 k2，若 k12k2，求直线 l 斜率的值【答案】（1）24x 23y 1；（2）32

17、.【分析】(1)由椭圆的离心率,和点 P31,2 在椭圆上求出椭圆的标准方程;(2)由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 ykx1,设 M(x1，y1)，N(x2，y2),联立方程组消去 y,再将 k12k2 用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线 l 的斜率.【详解】(1)因为椭圆的离心率为12，所以 a2c.又因为 a2b2c2，所以 b3 c.所以椭圆的标准方程为224xc223yc1.又因为点 P31,2 为椭圆上一点，所以214c 2943c1，解得 c1.所以椭圆的标准方程为24x 23y 1.(2)由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 y

18、kx1.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)联立方程组消去 y 可得(34k2)x28kx80.所以由根与系数关系可知 x1x22834kk，x1x22834k.因为 k1112yx，k2222yx，且 k12k2，所以112yx 2222yx.即 21212yx 222242yx.又因为 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，所以21y 34 (421x)，22y 34 (422x)将代入可得：1122xx 224 22xx，即 3x1x210(x1x2)120.所以 32834k102834kk120，即 12k220k30.解得 k 16 或 k 32，又因为 k1，所以 k 3

19、2.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.【跟踪训练】1.已知点 F 为椭圆22:143xyE的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过 F 作直线 l 与椭圆交于 M，N两点(不与 A，B 重合)，记直线 AM 与 BN 的斜率分别为12,k k证明12kk 为定值解析：方法 1.先联221431xyxty，消 x 得22(43)690tyty，易知0，则122122643943tyyty yt 12123()2ty yyy，代入目标信息得，121112121221223()233()32yyykty yykty yy

20、yyy稍作整理，即可得1212121312239322yykkyy，为定值，得证2已知双曲线C：222210,0 xyabab的离心率为2，点3,1在双曲线C 上.过C 的左焦点 F 作直线l交C 的左支于 A、B 两点.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若2,0M，试问：是否存在直线l，使得点 M 在以 AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点4,2P，直线 AP 交直线2x 于点Q.设直线QA、QB 的斜率分别1k、2k，求证：12kk为定值.【答案】(1)22188xy；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析【分析】（1）根据题意列式求,a b c，进而可得双曲线方程；（2）设:4l

21、 xmy，11,A x y，22,B xy，联立方程，利用韦达定理可得4MA MB ，结合圆的性质分析判断；（3）用,A B 两点坐标表示出直线 AP，得点Q 坐标，表示出12,k k，结合韦达定理，证明12kk为定值.【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xyC ab 的离心率为2，且3,1M在双曲线C 上，可得222229112abceacab，解得28a ，28b，所以双曲线的方程为22188xy.（2）双曲线C 的左焦点为4,0F，当直线l 的斜率为 0 时，此时直线为0y，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为 0 时，设:4l xmy，联立方程组2248xmyx

22、y，消 x 得221880mymy，易得0，由于过点 F 作直线l 交C 的左支于,A B 两点，设11,A x y，22,B xy，则12281myym，122801y ym，可得 11m ，因为112,uuurMAxy，222,uuurMBxy，则211212122222uuur uuurMA MBxxy ymymyy y22121222211248164411 mmy ym ymymm，即0MA MB，可得 MA 与 MB 不相互垂直，所以不存在直线l，使得点 M 在以 AB 为直径的圆上.（3）由直线1:24AP ykx，得12,22Qk，所以2121222222222ykykkxmy

23、，又11111224PAyykkxmy，所以12121121121212222222222ymymyykyykkkmymymymy2111112224222myymymk ymymy，因为1112ykmy，所以1112k myy，且1212yymy y，所以1212121212122222m yyyykkmy myyyy，即12kk为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形强化有关直

24、线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题【精选例题】【例 1】已知1,0,1,0BC为 ABC的两个顶点，P 为 ABC的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点 P 的轨迹T 的方程.(2)已知点3,0,2,0,2,0NEF，直线 PN 与曲线T 的另一个公共点为Q，直线 EP 与 FQ 交于点 M，试问：当点 P 变化时，点 M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】(1)221243xyx(2)是，证明见解析【分析】（1）依题意4PBPC，根据

