专题03 实数的概念、平方根和开平方（2大考点 8种题型）（解析版）.docx

1、专题03 实数的概念、平方根和开平方（2大考点+8种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：实数的概念考点二：开平方题型一：实数的概念题型二：求一个数的算数平方根题型三：利用算术平方根的非负性解题题型四： 算术平方根的实际应用题型五：平方根概念理解题型六：求一个数的平方根题型七： 已知一个数的平方根，求这个数题型八：利用平方根解方程考点一：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数注意：1)整数和分数统称为有理数；2)圆周率是一个无理数2、无理数也有正、负之分如、等这样的数叫做正无理数；、这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数3、有理数和无理数统称为实数（

2、1）按定义分类（2）按性质符号分类考点二：开平方定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方1、 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根这个数叫做被开方数如，的平方根是说明：1) 只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2) 平方和开平方互为逆运算3、 算术平方根：正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0题型一：实数的概念【例1】（

3、2023下上海七年级校考期中）在，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（）A个B个C个D个【答案】A【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数【详解】，无理数为：（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）故选：A【变式1】（2023下七年级单元测试）在数字，3.33，0，2.121121112（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】根据无理数的定义逐个判断即可无限不循环小数叫无理数，常见形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.101001000

4、等；含的基本都是无理数【详解】解：无理数有：，2.121121112（相邻两个2之间1的个数逐次多1），共3个，故选：B【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题的关键【变式2】（2023下七年级单元测试）下列实数中，是无理数的是（ ）ABCD【答案】D【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【详解】解：A，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；C是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；D是无理数，故本选项

5、符合题意故选：D【点睛】本题考查无理数的定义，会判断无理数解题的关键是了解它的三种形式：开方开不尽的数，如：；无限不循环小数，如：02020020002（相邻两个2中间依次多1个0）；含有的数，如：【变式3】（2021下上海七年级校考期中）在，0，中，无理数有 （具体填出）【答案】， 【分析】分别根据无理数、有理数的定义解答即可【详解】解： 0， ，是有理数；， ，是无理数故答案为：， 【点睛】本题考查了无理数、有理数的定义，本题的关键是掌握无理数的几种形式，如，（每两个8之间依次多1个等【变式4】（2023下上海奉贤七年级校考期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”

6、，请模仿这种方法，说明是无理数阅读材料：“无理数”的由来为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数再设，其中m是整数，就有：，也就是：，所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数解：假设是一个有理数则（a、b是整数且a、b互素且），则，两边同时平方得：_，所以：，可得：，所以：_，因为：_，所以：是一个无理数【答案】；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾【分析】仿照题干方法进行证明即可【详解】假设是一个有理数则（a、

7、b是整数且a、b互素且），则，两边同时平方得：，所以：，可得：，所以：，因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾，所以：是一个无理数【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键题型二：求一个数的算数平方根【例2】（2023下上海浦东新七年级校考期中）的算术平方根是（）A2B2C4D4【答案】A【分析】由，再求出算术平方根即可【详解】因为，可知4的算术平方根是2故选：A【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键【变式1】（2023下上海七年级专题练习）的算术平方根是（）ABCD【答案】A【分析】此题主要考查了算术平方根的定

8、义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别直接根据算术平方根的定义即可求出结果【详解】解：故选：A【变式2】（2023下上海宝山七年级校考期中）下列各式计算正确的是（）ABCD【答案】C【分析】根据算术平方根的定义求解即可【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；B、负数没有算式平方根，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算正确，符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，若一个正数x的平方等于a，即，则这个正数x叫做a的算术平方根【变式3】（2023下上海虹口七年级校联考期末）已知是正整数，则实数的最大值为（）A2022

9、B2023C2024D2025【答案】A【分析】由题意可得，要使要使是正整数，即可得出当n最大取2022时，是正整数【详解】解：，要使是正整数，即当时，故选：A【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键【变式4】（2023下上海奉贤七年级校考期中）如图正方形的面积为，正方形面积为，求的面积（结果保留两个有效数字）【答案】【分析】求出两个正方形的边长，列式可算得答案【详解】解：正方形的面积为，正方形面积为，的面积约为【点睛】本题考查平方根的计算，解题的关键是掌握正方形面积公式题型三：利用算术平方根的非负性解题【例3】（2022上上海七年级专题练习）已知，则

