相交线与平行线（6常考点 4核心 3思想 6拐点模型 5易错 押题预测）.pdf

1、七年级数学下学期期中复习相交线与平行线01020403目录易错易混题型剖析考点梳理押题预测六大常考点：考点梳理+针对训练四大核心考点整合+三大思想方法整合+六大拐点模型五大易错易混经典例题精选3道期中真题对应考点练相等最短一条/相等互补相等知识结构12ABCDO43 找出图中的邻补角：1和2，2和3，3和4，4和1都互为邻补角.邻补角的性质：邻补角互补 找出图中的对顶角：对顶角的性质：对顶角相等1和3，2和4都互为对顶角.考点梳理考点1.邻补角、对顶角对顶角邻补角特 征两条直线相交形成的角 有公共顶点没有公共边两条直线相交而成的角有公共顶点有一条公共边性 质对顶角相等邻补角互补相同点都是两条直

2、线相交而成的角都有一个公共顶点都是成对出现的不同点有无公共边两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对针对训练1.如图是一把剪刀，若AOB+COD=60，则AOC的度数为()DA.120B.130C.140D.1502.如图，直线AB，CD相交于点O，若EOC:EOD=4:5，OA平分EOC，则BOE=_.140（1）垂线的定义具有双重作用 知线垂直得直角；知直角得线垂直.如图，若 ABCD，则AOD=AOC=BOC=BOD=90；若AOD=90，则 ABCD.ABCDO考点梳理考点2.垂线（2）垂线的性质在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.可以在已知直线上，也可以在已知直线外

3、“有”指存在，“只有”指唯一性lA垂线段最短.PlOA1A2A3考点梳理PlOA1A2A3（3）点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度.线段PO的长即为点P到直线l的距离考点梳理垂线垂线段点到直线的距离图示区别联系垂线是一条直线垂线段是一条线段垂线段的长度，是一个数量它们都与垂直有关lPOlPOlPO垂线、垂线段、点到直线的距离三者的区别和联系考点梳理3.2024阳江期中 如图，现要从村庄A修建一条连接公路CD的最短小路，过点A作AB CD于点B，沿AB修建公路，则这样做的理由是()CA.过一点可以作无数条直线B.两点之间，线段最短C.垂线段最短D.两点确定一条直线针对训练4.在直线

4、AB上任取一点E，过点E作射线EC，ED，使EC ED.如果AEC=40，那么BED的度数为_.50 或130【点拨】分两种情况：如图，当EC,ED在AB的同一侧时，EC ED，CED=90.又 AEC=40,BED=180 CED AEC=50;如图，当EC,ED在AB的两侧时，EC ED，CED=90.又 AEC=40,AED=50.BED=180 AED=130.BAFE1423DC5867 找出图中的同位角：1和5，2和6，3和7，4和8 找出图中的内错角：3和5，4和6 找出图中的同旁内角：3和6，4和5三线八角考点梳理考点3.三线八角角的名称位置特征基本图形形象记法共同特征同位角截

5、线：_被截线：_内错角截线：_被截线：_同旁内角截线：_被截线：_同侧同侧FZU两侧之间同旁之间都没有公共顶点1535365.如图，同位角有m对，内错角有n对，同旁内角有p对，则m+n+p的值是()CA.8B.16C.32D.64针对训练6.如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角；【解】同位角：1与5，2与6;内错角：3与6，4与5;同旁内角：3与5，4与6.考点4.平行线及其性质与判定1.平行线的概念（1）平行线基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.若点在直线上，不可能有平行线存在且唯一（2）平行线基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直

6、线也互相平行.abc符号语言：如果 ba，ca，那么 bc.考点梳理文字简述符号语言图示同位角相等，两直线平行_（已知），ab内错角相等，两直线平行_（已知），ab同旁内角互补，两直线平行_（已知），ab1=41=21+3=180abc31242.平行线的判定考点梳理3.平行线的性质文字简述符号语言图示两直线平行，同位角相等ab（已知），_两直线平行，内错角相等ab（已知），_两直线平行，同旁内角互补ab（已知），_1=41=21+3=180abc3124考点梳理角的数量关系线的位置关系判定性质同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行条件结论结论条件判定性质4.平行线的性质与判定的区别和联系