25、椭圆的定义可知 P 的轨迹T 是以 B、C 为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），从而求出椭圆方程；（2）设直线 PQ 的方程为：3xmy，11,P x y，22,Q xy，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到1212523my yyy，再求出直线 PE、QF 的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直线方程.（1）解：因为 P 为 ABC的重心，且边,AC AB 上的两条中线长度之和为 6，所以2643PBPCBC，故由椭圆的定义可知 P 的轨迹T 是以1,0,1,0BC为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且2,1ac，所以3b，所以 P 的轨迹T 的方程为221243xyx；（2

26、）解：设直线 PQ 的方程为：3xmy，11,P x y，22,Q xy，联立方程223143xmyxy得：223418150mymy，则1221834myym，1221534y ym，所以1212523my yyy，又直线 PE 的方程为：11112221yyyxxxmy，又直线QF 的方程为：22222225yyyxxxmy，联立方程11222125yyxmyyyxmy，解得1221212 255my yyyxyy，把1212523my yyy代入上式得：212121212104254333553yyyyxyyyy，所以当点 P 运动时，点 M 恒在定直线43x 上【例 2】已知双曲线 C

27、 的中心为坐标原点，左焦点为2 5,0，离心率为 5(1)求 C 的方程；(2)记 C 的左、右顶点分别为1A，2A，过点4,0的直线与 C 的左支交于 M，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点 P证明:点 P 在定直线上.【答案】(1)221416xy；(2)证明见解析.【分析】（1）由题意求得,a b 的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线1MA 与2NA 的方程，联立直线方程，消去 y，结合韦达定理计算可得2123xx，即交点的横坐标为定值，据此可证得点 P 在定直线=1x 上.【详解】（1）设双曲线方程为222210,

28、0 xyabab，由焦点坐标可知2 5c，则由5cea可得2a，224bca，双曲线方程为221416xy.（2）由(1)可得122,0,2,0AA，设1122,M x yN xy，显然直线的斜率不为 0，所以设直线 MN 的方程为4xmy，且1122m，与221416xy 联立可得224132480mymy，且264(43)0m，则1212223248,4141myyy ymm，直线1MA 的方程为1122yyxx，直线2NA 的方程为2222yyxx，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：2121121211212121222222266yxymymy yyyyxxyxymymy yy

29、112221122483216222141414148483664141mmmyymmmmmyymm ，由2123xx 可得=1x ，即1Px ，据此可得点 P 在定直线=1x 上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.【跟踪训练】1.已知圆221:(5)1Cxy，圆222:(5)25Cxy，动圆C 与圆1C 和圆2C 均相切，且一个内切、一个外切(1)求动圆圆心C 的轨迹 E 的方程(2)已知点(0,2),(0,2)AB，过点(0,1)的直线l 与轨迹

30、 E 交于,M N 两点，记直线 AM 与直线 BN 的交点为P 试问：点 P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由【答案】(1)226 51945xyx；(2)点 P 恒在定直线4y 上【分析】（1）设动圆的圆心为(,)C x y，利用两圆外切和内切的关系得到12126CCCCC C，由椭圆的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；（2）设直线l 的方程为1ykx，直曲联立，结合韦达定理得到121223kx xxx，求出直线 AM 与直线 BN的方程，进而得到点 P 满足的关系式，整理化简可得点 P 恒在定直线4y 上【详解】（1）设点C 的坐标为(,)x

31、y，圆C 的半径为 R 由已知条件，得122 5C C 当动圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切时，121,5CCR CCR，从而12126CCCCC C当动圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切时，121,5CCR CCR，从而12126CCCCC C综上可知，圆心C 的轨迹 E 是以12,C C 为焦点，6 为长轴长的椭圆易得圆1C 与圆2C 交于点6 5 2 5,55与6 52 5,55，所以动圆圆心C 的轨迹 E 的方程为226 51945xyx（2）设直线l 的方程为1ykx，1122,M x yN xy联立直线l 与轨迹 E 的方程，得2216 51945ykxxyx 消去 y 并整

32、理，得226 594182705kxkxx 所以1221894kxxk，1222794x xk，则有121223kx xxx由已知条件，得直线 AM 的方程为11(2)2xxyy，直线 BN 的方程为22(2)2xxyy，则点 P 的坐标(,)x y 满足12212(2)2(2)xyyxyy又22111,1ykxykx，所以1221214623kx xxxyxx把121223kx xxx代入上式，得12212121216662124433xxxxxxyxxxx故点 P 恒在定直线4y 上2.已知椭圆C：222211xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为 A，1F 到直线2AF 的距