10、 【答案】10【分析】根据非负数的性质，即可求得a，b，c的值，进而求得的值【详解】解：根据题意得：，解得则故答案是：10【点睛】本题考查了非负数的性质解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零【变式1】（2023下上海嘉定七年级校考阶段练习）已知与互为相反数，则的值为 【答案】/【分析】根据非负数的性质得到，进一步计算即可求解【详解】解：解：与互为相反数，即，故答案为：【点睛】本题考查了非负数的性质解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0【变式2】（2023下上海徐汇七年级上海市第四中学校考期中），则 【答案】9【分析】根据算术平

11、方根的非负性，求出的值，代入代数式求出，再代入计算即可【详解】解：由题意得，解得，则，故答案为：9【点睛】本题考查算术平方根的非负性，掌握被开方数必须是非负数是解题的关键【变式3】（2022下上海七年级专题练习）已知，求的值【答案】【分析】根据题意列出二元一次方程组，求出a，b的值，最后代入计算即可【详解】解：由题意，得，解得， 【点睛】本题考查绝对值与平方根的非负性以及二元一次方程组和代数式的相关运算【变式4】（2022下上海七年级专题练习）已知，求x的个位数字【答案】6【分析】先利用二次根式有意义的条件和分式的有意义的条件求得a的值，然后求得x的值，找出数字变化的规律即可求解【详解】由题意

12、，得：， 解得：， 因为，发现个位数字都是6，故x的个位数字为6【点睛】本题综合性较强，主要考查绝对值与实数的混合计算，注意总结规律题型四： 算术平方根的实际应用【例4】（2022上上海七年级专题练习）一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 【答案】/【分析】首先根据算术平方根的定义求出这个自然数，然后即可求出与这个自然数相邻的下一个自然数即可【详解】解：一个自然数的算术平方根为a，这个自然数是与这个自然数相邻的下一个自然数是故答案为：【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，同时要知道相邻的两个自然数相差为1【变式】（2022下上海杨浦七年级校考期中）已知（n为正整数）

13、，则原方程的解为 【答案】【分析】利用偶次方根的意义解答即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题主要考查了方程的解，偶次方根的意义，正确利用偶次方根的意义进行化简是解题的关键题型五：平方根概念理解【例5】（2023下上海七年级统考期中）下列说法正确的是（）A只有0的平方根是它本身B无限小数都是无理数C不带根号的数一定是有理数D任何数都有平方根【答案】A【分析】根据平方根，有理数，无理数的定义分析判断即可【详解】解：A、正数的平方根有2个，只有0的平方根是它本身，故该选项正确；B、无限小数中的无限循环小数是有理数，故该选项错误；C、不带根号，但是无理数，故该选项错误；D、因为负数没有平方根，故该

14、选项错误；故选：A【点睛】本题考查平方根，有理数，无理数，熟悉它们的定义是关键【变式】（2023下上海普陀七年级统考期中）如果和是一个非零数的两个平方根，那么 【答案】1【分析】根据一个非零数的两个平方根互为相反数，即可求解【详解】解：由题意知，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了平方根的知识，熟练一个非零数的两个平方根互为相反数是解题的关键题型六：求一个数的平方根【例6】（2022下上海静安七年级统考期中）的平方根为（）AB3CD【答案】C【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果【详解】解：=3，3的平方根是故选：C【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，解题的关键是先求得

15、的值【变式1】（2023下上海七年级阶段练习）下列说法中，正确的个数是（）只有正数才有平方根；是25的平方根；25的平方根是5；的平方根是A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】可以根据平方根和算术平方根的定义即可判定【详解】解：只有正数和0才有平方根，故原说法不正确，不合题意；是25的平方根，故正确，符合题意；25的平方根是，故原说法不正确，不合题意；的平方根是，故正确，符合题意所以有2个故选：B【点睛】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根【变式2】（2022下上海嘉定七年级校考期末）下列结论正确的是（）A1的平方根是1B0的平方根

16、是0C的平方根是D的平方根是【答案】B【分析】根据平方根的概念判断即可；D根据算术平方根与平方根的概念判断即可【详解】解：A、1的平方根是，故A错误；B、0的平方根是0，故B正确；C、没有平方根，故C错误；D、的平方根是，故D错误故选：B【点睛】此题考查的是算术平方根与平方根，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根，其中正的平方根称为算术平方根【变式3】（2021下上海浦东新七年级校联考期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a1和a2(1)求a和x的值；(2)求3x2a的平方根【答案】(1)a1，x9(2)5【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求出a的值，

