专题03 导数及其应用（解析版）.docx

1、五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题03 导数及其应用考点一 导数的运算1【多选】（2022新高考）已知函数及其导函数的定义域均为，记若，均为偶函数，则ABC（4）D（2）【解析】为偶函数，可得，关于对称，令，可得，即（4），故正确；为偶函数，关于对称，故不正确；关于对称，是函数的一个极值点，函数在，处的导数为0，即，又的图象关于对称，函数在，的导数为0，是函数的极值点，又的图象关于对称，关于的对称点为，由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称，关于的对称点为，故正确；图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错

2、误解法二：构造函数法，令，则，则，满足题设条件，可得只有选项正确，故选：考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程2（2021新高考）若过点可以作曲线的两条切线，则ABCD【解析】法一：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，即切点坐标在轴上方，如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立点在轴或下方时，只有一条切线如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知故选：法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，设，可得，是增函数，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线故选：3（2022新高考）若曲线有两条过坐标原点

3、的切线，则的取值范围是 【解析】，设切点坐标为，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，整理得：，切线存在两条，方程有两个不等实根，解得或，即的取值范围是，故答案为：，4（2022新高考）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， 【解析】当时，设切点坐标为，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，切线方程为，即，当时，与的图像关于轴对称，切线方程也关于轴对称，切线方程为，综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，故答案为：，5（2021新高考）已知函数，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 【解析】当时，导数为，可得在点，处的斜率为，切线的方程为，令，可得

4、，即，当时，导数为，可得在点，处的斜率为，令，可得，即，由的图象在，处的切线相互垂直，可得，即为，所以故答案为：考点三 利用导数研究函数的单调性6（2023新高考）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为ABCD【解析】对函数求导可得，依题意，在上恒成立，即在上恒成立，设，则，易知当时，则函数在上单调递减，则故选：7（2023新高考）已知函数（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，【解析】（1），则，当时，恒成立，在上单调递减，当时，令得，当时，单调递减；当，时，单调递增，综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增证明：（2）由（1）可知，当时，要证，只需证，只需证，设（a）

5、，则（a），令（a）得，当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，所以（a），即（a），所以得证，即得证8（2022浙江）设函数（）求的单调区间；（）已知，曲线上不同的三点，处的切线都经过点证明：（）若，则（a）；（）若，则（注是自然对数的底数）【解析】（）函数，由，得，在，上单调递增；由，得，在上单调递减（）证明：过有三条不同的切线，设切点分别为，2，方程有3个不同的根，该方程整理为，设，则，当或时，；当时，在，上为减函数，在上为增函数，有3个不同的零点，（e）且（a），且，整理得到且，此时，且，此时，整理得，且，此时，（a），设（a）为上的减函数，（a），当时，同讨论，

6、得：在，上为减函数，在上为增函数，不妨设，则，有3个不同的零点，（a），且（e），且，整理得，设，则方程即为：，即为，记，则，为有三个不同的根，设，要证：，即证，即证：，而，且，即证，即证，即证，记，则，在为增函数，设，则，在上是增函数，（1），即，若，则9（2022新高考）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围；（3）设，证明：【解析】（1）当时，当时，单调递增；当时，单调递减（2）令，在上恒成立，又，令，则，当，即，存在，使得当时，即在上单调递增因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去；当，即，若，则，所以在，上单调递减，符合题意若，则，所以在上单调递减，符合题意综上

7、所述，实数的取值范围是另解：的导数为，当时，所以在递增，所以，与题意矛盾；当时，所以在递减，所以，满足题意；当时，设，则在递减，所以，所以在递减，所以，满足题意；当时，令，则，可得递减，所以存在，使得当时，在递增，此时，所以当时，在递增，所以，与题意矛盾综上可得，的取值范围是，（3）由（2）可知，当时，令得，整理得，即另解：运用数学归纳法证明当时，左边成立假设当时，不等式成立，即当时，要证，只要证，即证可令，则，则需证明，再令，则需证明构造函数，可得在，上递减，则（1），所以原不等式成立，即时，成立综上可得，成立10（2021新高考）已知函数（）讨论的单调性；（）从下面两个条件中选一个，证明：

8、恰有一个零点，；，【解析】（），当时，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，令，可得或，当时，当或时，当时，在，上单调递增，在，上单调递减，时， 且等号不恒成立，在上单调递增，当时，当或时，当时，在，上单调递增，在，上单调递减综上所述：当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减（）证明：若选，由 （）知， 在上单调递增， 单调递减， 上 单调递增注意到 在 上有一个零点；，由 得，当 时，此时 无零点综上： 在 上仅有一个零点另解：当，时，有，而，于是，所以在没有零点，当