33、离为3，且22AF.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过2F 且斜率为 0k k 的直线l 与椭圆C 交于 D，E 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为1A，2A，证明：直线1A D 与2A E 的交点在定直线上.【答案】(1)22143xy；(2)证明见解析【分析】（1）首先求出直线2AF 的方程，利用点到直线的距离公式得到 23bca，再由22AFa，即可求出 a、b，从而求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，设11,D x y，22,E xy，消元，列出韦达定理，即可得到直线1A D、2A E 的方程，设直线1A D 与2A E 的交点坐标为00,xy，求出0 x，即可得解.【详解】（1

34、）依题意可得直线2AF 的方程为1xycb，即0bxcybc，则1F 到直线2AF 的距离为22223bcbcabc.又2222AFbca，222abc，故3b，1c ，所以椭圆C 的标准方程为22143xy.（2）由（1）得2 1,0F，所以直线l 的方程为10yk xk，由221143yk xxy可得22223484120kxk xk，设11,D x y，22,E xy，显然0，所以212228623 443kxxkk，21 2224121513 443kx xkk，故1212542x xxx.由（1）可得12,0A，2 2,0A，则直线1A D 的方程为1122yyxx，直线2A E 的

35、方程为2222yyxx，设直线1A D 与2A E 的交点坐标为00,xy，则1200122222yyxxxx，故212101212012121212212222221222yxk xxxx xxxxyxk xxx xxx12121212121254223912235344222xxxxxxxxxxxx，解得04x，故直线1A D 与2A E 的交点在直线4x 上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为11,xy、22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程，必要时计算 ；（3）列出韦达定理；

36、（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.3.已知椭圆22:104xyWmmm的长轴长为 4，左、右顶点分别为 A，B，经过点 P（1，0）的动直线与椭圆W 相交于不同的两点 C，D（不与点 A，B 重合）(1)求椭圆W 的方程及离心率；(2)若直线 CB 与直线 AD 相交于点 M，判断点 M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由【答案】(1)椭圆方程为2214xy，离心率为32；(2)P 点在定直线4x 上【分析】（1）由长轴长求得m 得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；（2）设动直线方程为1xty，设1122(,),

37、(,)C x yD xy，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,yyy y，写出直线,AC BD 方程，联立求得 P 点横坐标 x，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得4x，即为定直线方程【详解】（1）由题意 2 44m，1m ，所以椭圆方程为2214xy，2a ，1b ，则3c，离心率为32cea；（2）由题意设动直线方程为1xty，设1122(,),(,)C x yD xy，(2,0),(2,0)AB，由22114xtyxy得22(4)230tyty，显然0，1212222344tyyy ytt ，直线 AC 方程为11(2)2yyxx，直线 BD 方程为22(2)2yyxx，联

38、立方程组1122(2)2(2)2yyxxyyxx，得1221211221122(22)22x yx yyyxx yx yyy又112211xtyxty，代入得1221212(23)3ty yyyxyy，由12224tyyt，12234y yt 得121223yyty y，即121223()ty yyy，所以12212123()343yyyyxyy，所以 P 点在定直线4x 上【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为1122(,),(,)x yxy，设出动直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线方程，本题中对横坐

39、标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对称性确定定直线与 x 轴垂直，再坐标特殊值（如动直线与 x 轴垂直）求得定直线方程，然后只要验证一般情形即可（这个寻找过程在解题中还不必反映出来）1已知椭圆 E 的左、右焦点分别为1,0Fc，2,00Fcc，点 M 在椭圆 E 上，212MFF F，12MF F的周长为 42 3，面积为 12 c(1)求椭圆 E 的方程(2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A，B，过点1,0 的直线 l 与椭圆 E 交于 C，D 两点（不同于左右顶点），记直线 AC 的斜率为1k，直线 BD 的斜率为2k，问是否存在实常数，使得12kk

40、，恒成立？若成立，求出 的值，若不成立，说明理由【答案】(1)2214xy(2)存在实数13【分析】（1）根据焦点三角形面积及周长列方程求出,a b,即可写出椭圆方程；（2）先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算11221222kyxkxy化简求解即可.【详解】（1）依题意，得222242 311224acbbcccaa，即22312acba，解得2241ab，所以椭圆 E 的方程为2214xy（2）依题意，可设直线 l 的方程为1xty，联立方程22141xyxty，化简整理，得224230tyty，易得0 恒成立，设11,C x y，22,D xy，由韦达定理，得1221