17、再将a的值代入2a1即可求出x的值；（2）将（1）中的结果代入求解即可【详解】（1）解：一个正数的两个平方根互为相反数，2a1+（a+2）0，解得a1，x（2a1）2（3）29（2）解：3x+2a39225，又25的平方根为5，3x+2a的平方根为5【点睛】本题考查了平方根的知识，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数题型七： 已知一个数的平方根，求这个数【例7】（2021下上海七年级校考期中）如果与是同一个数的平方根，那么这个数等于（）A1B-3C4D4或100【答案】D【分析】根据平方根的定义分两种情况进行解答即可【详解】解：当2m-4与3m-1相等时，有2m-4=3m-1，即m=

18、-3，所以2m-4=-10，3m-1=-10，因此这个数为100；当2m-4与3m-1不相等时，则有2m-4+3m-1=0，解得m=1，所以2m-4=-2，3m-1=2，因此这个数为4，综上所述，这个数为100或4，故选：D【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提【变式1】（2021下上海七年级上海市建平实验中学校考期中）已知某数的平方根是3a1和a+5，那么这个数是 【答案】16【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数列出方程，解之求得a的值，即可得出答案【详解】解：根据题意知3a1a50，解得：a1，则这个数为（3a1）2（4）216；故答案为：16【点睛】本题考查了平方根

19、注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根【变式2】（2021下上海松江七年级校考期中）一个正数的两个平方根为和，则 【答案】【分析】根据一个正数两个平方根互为相反数计算即可【详解】解：一个正数的两个平方根为和，解得，故答案为：【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握一个正数两个平方根互为相反数是正确解答的前提【变式3】（2021下上海七年级校考期中）对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数，如4（1）计算： （2）现对a进行连续求根整数，直到结果是2为止，例如对12进行连续求根整数，第一次4，再进行第二次求根整数2，表示对12连续求根整数

20、2次可得结果为2，请问对100进行连续求根整数， 次后结果为2（3）若2，写出满足题意的m的整数值 【答案】 3 3 2或3或4【分析】（1）根据题目中根整数的定义求解即可（2）根据题目中根整数的定义对100进行连续求根整数，并进行计次即可（3）根据题目中根指数的定义求解即可【详解】解：（1），（2），所以对100进行连续求根整数，3次后结果为2（3），m的整数值为2或3或4故答案为：3；3；2或3或4【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，根据一个数的平方根求这个数，熟练掌握这些知识点是解题关键题型八：利用平方根解方程【例8】（2022上上海七年级专题练习）若，则 【答案】或【分析】利用完全平

21、方公式把(x+b)2展开，根据等式的性质列得方程，求解即可【详解】解：(x+b)2 =x2+2bx+b2=x2+ax+，b2=，2b=a，解得：b=，当b=时，a=1，a-b=；当b=时，a=-1，a-b=；综上，a-b=或；故答案为：或【点睛】本题考查了等式的性质，利用平方根解方程，完全平方公式，根据等式的性质列得方程，是解题的关键【变式1】（2022下上海宝山七年级校考阶段练习）如果，那么 【答案】【分析】根据平方根的定义求解即可【详解】因为，所以，故答案为：【点睛】本题考查了平方根即，称x是a的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键【变式2】（2021下上海徐汇七年级校考期中）已知三角

22、形的三边长分别为a、b、c，满足，且，则 【答案】【分析】将，代入求解即可【详解】解：将，代入可得：解得（负值舍去）则故答案为：【点睛】此题考查了求一个数的平方根，解题的关键是掌握平方根的求解【变式3】（2022上上海七年级专题练习）求下列式子中x的值：【答案】【分析】若一个数x的平方等于a，即，则数x就叫做a 的平方根。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根根据平方根的含义和求法，求出x的值即可【详解】解：，解得【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，解答此题的关键是要明确平方根的含义【变式4】（2022下上海七年级阶段练习）求x的值：（x3）21【答

23、案】x或【分析】用直接开方法解出x的值即可【详解】，x3，或【点睛】本题考查了利用平方根的性质求x的值，注意一个正数的平方根有两个是解题的关键【变式5】（2023上上海七年级校考期中）如图1，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为、， A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为 12(1)用含有、的代数式，表示图中阴影部分的面积；(2)、，则四边形的面积是多少？(3)图中正方形绕点B顺时针旋转后的对应图形， 连接、，若四边形的面积是，求、的值【答案】(1)(2)6(3)【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方差公式与图形面积、平方根解方程、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握