9、时，于是，所以在，上存在一个零点，命题得证若选，则由（）知：在， 上单调递增，在，上单调递减，在 上单调递增，当 时，此时 无零点当 时， 单调递增，注意到，取，又易证，在上有唯一零点，即在上有唯一零点综上： 在 上有唯一零点11（2021浙江）设，为实数，且，函数（）求函数的单调区间；（）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；（）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足（注是自然对数的底数）【解析】（），当时，由于，则，故，此时在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，此时在单调递减，在单调递增；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（）注意到时，

10、当时，由（）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，对任意均成立，令，则，即，即，即，对任意均成立，记，则，令（b），得，当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，此时（b），不合题意；当，即时，易知（b）在，单调递减，此时，故只需，即，则，即；综上，实数的取值范围为，；（）证明：当时，令，解得，易知，有两个零点，不妨设为，且，由，可得，要证，只需证，只需证，而，则，要证，只需证，只需证，而，即得证12（2021新高考）已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：【解析】（1）解：由函数的解析式可得，单调递增，单调递减，则在单调递增，在单调递减（2）证明：由，得，即

11、，由（1）在单调递增，在单调递减，所以（1），且（e），令，则，为 的两根，其中不妨令，则，先证，即证，即证，令，则在单调递减，所以（1），故函数在单调递增，（1），得证同理，要证，（法一）即证，根据（1）中单调性，即证，令，则，令，单调递增，单调递减，又时，且（e），故，（1）（1），恒成立，得证，（法二），又，故，故，令，在上，单调递增，所以（e），即，所以，得证，则13（2020海南）已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围【解析】（1）当时，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，当时，当时，曲线在点，（1）处的切线与两

12、坐标轴围成的三角形的面积（2）方法一：由，可得，即，即，令，则，在上单调递增，即，令，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，（1），故的范围为，方法二：由可得，即，设，恒成立，在单调递增，即，再设，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，（1），即，则，此时只需要证，即证，当时，恒成立，当时，此时不成立，综上所述的取值范围为，方法三：由题意可得，易知在上为增函数，当时，（1），存在使得，当时，函数单调递减，（1），不满足题意，当时，令，易知在上为增函数，（1），当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，（1），即，综上所述的取值范围为，方法四：，易知在上为增函数，在上为增函数，在0，上为减函数

13、，与在0，上有交点，存在，使得，则，则，即，当时，函数单调递减，当，时，函数单调递增，设，易知函数在上单调递减，且（1），当，时，时，设，恒成立，在，上单调递减，（1），当时，方法五：等价于，该不等式恒成立当时，有，其中设（a），则（a），则（a）单调递增，且（1）所以若成立，则必有下面证明当时，成立设，在单调递减，在单调递增，即，把换成得到，当时等号成立综上，14（2019浙江）已知实数，设函数，（）当时，求函数的单调区间；（）对任意，均有，求的取值范围注：为自然对数的底数【解析】（1）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为（2）由（1），得，当时，等价于，令，则，设，则，当，时，则，记

14、，则，列表讨论：，10单调递减极小值（1）单调递增（1），当时，令，则，故在，上单调递增，由得（1），由知对任意，即对任意，均有，综上所述，所求的的取值范围是，考点四 利用导数研究函数的极值15【多选】（2023新高考）若函数既有极大值也有极小值，则ABCD【解析】函数定义域为，且，由题意，方程即有两个正根，设为，则有，即故选：16【多选】（2022新高考）已知函数，则A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线【解析】，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，且，有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；又，则关于点对称，故选项正确；假设是曲线的切线

15、，设切点为，则，解得或，显然和均不在曲线上，故选项错误故选：17（2023新高考）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围【解析】（1）证明：设，则，在上单调递减，在上单调递减，即，设，则，在上单调递增，即，综合可得：当时，；（2）解：，且，若，即时，易知存在，使得时，在上单调递增，在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；若，即或时，存在，使得，时，在，上单调递减，又，当时，单调递增；当时，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；若，即时，为偶函数，只考虑的情况，此时，时，在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去综合可得：的取值范围为，考点五 利

16、用导数研究函数的最值18（2022新高考）已知函数和有相同的最小值（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【解析】（1）定义域为，若，则，无最小值，故，当时，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，故，的定义域为，令，解得，当时，函数在上单调递减，当时，函数在，上单调递增，故，函数和有相同的最小值，化为，令，则，恒成立，在上单调递增，又（1），（a）（1），仅有此一解，（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，设，则，当时，所以函数在上单调递增，因为（1），所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立，所以时，因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减，所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，此时可作出函数和的大致图象，由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，直线必经过点，即，因为，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，因为，所以，所以，成等差数列存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列