41、222434tyyty yt，可得121232ty yyy，于是11221222kyxkxy212112122123xytyyxytyy121121122122323332yyyty yyty yyyyy121212121313122239333222yyyyyyyy，故存在实数13，使得12kk恒成立2椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别为 A，B，过左焦点(1,0)F 的直线与椭圆交于 C，D 两点（其中 C 点位于 x 轴上方），当 CD 垂直于 x 轴时，3.CD(1)求椭圆的方程；(2)记直线 AC，BD 的斜率分别为12,k k，问；12kk 是否为定值，若是，求出该定

42、值；若不是，请说明理由【答案】(1)22143xy(2)是定值，定值为 3【分析】（1）根据题意结合通径长即可求出椭圆的标准方程.（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，将12kk 表示出化简即可.【详解】（1）因为椭圆22221xyab 的左焦点为(1,0)F，所以221ab，将=1x 代入22221xyab，得2bya，故223bCDa，所以2312aa解得24a，所以23b ，所以椭圆方程为22143xy.（2）因为直线 CD 过点(1,0)F，且点 C 位于 x 轴上方，所以直线 CD 斜率不为 0，设直线 CD 的方程为1xmy，联立221431xyxmy 消去 x 得

43、，2234690.mymy方程22(34)690mymy的判别式2223636 341441440mmm，设1122(,),(,)C x yD xy，由已知10y，于是12122269,03434myyy ymm，所以121223,02my yyyy，又椭圆22143xy 的左顶点 A 的坐标为(2,0)，右顶点 B 的坐标为（2，0），所以121212,22yykkxx，因为12120,0,22,22yyxx ，所以120,0kk，所以112121112122212112222323212yyxymykxmy yyykyxymymy yyx121121221239332223331222yy

44、yyyyyyyy所以12kk 定值，定值为 33已知圆221:(5)1Cxy，圆222:(5)25Cxy，动圆C 与圆1C 和圆2C 均相切，且一个内切、一个外切(1)求动圆圆心C 的轨迹 E 的方程(2)已知点(0,2),(0,2)AB，过点(0,1)的直线l 与轨迹 E 交于,M N 两点，记直线 AM 与直线 BN 的交点为P 试问：点 P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由【答案】(1)226 51945xyx(2)点 P 恒在定直线4y 上【分析】（1）设动圆的圆心为(,)C x y，利用两圆外切和内切的关系得到12126CCCCC C，由椭圆的定义即可得到动

45、点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；（2）设直线l 的方程为1ykx，直曲联立，结合韦达定理得到121223kx xxx，求出直线 AM 与直线 BN的方程，进而得到点 P 满足的关系式，整理化简可得点 P 恒在定直线4y 上【详解】（1）设点C 的坐标为(,)x y，圆C 的半径为 R 由已知条件，得122 5C C 当动圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切时，121,5CCR CCR，从而12126CCCCC C当动圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切时，121,5CCR CCR，从而12126CCCCC C综上可知，圆心C 的轨迹 E 是以12,C C 为焦点，6 为长轴长的椭圆易得圆

46、1C 与圆2C 交于点6 5 2 5,55与6 52 5,55，所以动圆圆心C 的轨迹 E 的方程为226 51945xyx（2）设直线l 的方程为1ykx，1122,M x yN xy联立直线l 与轨迹 E 的方程，得2216 51945ykxxyx 消去 y 并整理，得226 594182705kxkxx 所以1221894kxxk，1222794x xk，则有121223kx xxx由已知条件，得直线 AM 的方程为11(2)2xxyy，直线 BN 的方程为22(2)2xxyy，则点 P 的坐标(,)x y 满足12212(2)2(2)xyyxyy又22111,1ykxykx，所以122

47、1214623kx xxxyxx把121223kx xxx代入上式，得12212121216662124433xxxxxxyxxxx故点 P 恒在定直线4y 上4已知椭圆22:104xyWmmm的长轴长为 4，左、右顶点分别为 A，B，经过点 P（1，0）的动直线与椭圆W 相交于不同的两点 C，D（不与点 A，B 重合）(1)求椭圆W 的方程及离心率；(2)若直线 CB 与直线 AD 相交于点 M，判断点 M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由【答案】(1)椭圆方程为2214xy，离心率为32；(2)P 点在定直线4x 上【分析】（1）由长轴长求得m 得椭圆方程，然