24、乘法公式是解题关键（1）利用两个正方形的面积之和减去三个直角三角形的面积，整式的运算法则计算即可得；（2）利用梯形的面积公式，平方差公式计算即可得；（3）先利用梯形的面积公式、完全平方公式、平方根解方程可得，再求出，然后解二元一次方程组即可得【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为答：图中阴影部分的面积为（2）解：如图，连接、，正方形和正方形的面积之差为 12，则四边形的面积是，答：四边形的面积是6（3）解：四边形的面积是，即，解得或（不符合题意，舍去），又，联立，解得一、单选题1（2023下上海普陀七年级统考期中）下列运算中，正确的是（）ABCD【答案】A【分析】根据算术平方根的定义计算即可.

25、【详解】解：A、，本选项符合题意；B、，本选项不符合题意；C、，本选项不符合题意；D、，本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根，解决此题的关键在于掌握算术平方根的意义2（2023下上海普陀七年级统考期中）下列各数中，无理数是（）ABCD【答案】C【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义判断【详解】解：，都是有理数，是无限不循环小数，是无理数，故选：C【点睛】此题考查了无理数的定义，正确理解定义及掌握无理数的三种形式：含有根号且不能再化简的；含有的；像（依次多一个零）的，是解题的关键3（2023下上海奉贤七年级校考期中）下列计算中，正确的是（）ABCD【答案】A【分析

26、】根据平方根的性质化简即可【详解】解：A. ，故本选项符合题意；B. ，故本选项不符合题意；C. ，故本选项不符合题意；D. ，故本选项不符合题意；故选：【点睛】本题考查了平方根化简计算，正确掌握平方根的性质是解题关键4（2020下上海浦东新七年级校联考期末）下列各数：，0，0.3030030003，中，无理数个数为（）A2个B3个C4个D5个【答案】A【分析】根据无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”逐一判断即可得【详解】解：在所列实数中，无理数有这2个，故选：A【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键5（2021下上海七年级校考期中）有一个如下图的数值转换器，当输

27、入64时，输出的是（）A8BCD【答案】B【分析】根据框图得出输入，得出，若是有理数，再次输入，若是无理数即可输出结果【详解】解：当时，第一次得出8，是有理数，再输入，第二次得出，即可输出，故选：B【点睛】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根的定义是解题的关键二、填空题6（2021下上海宝山七年级校考期中）下列各数：，0，0.3030030003，中，无理数的个数为 个【答案】2【详解】解：，无理数有，共2个故答案为：2【点睛】此题主要考查了算术平方根，无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的

28、数7（2023下上海静安七年级上海市回民中学校考期中）一个正数的两个平方根分别为与，则 【答案】【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得出的值【详解】解：由题意可得：，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了平方根的知识，注意掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数，0的平方根为0，负数没有平方根8（2023下上海宝山七年级统考期末）已知实数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 【答案】【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系即可求出另一个平方根【详解】解：实数的一个平方根是，它的另一个平方根是，故答案为：【点睛】本题主要考查平方根的应用，解决本题的关键是要熟练掌握平方根的意

29、义9（2021下上海静安七年级上海市市西初级中学校考期中）的算术平方根是 【答案】【分析】首先将化为假分数；然后根据算术平方根的含义求解即可【详解】，的算术平方根是：故答案为：【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：被开方数a是非负数；算术平方根a本身是非负数求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找10（2021下上海静安七年级上海市市北初级中学校考期中）若，则 【答案】2【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性，求出x、y的值，然后代入计算即可【详解】解：，；故答案为：2【点睛】本题考查

30、了求代数式的值，解题的关键是利用算术平方根的非负性求出x、y的值11（2021下上海宝山七年级校考期中）已知，那么 【答案】0【分析】首先利用偶次方以及算术平方根的非负性得出a，b的值，即可得出答案【详解】，故答案为：0【点睛】本题主要考查了偶次方以及算术平方根的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键12（2023下上海闵行七年级统考期中）的平方根是 【答案】【分析】先求出算术平方根，再求平方根即可【详解】解：，的平方根是，故答案为：【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，掌握平方根的概念是解题的关键13（2021下上海宝山七年级校考期中）已知，那么 【答案】2.53【分析】