7、考点梳理（1）定义法.（2）基本事实的推论：若 ab，bc，则 ac.（3）判定方法1：同位角相等，两直线平行.（4）判定方法2：内错角相等，两直线平行.（5）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.（6）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.5.归纳：判断平行的方法考点梳理7.如图是一个可折叠衣架，AB是地平线，当PM/AB，PN/AB时，就可以确定点N,P,M在同一直线上，这样判定的依据是()AA.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行B.内错角相等，两直线平行C.两点确定一条直线D.平行于同一直线的两直线平行针对训练8.2024重庆一中期末 如图，直线m/n,1=65，2=60

8、，则3的度数是()CA.65B.60C.55D.50针对训练9.为响应国家新能源建设的号召，某市公交站台装上了太阳能电池板.已知，当地某一季节的太阳光线（平行光线）与水平线的最大夹角为64，如图，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，此时电池板CD与水平线夹角为46，要使AB/CD，需将电池板CD逆时针旋转m(0 m 90)，则m=_.2010.（2024杭州期中）将一条两边沿互相平行的纸带折叠，如图，设1为x，请用关于x的式子表示 的度数，则=_.90 12 x【点拨】如图，AB/CD，5=1=x，3=.由折叠易知3=4=12 (180 5)=90 12 x.=90 12 x.11.【

9、生活现象】如图，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成.【数学模型】如图是杆秤的示意图，AC/BD，经测量发现A=104，BOE=76，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由.【解】OE/BD.理由如下：AC/BD，A+ABD=180.又 A=104,ABD=180 104=76.又 BOE=76,ABD=BOE.OE/BD.12.如图，在四边形ABCD中，AD/BC,B=80.（1）求BAD的度数；【解】AD/BC,B+BAD=180.又 B=80,BAD=100.（2）AE平分BAD交BC于点E,BC

10、D=50.求证：AE/DC.【证明】AE平分BAD,BAD=100,DAE=50.又 AD/BC,AEB=DAE=50.又 BCD=50,AE=BCD.AE/DC.考点5 定义、命题、定理定义、命题、定理定义对数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义命题分类概念可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述句叫作命题真命题经过推理证实的真命题叫作定理假命题形式如果那么证明很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明13.下列句子，不是命题的是()BA.两直线平行，同位角相等B.直线AB垂直于CD吗？C.如果|a|=|b|，那么a2=b2D.对顶角相等针对训练14

11、.下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的是()CA.k=16B.k=8C.k=2D.k=115.如图，给出下列命题：1=2，AB/DC；4=5，AD/BC；ABC+ACB+2=180，AB/CD；3=ABD，AD/BC.其中真命题有 _.（填序号）16.把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果那么”的形式是_.如果两数同号，那么这两个数的积是正数考点6 平移平移概念两要素作图性质平移前后图形的形状和大小完全相同对应线段平行(或在同一直线上)且相等对应点所连线段平行(或在同一直线上)且相等平移的方向、平移的距离一定、二找、三作、四连在平面内，将一个图形按某一方向移动一

12、定距离17.2024苏州姑苏区期末 下列物体的运动中，属于平移的是()AA.电梯上下移动B.翻开数学课本C.电扇扇叶转动D.落叶随风飘零针对训练18.如图，三角形ABC沿着直线BC向右平移得到三角形DEF，则下列结论中：BE=CF；AB/DE；AG=GD；ACB=DFE.其中结论正确的序号是_.19.如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为_平方米.48考点1 相交线1.2024 宁波鄞州区期末 如图，被所截，则的同位角是()AA.B.C.D.四大核心考点整合题型剖析2.2024 雅安 如图，直线，交于点，