48、后由离心率公式离心率；（2）设动直线方程为1xty，设1122(,),(,)C x yD xy，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,yyy y，写出直线,AC BD 方程，联立求得 P 点横坐标 x，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得4x，即为定直线方程【详解】（1）由题意 2 44m，1m ，所以椭圆方程为2214xy，2a ，1b ，则3c，离心率为32cea；（2）由题意设动直线方程为1xty，设1122(,),(,)C x yD xy，(2,0),(2,0)AB，由22114xtyxy得22(4)230tyty，显然0，1212222344tyyy ytt ，直线 AC

49、方程为11(2)2yyxx，直线 BD 方程为22(2)2yyxx，联立方程组1122(2)2(2)2yyxxyyxx，得1221211221122(22)22x yx yyyxx yx yyy又112211xtyxty，代入得1221212(23)3ty yyyxyy，由12224tyyt，12234y yt 得121223yyty y，即121223()ty yyy，所以12212123()343yyyyxyy，所以 P 点在定直线4x 上【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为1122(,),(,)x yxy，设出动直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点

50、坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对称性确定定直线与 x 轴垂直，再坐标特殊值（如动直线与 x 轴垂直）求得定直线方程，然后只要验证一般情形即可（这个寻找过程在解题中还不必反映出来）5已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，O 为坐标原点，点31,2P在椭圆 C 上，且252PF，直线l 过点1F 且与椭圆 C 交于 A，B 两点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知11OFF M，22OFF N，若直线 AM，BN 交于点 D，探究：点 D 是否在某定直

51、线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由【答案】(1)22143xy(2)点 D 在直线4x 上【分析】（1）利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可；（2）由题意先确定 M、N 位置，设直线l 与 A、B 坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出 A、B 纵坐标关系式，再利用点 A、B 坐标表示直线 AM、BN，法一、求出 D 点横坐标化简计算即可；法二、直接利用直线 AM、BN 方程作比计算22DDxx为定值，计算即可.【详解】（1）设1,0Fc，2,0Fc，(0)c，则2295(1)42PFc，则2(1)4c，解得1c （3c 舍去），则221ab，代入点31,

52、2P得221914ab，联立，解得24a，23b ，故椭圆 C 的标准方程为22143xy；（2）依题意，2,0M，2,0N，设直线:1l xmy，联立22134120 xmyxy，整理得2234690mymy，2223636 34144 10mmm；设11,A x y，22,B xy，则122634myym，122934y ym，所以1212230my yyy.可设直线11:22yAMyxx，直线11:22yBN yxx，法一：联立11222,22,2yyxxyyxx得2112211222222Dyxyxxyxyx21121221211221132322133ymyymymy yyyymyy

53、myyy121221212323243my yyyyyyy，故点 D 在直线4x 上法二：故1221221122121211211233122122239322333222DDyyyyyyxxmy yyxyxmy yyyyyyy，解得4Dx ，故点 D 在直线4x 上【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,x yxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程，必要时计算 ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x（或12yy、12y y）的形式；（5）代入韦

54、达定理求解.6已知椭圆 E：222210 xyabab，2 2,0F为椭圆 E 的右焦点，三点 3 3 1,22，3 3 1,22，12,3中恰有两点在椭圆 E 上.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点,A B 为椭圆 E 的左右端点，过点2,0M作直线交椭圆 E 于 P，Q 两点（不同于,A B），求证：直线AP 与直线 BQ 的交点 N 在定直线上运动，并求出该直线的方程.【答案】(1)2219xy(2)证明见解析，92x【分析】（1）由对称性得到点 3 3 1,22，3 3 1,22在椭圆 E 上，结合焦点坐标，得到方程组，求出29a，21b ，求出椭圆方程；（2）设直线 PQ 的方

55、程为2xmy，联立椭圆方程，设11,P x y，22,Q xy，00,N xy，得到两根之和，两根之积，由,A P N 和,B Q N 共线得到方程组，联立后得到00353xx，求出092x，得到交点 N 在定直线上，并求出该直线的方程.【详解】（1）因为 2 2,0F为椭圆 E 的右焦点，所以228ab,由对称性得，点 3 3 1,22，3 3 1,22在椭圆 E 上，代入得22271144ab,联立解得，29a，21b ，所以椭圆 E 的标准方程为：2219xy.（2）由条件知直线 PQ 与直线 AB 不重合，故直线 PQ 的斜率不为 0，设直线 PQ 的方程为2xmy，联立22192xy