31、直接利用算术平方根的性质化简得出答案【详解】解：，故答案为：2.53【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的性质是解题关键14（2023下上海七年级专题练习）已知与互为相反数， 【答案】1【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解【详解】解：与互为相反数，解得，所以，故答案为：1【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负数的性质，关键是根据“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”列出方程三、解答题15（2021下上海七年级校考期中）已知，且为正数，求的算术平方根【答案】3【分析】先求出a的平方根，根据题意求得

32、a值，再代入求出代数式的值，即可求解【详解】解：由得：，解得：，为正数，的算术平方根是3【点睛】本题考查平方根、算术平方根、代数式的求值，正确求出平方根和算术平方根是解答的关键16（2022上上海七年级专题练习）已知的一个平方根是3，的一个平方根是，求的平方根【答案】的平方根为【分析】先根据题意得出2a19，3ab116，然后解出a5，b2，从而得出a2b549，所以a2b的平方根为3【详解】解：2a1的平方根为3，3ab1的平方根为4，2a19，3ab116，解得：a5，b2，a2b549，a2b的平方根为3【点睛】此题考查了平方根的概念注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是

33、0；负数没有平方根17（2022下上海七年级期中）已知，求的平方根【答案】【分析】首先根据非负数的性质列方程组求得a和b的值，然后求解【详解】解：，a3=0，b4=0，解得a=3，b=4，【点睛】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和等于0，则每个数是0，初中范围内的非负数有：数的偶次方、绝对值以及算术平方根18（2021下上海徐汇七年级校考期中）已知，求的值【答案】【分析】根据算术平方根及偶次幂的非负性可进行求解【详解】解：，且，解得：，【点睛】本题主要考查负指数幂、算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键19（2021下上海宝山七年级校考期中）若和是同一个数的

34、平方根，求这个数【答案】或【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出，然后可求得这个数【详解】解：当时，解得：，则这个数为当时，解得，故，则这个数为综上所述，这个数为：或【点睛】本题主要考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数20（2021下上海七年级上海市西南模范中学校考期中）已知实数满足等式，求的值【答案】【分析】，结合题意可得，进而可得，根据算术平方根的非负性即可求得的值，进而求得的值【详解】，【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，算术平方根的非负性，非负数之和为0，求得的值是解题的关键21（2022下上海七年级期中）证明：不是有理数【答案】见解

35、析【分析】假设是有理数，则可以表示为（均为整数且互质），从而可得，由此判断出是偶数，再设（为整数），从而可得，由此判断出是偶数，据此得出假设不成立，即可得证【详解】证明：假设是有理数，故可以表示为（均为整数且互质），则，因为是偶数，所以是偶数，所以是偶数，设（为整数），则，即，所以也是偶数，这和互质矛盾 所以假设不成立，是无理数【点睛】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键22（2022上上海七年级专题练习）已知a216，|b|3，解下列问题：(1)求ab的值；(2)若|a+b|a+b，求a+b的平方根【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由a216，|b|3，先求解a，b的值，再分

36、类求值即可；（2）由|a+b|a+b，可得 再分情况求解a，b的值，再求解a+b的平方根即可【详解】（1）解a2=16， |-b|=3，a=4， b=3当a=4， b=3，则a-b=4-3=1 ；当a=4， b=-3，则a-b=4- ( -3) =7 ；当a=-4， b=3，则a-b=-4-3=-7 ；当a=-4， b=-3，则a-b=-4- (-3)=-1综上： 或（2）|a+b|=a+b，a+b0 a+b=1或7 当a+b=1时，a+b的平方根为 ；当a+b=7时，a+b的平方根为，综上： a+b的平方根为或【点睛】本题考查的是绝对值的含义，平方根的含义，利用平方根解方程，清晰地分类讨论是

37、解本题的关键23（2023上上海浦东新七年级上海市建平中学西校校考期中）阅读理解：“若x满足，求的值解：设，则，那么解决问题：(1)若x满足，求的值；(2)如图，正方形的边长为x，长力形的面积是10，四边形和都是正方形，四边形是长方形求图中长方形的边长【答案】(1)(2)四条边都为7【分析】（1）本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值；设，可得，再利用，再代入计算即可；熟记完全平方公式的变形是解本题的关键；（2）本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用；由图形可得，求解，利用，再结合算术平方根的含义可得的长度，再结合图形的性质可得答案；熟练的把边长的信息进行转化是解本题的关键.【详解】（1）解：设，则，（2）由题意可得：，四边形和都是正方形，；长方形的边长都为7.