13、于点，若=，则的度数是()AA.B.C.D.3.合理利用资源，防止环境污染，保持生态平衡，是环境保护的重要任务.如图，污水处理厂要从处把处理过的水引入排水沟，方法如下：过点作 于点.沿着方向铺设排水管道用料最省.能准确解释这一现象的数学知识是_.垂线段最短4.如图，若=，则=_；当剪刀口增大 时，增大_.考点2 平行线的判定与性质5.2024 广东 如图，一把直尺、两个含 的三角尺拼接在一起，则的度数为()A.B.C.D.C6.2024 苏州 如图，/，若=，=，则的度数为()BA.B.C.D.AA.=B.+=C.=D.=7.2024 金华义乌月考 如图，在下列给出的条件中，不能判定/的是()

14、8.(2024石家庄裕华区期末）光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行.若=，=，则+=_.（第8题）9.为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车.如图是一辆共享单车放在水平地面上的简易示意图，其中，都与地面平行，=，=.当=_ 时，与平行.73（第9题）10.如图，已知/，于点，=，=，则的度数是_.解析 点拨：如图，过点作/，过点作/，=，+=.，=，=./，/，/，/，/，=，=.=+=，=，=.=，=+=+=，=，=+=+=.考点3

15、定义、命题、定理11.下列命题中，是真命题的是()CA.相等的两个角是对顶角B.同位角相等C.若|=|，则=D.若一个数能被2整除，则它也能被4整除12.如图，已知/，直线与直线有交点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是()A.=B.=C.=D.=D考点4 平移13.如图，已知线段是由线段平移得到的，且=，=，则三角形的周长是()DA.B.C.D.14.如图，把直角梯形沿方向平移到梯形，=，=，=，则阴影部分的面积是_.解析 点拨：直角梯形沿方向平移得到梯形，=，=().根据平移的性质，得阴影部分+梯形=梯形+梯形，阴影=梯形=(+)=(+)=().思想1 方程思想15.

16、如图，已知/，:=:.求，的度数.三大思想方法整合解：设=，则=，=./，+=，+=，=，=.又 +=，()+()+=，解得=，=，=，=.16.（2024潘阳月考）【课本再现】（1）如图，直线AB，CD相交于点O，EO AB，垂足为O.EOC=35，求AOD的度数；【解】EO AB，EOB=90.又 EOC=35，BOC=EOC+BOE=35+90=125.又 AOD=BOC,AOD=125.【变式探究】（2）如图，直线AB，CD相交于点O，OE AB，垂足为O.若AOC:COB=3:7，求EOC的度数.【解】由题意设AOC=3x，则COB=7x.AOC+COB=180，3x+7x=180，

17、解得x=18.AOC=3x=54.OE AB，EOA=90.EOC=90 54=36.思想2 分类讨论思想17.若 与 的两边分别平行，比 的3倍少，则 的度数是_.或解析 点拨：与 的两边分别平行，与 相等或互补.设=，比 的3倍少，=.若 与 相等，则=，解得=，=；若 与 互补，则+=，解得=，=.的度数是 或.18.2024嘉兴期中 已知直线AB/CD，点P，Q分别在直线AB，CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向以每秒1 的速度旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转.（1）若射线PB，QC同时开始旋转，当旋转时间

18、为30秒时，PB与QC的位置关系为_.PB QC【点拨】当旋转时间为30秒时，由已知，得BPB=4 30=120，CQC=1 30=30.如图，设PB与QC交于点E，过点E作EF/AB，则易知EF/CD/AB，PEF=180 BPB=60，QEF=CQC=30.PEQ=PEF+QEF=90.PB QC.（2）若射线QC先旋转45秒，射线PB才开始旋转，当射线PB旋转的时间为多少时，PB/CQ？【解】设PB与CD交于点F，射线PB旋转t秒时，PB/CQ.当0 t 45时，第一次平行，如图，由题知BPB=(4t)，CQC=45+t.AB/CD，PB/CQ，BPB=PFC=CQC，即4t=45+t，