56、xmy，可得229450mymy，设11,P x y，22,Q xy，00,N xy，则12249myym，12259y ym，121254yymy y，由（1）可得3 0A ,，3,0B，由,A P N 共线得：011011335xxmyyyy，由,B Q N 共线得：022022331xxmyyyy，由消去0y 并整理得，12201220121121553545534yyyxmy yyxmy yyyyy，即00353xx，所以092x，综上所述，直线 AP 与直线 BQ 的交点 N 在定直线92x 上运动.【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）

57、直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.7已知 F 是椭圆2222:10 xyCabab的左焦点，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为32，MOF的面积的最大值为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)A，B 为椭圆的左，右顶点，点1,0P，当 M 不与 A，B 重合时，射线 MP 交椭圆C 于点 N，直线 AM，BN 交于点T，求ATB的最大值.【答案】(1)2214xy(2)6【分析】（1）根据条件，列出关于,a b c 的方程，即可求解；（2）首先设直线 MN 的方程为1xmy，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并利用坐标表示直线,AM BN 的方程，并且

58、联立方程求点T 的轨迹方程，再利用两直线的倾斜角表示ATB,利用斜率表示 tanATB，再利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由222321322cacbabc，解得2a，1b ，3c 所以椭圆 E 的方程为2214xy.（2）由题知 MN 不与 x 轴重合，设直线 MN 的方程为1xmy，联立方程组22141xyxmy，消 x 整理得224230mymy，22241244810mmm，设11,M x y、22,N xy，则12224myym，12234y ym.因为 AM 的方程为1122yyxx，AN 的方程为2222yyxx两直线方程联立得：1212121212112221 22221

59、23yxymymy yyxxyxymymy yy 因为121223342mmy yyym.所以121121221231321222339233222yyyyyxxyyyyy，解得4x.所以动点T 的轨迹方程为40 xy由椭圆的对称性不妨设 4,0Ttt，直线TA、TB 的倾斜角为，由图可知，且0，因为ATB，则tantantantan1tantanATB，因为 tan6TAtk，tan2TBtk，所以2234444326tan12123124 31122612tttATBtttttttt当且仅当2 3t 时等号成立，此时 4,2 3T，6ATB，所以ATB的最大值为 6.【点睛】关键点点睛：本

60、题考查直线与椭圆的位置关系，动点轨迹，第二问的关键是根据韦达定理，联立两直线方程可化简求得点T 的轨迹，再利用倾斜角表示ATB.8已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，右焦点为 3,0F，A，B 分别为椭圆C 的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点1,0D作斜率不为 0 的直线l，直线l 与椭圆C 交于 P，Q 两点，记直线 AP 的斜率为1k，直线 BQ 的斜率为2k，求证：12kk 为定值；(3)在（2）的条件下，直线 AP 与直线 BQ 交于点 M，求证：点 M 在定直线上.【答案】(1)2214xy(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的几何

61、性质列出方程组求出,a b c，即可得出椭圆C 的方程；（2）设11,P x y，22,Q xy，直线l 的方程为1xty，与椭圆方程联立得到1212,yyy y，代入12kk 的表达式，即可得出12kk 为定值；（3）根据（1）中的结论，设1km，则23km，求出直线 AP、BQ 的方程，联立即可求出点 M 的坐标，从而可知其在定直线上【详解】（1）依题可得323ceac ，解得23ac，所以2221bac，所以椭圆C 的方程为2214xy（2）设11,P x y，22,Q xy，因为直线l 过点1,0D且斜率不为 0，所以可设l 的方程为1xty，代入椭圆方程2214xy 得224230t

62、yty，其判别式2241240tt，所以12224tyyt，12234y yt.两式相除得121223yyty y，即121232ty yyy因为,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，所以点 A 的坐标为2,0，点 B 的坐标为2,0，所以1111123yykxty，2222221yykxty 从而1211211212221122313123393323yyyy tykyyyykytyyyy（3）由（1）知1231kk，设1km，则23km，所以直线 AP 的方程为2ymxm，直线 BQ 的方程为36ymxm，联立236ymxmymxm可得46xym，所以直线 AP 与直线 BQ 的交点 M 的坐标为4,6m，所以点 M 在定直线4x 上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为11,xy、22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程，必要时计算 ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.