19、解得t=15；当45 t 90时，第二次平行，如图，易知APB=(4t)180，CQC=t+45.AB/CD，PB/CQ，APB=PFD=180 CQC，即4t 180=180 (45+t)，解得t=63；当90 t 135时，第三次平行，如图，易知BPB=(4t)360，CQC=t+45.AB/CD，PB/CQ，BPB=CQC，即4t 360=t+45，解得t=135.综上所述，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB/CQ.思想3 类比思想18.已知/，的平分线与的平分线相交于点.（1）如图，若=，求的度数；解：如图，过点向左侧作/，过点向右侧作/.则=,+=./，/,/，=

20、，+=，+=.+=，+=.的平分线和的平分线相交于点，=，=，+=(+)=，=+=+=.（2）如图，=，=，写出与之间的数量关系，并证明你的结论；解：+=.证明如下：=，=，=，=.的平分线与的平分线相交于点，=，=，由（1）知+=，+=.易证=+，+=.（3）若=，=，设=，则=_.（用含有，的式子表示）模型归纳过拐点作其中一条直线的平行线，然后利用平行线的性质求解。1.单拐点模型平行线中常见模型2.多拐点模型模型一 单拐点模型类型1“”形图1.如图，/,为,之间的一点，已知=,=，求的度数。答案 解法一：过点作射线/,如图所示。因为/，/,所以/，=。所以=，所以=。所以=。解法二：过点作

21、射线/,如图所示。因为/，/,所以/，+=。所以=。因为+=,所以=。所以=。类型2“”形图2.小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面。当车牌被自动识别后，“曲臂直杆道闸”CA.B.C.D.的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中+始终等于()类型3“”形图3.如图，=,=,=。请问：与平行吗？请说明理由。解：/。理由如下：如图，过点作/，所以=。因为=，所以=。因为=，所以+=，所以/。又因为/，所以/。类型4“”形图4.如图，/,则,有何数量关系？为什么？解：=。理由如下：如图，过点作/,所以=。

22、因为/,/,所以/，所以=，所以=。类型5“”形图5.如图，已知/，=，=，求的度数。解：如图,过点作/。因为/，/，所以/，=。所以=。所以=+=+=。所以=。模型二 多拐点模型6.如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，求+的度数。解：如图，分别过点，作的平行线，由题意知/，所以/，则+=，+=，+=，所以+=，即+=。7.如图，已知/，/，试说明=。解：如图，作/，/，所以=，=。因为/，所以/，所以=。因为/，所以=，所以=，所以=。8.如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐，第二次拐弯形成的拐角=，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯前的

23、道路平行，那么第三次是如何拐弯的？解：如图，过点作/，延长到点。因为/，/，所以/。因为第一次向右拐，所以=，所以=。因为=，所以=。又因为/，所以=。所以第三次应向左拐。易混易错1.2024 湖州吴兴区期中 请阅读以下“预防近视”知识卡：读书、写字、看书姿势要端正.一般人正常的阅读角度约为 俯角（如右图视线与水平线的夹角）.在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括:眼与书本的距离1尺;身体与桌子距离1拳;握笔时，手指离笔尖1寸.书本与课桌的角度要保持在.如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且坐椅高度适合时，视线和书本所在平面

24、所成角不可能为以下哪个角度？()DA.B.C.D.押题预测2.2024 无锡锡山区期中 如图，/，=，=，则+=_.27（第2题）解析 点拨：如图，作/，/，=，=./，/，+=.+=，+=，+=，+=+=(+)=.3.2024济南期中【阅读探究】（1）如图，/，分别是，上的点，点在，两平行线之间，=，=，求的度数.解：如图，过点作/，=_./，/.=_.=，=，=+=+=+=.（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.进一步研究，我们可以发现图中，和之间存在一定的数量关系，它们之间的数量关系为_.=+【方法应用】（3）如图，/，分别是，上的点，点在，两平行线之间，=，=，求的度数.解：如图，过点作/，=，=./，/，=，=+=+=.【应用拓展】（4）如图，/，分别是，上的点，点在，两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线，之间），若=，则的度数为_（用含 的式子表示）.()解析 点拨：根据（3）得=+=，分别平分和，=()=，=()=.根据（1）得=+,=+=+=(+)=().